Matrices – Determinantes Sistemas de Ecuaciones lineales

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1 Matrices – Determinantes Sistemas de Ecuaciones lineales
DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA Matrices – Determinantes Sistemas de Ecuaciones lineales

2 Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números que forman la matriz se llaman entradas o elementos y se escriben dentro de paréntesis. Las matrices se identifican con letras mayúsculas. Ejemplos de matrices: Las líneas horizontales de números se conoce como filas y las verticales como columnas. fila columna

3 Al número de filas por el número de columnas de una matriz
DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA Al número de filas por el número de columnas de una matriz se le llama el orden o tamaño de la matriz. Matriz 2x2 Matriz 3x3 Matriz 2x3 Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

4 Definición de matriz mxn:
Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n columnas se conoce como una matriz m x n. Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde i corresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma general abreviada,

5 Definición de un vector fila:
Una matriz que tiene una sola fila se llama vector fila. Ejemplo: vector fila 1x4 Definición de un vector columna: Una matriz que tiene una sola columna se llama vector columna. Ejemplo: vector columna 3x1 Aclaración: No confunda la notación aij de un elemento con la notación de una matriz.

6 Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los
Definición : Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los mismos elementos. Ejemplo: Definición : La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota por AT Ejemplo: DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

7 Matrices especiales: Matrices especiales: La matriz cero Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0. Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el número cero. Ejemplo: La matriz cero 2x3 es; 2. Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. Matriz cuadrada 3x3

8 Una matriz diagonal 2x2 es;
Matrices especiales: DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA Matriz cuadrada 2x2 3. Matriz diagonal Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros excepto las entradas de la diagonal se llama matriz diagonal. Ejemplo: Una matriz diagonal 2x2 es; Una matriz diagonal 3x3 es;

9 Matrices especiales: 4. Matrices triangularizadas Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si todas las entradas bajo la diagonal principal son cero. Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si todas las entradas sobre la diagonal principal son cero. Ejemplos: Una matriz triangularizada por arriba es; Una matriz triangularizada por abajo es;

10 Matrices especiales: 5. Matriz identidad
DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA 5. Matriz identidad Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad. Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn. Ejemplos: La matriz identidad 2x2 es; La matriz identidad 3x3 es; La matriz identidad 4x4 es;

11 Operaciones con matrices:
1. Suma de matrices La suma de matrices se obtiene sumando las entradas correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma está bién definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño. Ejemplos: Encuentra la suma las matrices.

12 Operaciones con Matrices :
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13 Propiedades de matrices nxm:
1. A + B = B + A, propiedad conmutativa. 2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa 3. A + 0 = 0 + A , propiedad de identidad 4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas Ejemplos: a. Demuestra que A + B = B + A. DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

14 Propiedades de matrices nxm:
b. Demuestra que A + (B + C) = (A +B) + C.

15 Propiedades de matrices nxm:
c. Demuestra que A + 0 = A. Definición de la multiplicación escalar: Si es una matriz mxn y k es un número real (un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar de A y k por, . La multiplicación escalar se obtiene multiplicando cada entrada o elemento de la matriz A por el escalar k. DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

16 La multiplicación de matrices :
Para definir la multiplicación de dos matrices necesitamos definir la multiplicación de un vector fila por un vector columna y determinar los tamaños de las matrices que se pueden multiplicar. Definición del producto interno de vectores El producto interno de un vector fila de tamaño, 1xp, por un vector columna de tamaño, px1, se denota y define por, Observa que el producto interno de un vector fila por un vector columna produce un número real.

17 La multiplicación de matrices :
Ejemplo: Encuentra el producto interno de los siguientes vectores. Ojo: El resultado del producto interno es un número real y el número de columnas del primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.

18 La multiplicación de matrices :
Definición de la multiplicación de matrices Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y B por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j. Ejemplo: Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices.

19 La multiplicación de matrices :

20 La multiplicación de matrices :
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21 La multiplicación de matrices :
Propiedades de la multiplicación de matrices Si AB y C son matrices para las cuales la multiplicación esta definida y k es un número real (escalar): 1. A(BC) = (AB)C propiedad asociativa 2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva 3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva 4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar Ejemplo: Demuestra las siguientes igualdades. DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

22 La multiplicación de matrices:

23 La multiplicación de matrices :
Ejemplos: 9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 3x4 y B es una matriz 4x3? 10. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 5x4 y B es una matriz 3x5? DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

24 La inversa de una matriz:
La matriz identidad La matriz cuadrada diagonal nxn cuyas entradas en la diagonal principal son todas 1 y las demás entradas son todas 0 se conoce como la matriz identidad nxn. La inversa de una matriz Sea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B, nxn tal que AB = BA = In, decimos que B es la matriz inversa de A y la denotamos por B = A-1.

25 La inversa de una matriz:
Ejemplos: 1. Verifica que la matriz inversa de es 2. Verifica que la matriz inversa de es Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz Si A es una matriz invertible nxn construya la matriz aumentada . La matriz inversa A-1, nxn, se obtiene reduciendo la matriz mediante operaciones elementales de filas hasta obtener la matriz Ejemplos: 1. Encuentra la matriz inversa de

26 La inversa de una matriz:
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones: La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 · A = I, con lo cual es realmente la inversa de A. Calcular la inversa de las siguientes matrices DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

27 DETERMINANTES DOCENTES RESPONSABLES:
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28 Determinantes DOCENTES RESPONSABLES:
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29 Determinantes 1. Calcular el valor de cada determinante
2. Marcar verdadero (V) o falso (F): DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

30 Sistemas de Ecuaciones Lineales. DOCENTES RESPONSABLES:
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31 Sistemas de ecuaciones lineales.

32 Sistemas de ecuaciones lineales.
Definición :Sea (*) un sistema de m ecuaciones con n incógnitas. El sistema es compatible determinado si tiene una única solución. El sistema es compatible indeterminado si tiene solución pero esta no es única. El sistema es incompatible si no tiene solución. Ejemplo : Estudiar los siguientes sistemas y, si es posible, determinar sus soluciones: DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

33 Método para hallar las soluciones de un sistema lineal.
(Regla de Cramer) Sea (*) un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (m = n). DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA

34 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y clasificarlos.
b) c) d) e) f) i) g) h) 2. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA