PROBABILIDAD: TEORÍA BÁSICA + COMBINATORIA

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1 PROBABILIDAD: TEORÍA BÁSICA + COMBINATORIA
Joan Calventus S.

2 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad permite cuantificar riesgos y con ello tomar decisiones en circunstancias inciertas. Utilizaremos la probabilidad para inferir (estadística inferencial) parámetros poblacionales a partir de la observación/medición de estadísticos muestrales.

3 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
La teoría de la probabilidad surgió del interés por los juegos de azar. Un suceso es el resultado observado (o que pudiera observarse) al realizar un “experimento aleatorio”. La probabilidad de que ocurra un suceso A se calcula dividiendo el número de casos favorables a dicho suceso por el número de casos posibles.

4 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos” Calcular la probabilidad de obtener 4 puntos: 1 Casos favorables Casos posibles P(4 puntos) = = = 0,17 6

5 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar nº puntos” ¿Qué probabilidad existe de obtener un nº de puntos par? 3 Casos favorables Casos posibles P(nº de puntos par) = = = 0,5 6

6 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” Casos favorables Casos posibles P(nº mayor de 7) = = = 6 Probabilidad igual a cero significa que el suceso es IMPOSIBLE.

7 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” 6 Casos favorables Casos posibles P(nº menor de 7) = = = 1 6 Probabilidad igual a uno significa que el suceso es SEGURO.

8 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” 2 Casos favorables Casos posibles P(nº menor de 3) = = = 0,33 6 Probabilidad cercana a 1 indica mayor posibilidad que ocurra el evento. Probabilidad cercana a 0 indica menor posibilidad que ocurra el evento.

9 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: Probabilidad (complementaria) de que suceda no A 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 1 – P(A) Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor de 3) = 1 - P(nº no menor de 3) Casos favorables Casos posibles = 4 P(nº menor de 3) = 1 - = 0,66 = 0,33 1 - 6

10 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 1 – P(A) P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B)

11 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = P(nº menor a 3) + P(nº mayor a 5) 2 1 P(nº menor a 3 ó mayor a 5) = + = 3/6 = 0,5 6 6

12 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
OJO: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) “ o ” + En el caso de eventos compatibles: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B) U = –

13 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
+ OJO: En el caso de eventos compatibles: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B) Experimento: “Lanzar una vez un dado y observar resultado” P(nº menor a 3 ó nº par) = P(nº menor a 3) + P(nº par) - P(2) U = – 2 1 2 P(nº menor a 3 ó nº par) = 2/ / /6 = 4/6 = 0,66

14 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
+ OJO: En el caso de eventos compatibles: P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A∩B) Experimento: “Seleccionar al azar una persona del siguiente grupo:” Empleo \ Género Muj. Hom. Sí 4 2 No 1 3 Calcular la probabilidad de que la persona seleccionada sea una mujer o una persona empleada. P( mujer ó empleada) = 5/10 + 6/10 - 4/10 = 7/10 = 0,70

15 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
AXIOMAS: 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) = 1 – P(A) P (A ó B) = P (A U B) = P (A) + P (B) P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B)

16 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
“ y ” x AXIOMAS: P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B) Experimento: “Lanzar dos veces un dado y observar resultado” … o lo que es lo mismo… Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado” P(obtener 2 números pares) = P(par) y P(par) = P(par) x P(par) P(obtener 2 números pares) = 3/6 x 3/6 = 9/36 = 0,25 Interpretar y valorar resultado: una de cada cuatro veces que realicemos el experimento, obtendremos los dos números pares. ¿Qué les parece? Utilidad? Sentido?

17 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
“ y ” x AXIOMAS: P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B) Experimento: “Lanzar dos dados y observar resultado” ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos un doble 6? P(obtener doble 6) = P(6) y P(6) = P(6) x P(6) P(obtener doble 6) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,03

18 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
OJO: Un evento (B) es dependiente de otro (A), cuando lo que ocurre con éste influye en la ocurrencia de aquel. “ y ” x En el caso de eventos dependientes: P(A y B) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B/A) Experimentos SIN REPOSICION comportan la aparición de eventos dependientes… Probabilidad (condicional) de que suceda B luego de haber ocurrido A

19 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
“ y ” x OJO: En el caso de eventos dependientes: P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) x P (B/A) Experimento: “De una tómbola con 3 bolas rojas y 7 blancas, extraemos al azar dos de las bolas” Calcular la probabilidad de que ambas sean rojas. P (ambas bolas sean rojas) = P (1ª bola sea roja) x P (2ª bola sea roja ; habiendo sido roja la 1ª) P (ambas bolas sean rojas) = 3/10 X 2/9 = 6/90 = 0,07 Interpretar y valorar por qué la probabilidad es tan baja…

20 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) P (A y noA) = P (A) x P (noA) Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas” P(las primeras dos bolas sean Azules y las siguientes tres sean rojas)= P (A y A y noA y noA y noA) = P(A) x P(A) x P(noA) x P(noA) x P(noA) P (A y A y noA y noA y noA) = P(A)2 x P(noA)3 NO REQUEREMOS COMBINATORIA P (A y A y noA y noA y noA) = (2/5)2 x (3/5)3 P (A y A y noA y noA y noA) = 4/25 x 27/125 = 108/3125 = 0,03 Interpretar y valorar el sentido de esta probabilidad tan baja…

21 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) P (A y noA) = P (A) x P (noA) Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas” P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A) x P(noA) x C5,2 REQUEREMOS COMBINATORIA 5! P (2 azules y 3 rojas) = (2/5)2 x (3/5)3 x 2! x (5-2)! 5 x 4 x 3! 5 x 4 P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x = 0,03 x 2 x 3! 2 Interpretar y valorar por qué la probabilidad es mayor que la anterior P (2 azules y 3 rojas) = 0,03 x 10 = 0,3

22 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) Experimento: “De una tómbola con 2 bolas Azules y 3 rojas, extraemos al azar (con reposición) cinco bolas” P(2 bolas azules y 3 bolas rojas) = P(A)2 x P(noA)3 x C5,2 C5,2 debe entenderse, en general, como: Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k n! Cn,k = k! x (n-k)!

23 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD
“ y ” x Experimento: “De una tómbola con 3 bolas Azules y 5 Rojas, extraemos al azar (con reposición) cuatro bolas” Calcular la probabilidad de que las dos primeras sean rojas y las otras azules. P(primeras dos bolas Azules y las otras dos Rojas)= P(A y A y R y R)= 3/8 x 3/8 x 5/8 x 5/8 = 225/4096 = 0,05 Calcular la probabilidad de que dos sean rojas y dos azules. P(dos bolas Azules y dos Rojas)= P(dos Azules) x P(dos Azules) x C4,2 4 x 3 x 2! 2 2 P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 3/8 x 5/8 x 2! x 2! P(dos bolas Azules y dos Rojas)= 0,14 x 0,39 x 6 = 0,33

24 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) Cn,k combinaciones de n elementos, tomados de k en k UNA ALTERNATIVA PARA ESTE CÁLCULO LA TENEMOS EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL n! Cn,k = k! x (n-k)! 1 1 C1,0 C1,1 Triángulo de Pascal C2,0 C2,1 C2,2 C3,0 C3,1 C3,2 C3,3 C4,0 C4,1 C4,2 C4,3 C4,4 . . . . . . C4,2 = 6

25 TEORÍA BÁSICA DE LA PROBABILIDAD Y COMBINATORIA
COMBINATORIA: (para eventos independientes, ”con reposición”) Experimento: “Seleccionar al azar y con reposición a 5 personas del siguiente grupo:” Empleo \ Género Muj. Hom. Sí 4 2 No 1 3 Calcular la probabilidad de que exactamente dos de las cinco personas sean mujeres con empleo. 1º: Calculamos la probabilidad de seleccionar al azar del grupo a una mujer con empleo: P (mujer con empleo) = 4/10 = 0,40 2º: Calculamos la probabilidad de que dos de las cinco presenten la característica anterior: P (2 de las 5 sean mujeres con empleo) = 0,4 2 x 0,6 3 x C5,2 = 0,16 x 0,216 x 10 = 0,35

26 PROBABILIDAD: TEORÍA BÁSICA + COMBINATORIA
Joan Calventus S.