LOS NUMEROS.

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1 LOS NUMEROS

2 NUMEROS ENTEROS Por muchos, muchos años en tiempos pasados, hasta los más famosos matemáticos en Europa se negaron a aceptar la existencia de números negativos. Los llamaban números absurdos. La necesidad de los números negativos pudo haber surgido por pérdidas en el comercio y…

3 NUMEROS ENTEROS Por dividir la Tierra en pedacitos:

4 NUMEROS ENTEROS Medir el ángulo de inclinación de la Tierra que da origen a las estaciones:

5 NUMEROS ENTEROS Por medir las temperaturas en desiertos, mares, montañas, ….

6 NUMEROS ENTEROS Se fijó el nivel del mar para realizar medidas submarinas y sobre la tierra.

7 NUMEROS ENTEROS Todo número natural tendrá un simétrico en el conjunto de los números enteros. (Z) Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞}

8 NUMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros se describe como:
Z = { ∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … ∞} Representación gráfica de los números enteros:

9 NUMEROS ENTEROS Con los números enteros se cumple: La igualdad =
Se pueden ordenar: El antecesor de un número es el menor (<) Así -5 < -4, -4 < -3, 2 < 3, 1 < 2 y 0 < 1 El sucesor de un número es el mayor (>) Así -4 > -5, -3 > -4, 3 > 2, 2 > 1 y 1 > 0

10 NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros:
Cantidades del mismo signo se suman manteniendo su signo.

11 NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros:
La suma de dos números enteros es siempre un número entero. -8, 8 y 2 pertenecen a los enteros

12 NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros: Propiedades: CONMUTATIVA
Al sumar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro

13 NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA
Para sumar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado.

14 NUMEROS ENTEROS Suma (+) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO Existe un número entero 0, que al ser sumado a cualquier otro número entero da como resultado ese mismo número.

15 NUMEROS ENTEROS Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar sumamos reiteradamente la primera (multiplicando) tantas veces como indica la segunda (multiplicador) dando un solo resultado (producto). 4 * 3 = A la operación multiplicar también se le llama producto.

16 NUMEROS ENTEROS Multiplicación (*) de números enteros
Al multiplicar dos números de signo contrario el resultado es un número negativo. (+)(-) = (-) Al multiplicar dos números del mismo signo el resultado es un número positivo. (-)(-) = (+)

17 NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades:
La Multiplicación de dos números enteros es siempre un número entero. 4 * 7 = 28 28 pertenece a Z -9 * 5 = -45 -45 pertenece a Z

18 NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: CONMUTATIVA Al multiplicar dos números enteros da lo mismo colocar primero el uno o el otro 4 * 7 = 28 7 * 4 = 28 -2 * 5 = -10 5 * -2 = -10 -2 * -8 = 16 -8 * -2 = 16

19 NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: ASOCIATIVA Para multiplicar tres o más números enteros podemos hacerlo agrupándolos de formas diversas, obtendremos el mismo resultado. 3 * (4 * 7) = 3 * 28 = 84 (3 * 4) * 7 = 12 * 7 = 84 6 * (9 * 5) = 6 * 45 = 270 (-6 * 9) * (-5) = -54 * (-5) = 270

20 NUMEROS ENTEROS Producto (*) de números enteros Propiedades: ELEMENTO NEUTRO Existe un número entero 1, que al ser multiplicado a cualquier otro número natural da como resultado ese mismo número. 4 * 1 = 4 -25 * 1 = -25

21 NUMEROS ENTEROS Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma Se multiplica el multiplicando por cada uno de los sumandos y se simplifica. -4 * (1 + 4) = -4 * * 4 = = - 20 (3 + 5) * 2 = 3 * * 2 = = 16

22 3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5
NUMEROS ENTEROS Potenciación Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto (multiplicación) de un número por sí mismo 3*3*3*3*3 = 35 (-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = (-3)5 En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes: La base es el número que se multiplica por sí mismo (en este caso: 3 ó -3) El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor. (en este caso 5)

23 NUMEROS ENTEROS Potenciación (-3)(-3)(-3) = (-3)3 (-3)3 ≠ -33

24 Producto de potencias de la misma base.
NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Producto de potencias de la misma base. Para multiplicar varias potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia.

25 Cociente de potencias de la misma base.
NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Cociente de potencias de la misma base. Para dividir dos potencias que tienen la misma base podemos transformarlo en una sola potencia. La potencia del numerador debe ser mayor o igual a la potencia del denominador.

26 NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de exponente 0.
Una potencia de exponente 0 vale 1. 70 = 1

27 Potencia de exponente negativo.
NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de exponente negativo. Una potencia de exponente negativo equivale al inverso de esa potencia con exponente positivo. 7-1 = 1/7

28 Potencia de una potencia.
NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de una potencia. Para elevar una potencia a otra potencia podemos transformarlo en una sola potencia simple.

29 Potencia de un producto.
NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de un producto. Un exponente afecta globalmente a un producto de varios factores

30 Potencia de una división.
NUMEROS ENTEROS Potenciación Propiedades Potencia de una división. Si a, n, m son un números naturales entonces: (Si se dividen dos bases distintas a la misma potencia se puede factorizar la potencia)

31 NUMEROS ENTEROS Resta (-) de números enteros
La resta es la operación contraria a la suma. Los términos de la resta se llaman minuendo y substraendo, el resultado se llama diferencia. Minuendo - Sustraendo Diferencia

32 NUMEROS ENTEROS Propiedades de la resta (-) de números enteros.
La resta no tiene las propiedades de la suma. La resta no es una operación interna en el conjunto de los números naturales

33 NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros
La división es la operación contraria a la multiplicación. La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de cosas.

34 Dividendo > Divisor
NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas) y divisor (no nulo) (se reparten), el resultado se llama cociente (número que le corresponde a cada cosa) y pudiera haber o no un residuo (lo que sobra) cuando la división no es exacta. Para que la división de números naturales se pueda realizar debe cumplirse: Dividendo > Divisor

35 NUMEROS ENTEROS Propiedades de la División (/ ó :) de números enteros.
La división no tiene las propiedades de la multiplicación. La división no es una operación interna en el conjunto de los números naturales

36 Dividendo > Divisor
NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros Dividendo > Divisor

37 NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros
Hay que repartir 60 hojas de papel carta a 4 personas. ¿Cómo lo harías? División exacta REPARTO

38 NUMEROS ENTEROS División (/ ó :) de números enteros
Hay que repartir 17 lapiceros entre 3 personas. ¿Cómo lo harías? División inexacta REPARTO

39 NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros
La radicación es la operación contraria a la exponenciación La radicación no es una operación interna en el conjunto de los números naturales

40 NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros
3 es el índice 8 es el radicando y 2 es el resultado de la radicación.

41 Propiedad distributiva.
NUMEROS ENTEROS Radicación ( ) de números enteros Propiedad distributiva.

42 NUMEROS ENTEROS De los números Enteros a los números Racionales
A pesar de que muchas actividades del Hombre quedaron cubiertas con los números naturales, quedaron muchas actividades que necesitan un nuevo conjunto de números: los números RACIONALES

43 BIBLIOGRAFIA