@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 LÍMITE EN UN PUNTO Bloque III * Tema 110.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 LÍMITE EN UN PUNTO Bloque III * Tema 110

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LIMITE de una función f en un punto x = a, cuando x tiende a a es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor a, tanto por su derecha como por su izquierda. lím f(x) = b x  a Nota: Aunque pueden coincidir, en general los números lim f(x) y f(a) no están relacionados entre sí. x  a EJEMPLO: lím x 2 = 2 2 = 4 x  2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, …

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 LÍMITES LATERALES EN UN PUNTO En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. L IMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L 1 x  a+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L 2 x  a -- U na función f tiene límite en un punto a si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. Entonces L 1 = L 2 = b

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Ejemplo_1 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 7 x  2 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 5 x  2 - 0 1 2 3 x 7575 Ejemplo_2 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 0 x  0 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 1 x  0 - 0 1 2 x y1y1

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Ejemplo_3 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x  1 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 1 x  1 - En este caso: lím f(x) = 1 x  1 0 1 2 3 x y1y1 0 5 10 x y3y3 Ejemplo_4 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 3 x  5 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 3 x  5 - En este caso: lím f(x) = 3 x  5

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Ejemplo_5 x – 4 Lím ------------ x  1 x – 2 x y ------------------------ 0,99 2,9802 0,9992,9980 1,0013,0020 1,013,0202 1,13,2020 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x  1 es 3 Ejemplo_6 x – 3 Lím ---------- x  3 x 2 – 9 x y ------------------------ 2,99 0,1669 2,9990,1667 2,99990,1666 3,00010,1666 3,0010,1667 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x  3 es 1/6

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 El límite de una función f, cuando x tiende a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L 1 lím f(x) = L 2 x  +oo x  –oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. (O dos, si L 1 es distinto de L 2 ) Ejemplo f(x) = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = 100000  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. LIMITES EN EL INFINITO

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Otro ejemplo y = x / (x 2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/999996 = 0,001 Para x=10000  y = 10000/9999996 = 0,0001 Para x = 100000  y = 0,00001 Para x = 1000000  y = 0,000001 Está ya claro que: Lím f(x) = 0 x  +oo Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos. Lím f(x) = 0 x  – oo La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0. Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L 1 e y = L 2

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 Ejemplo gráfico L2L2 L1L1 0 Y X Lim f(x) = L 2 x  -oo Lim f(x) = L 1 x  +oo