@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 REGLA DE LAPLACE Bloque IV * Tema 167.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 REGLA DE LAPLACE Bloque IV * Tema 167

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 LEY DE LAPLACE LEY DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. Ejemplo 1: Lanzamiento de una moneda al aire. Casos posibles o totales E = {C, X}  2 Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1 P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles =1 / 2 = 0,5

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Ejemplo 2: Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = casos favorables / casos posibles =3 / 6 = 0,5 Ejemplo 3: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta un rey” {RO,RC,RB,RE}  4 P(A) = P(de que nos resulte un rey) = casos favorables / casos posibles = 4 / 40 = 0,1

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Ejemplo 4: Extracción de una carta de baraja. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 40}  40 Casos favorables al suceso “Resulta una carta de copas”  10 P(A) = P(de que nos resulte una copa) = = casos favorables / casos posibles = 10 / 40 = 0,25 Ejemplo 5: Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5}  5 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = = casos favorables / casos posibles = 5 / 8 = 0,625

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Valor de la probabilidad P(Suceso imposible) = 0 Axioma 1P(Suceso seguro) = P(E) = 1 Axioma 2P(Cualquier suceso) = P(A) ≥ 0 Luego la probabilidad de cualquier suceso A será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 7 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1 Sea A el suceso “Obtener un número múltiplo de 3 en el lanzamiento de un dado normal” Por Laplace: P(A = 2 / 6 = 1/3 = 0,3333. Vemos que 0 ≤ 0,3333 ≤ 1

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 AXIOMA 3Si A y B son sucesos incompatibles ( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. Si A∩B = ø  P(A U B) = P(A)+P(B) Ejemplo Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una copa. P(A U B) = P(A)+P(B) = (10/40)+(10/40) = 0,25+0,25 = 0,5 Por el contrario, si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. Si A∩B ≠ ø  P(A U B) = P(A)+P(B) – P(A).P(B) Ejemplo Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. P(AUB) = P(A)+P(B) - P(A).P(B) = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = = 0,25+0,30 – 0,25.0,3 = 0,55 – 0,075 = 0,475 De otra manera, para comprobar: P(AUB) = (10+9)/40 = 19/40 = 0,475

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Cuando en un experimento aleatorio sólo hay dos posibilidades o dos sucesos posibles, que se excluyen mutuamente, se los llama sucesos contrarios. En una moneda, lo contrario de resultar Cara es resultar Cruz. En un dado, lo contrario de resultar Par es resultar Impar. En un dado lo contrario de resultar un 5 es no resultar un 5. Todos los experimentos aleatorios los podemos expresar como espacio muestral de dos únicos sucesos: El que interesa y el contrario. _ _ Como P(A) + P( A ) = 1 ; P( A ) = 1 - P(A) Ejemplo Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 o que no sea un 5. P(5) = 1 / 6 = 0,1667 _ P(5) = 1 – 1/6 = 5 / 6 = 0,8333 Sucesos CONTRARIOS

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades. En general los sucesos a trabajar son incompatibles entre sí, aunque estén relacionados. Ejemplo_1 En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea: a)Chico. b)Chica. c)Chico en ESO d)Chica en ESO e)Chico en Bachillerato d)Chica en Bachillerato. d)Alumno en ESO e)Alumno en Bachillerato Tablas de contingencia Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 Resolución a)Chico. P(A)=195/400=0,4875 b)Chica. P(B)=205/400=0,50125 c)Chico en ESO P(C)=145/400=0,3625 d)Chica en ESO P(D)=130/400=0,325 e)Chico en Bachillerato P(E)=50/400=0,125 f)Chica en Bachillerato. P(F)=74/400=0,185 g)Alumno en ESO P(G)=275/400=0,6875 h)Alumno en Bachillerato P(H)=125/400=0,3125 Chico Chica ESO 145 130 275 BACH 50 75 125 195 205 400

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 Ejemplo_2 En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que: a)Sea chico y se dedique al deporte. b)Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos. c)Se dedique a ver Cine/TV d)Se dedique a la música. Resolución P(A)= 60/400 = 0,15 P(B)=45/400 + 10/400 = =55/400 = 0,1375 P(C)= 60/400=0,15 P(D)=175/400 =0,4375 Chico Chica Música 55 120 175 Deporte 60 15 75 Lectura 20 45 65 Juegos 15 10 25 Cine/TV 45 15 60 195 205 400

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 Unión en sucesos compatibles Cuando dos o más sucesos son compatibles (se pueden dar a la vez) ya hemos dicho que: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A).P(B) Ello es así porque si no restamos el producto, los elementos comunes estarían repetidos. El producto simboliza a los elementos comunes. Ejemplo 1 Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey. P(O)=10/40=0,25 P(R) =4/40=0,1 P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R) P(OUR)=0,25+0,1 – 0,25.0,1 P(OUR)=0,35 – 0,025 P(OUR)=0,325 1 2 3 Rc 4 5 Re 67 Ro Rb So Co

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12 Ejemplo 2 Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C. Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias. Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar: a) Coincidan A y B b) Coincidan A y C c) Encontremos B o C d) Encontremos A o C e) Encontremos A, B o C FAMILIA A FAMILIA B FAMILIA C

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS13 Resolución Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el 55+40+30 =125% de la vivienda. a) Coincidan A y B P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22 b) Coincidan A y C P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165 c) Encontremos B o C P(BUC)=P(B)+P(C) - P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 d) Encontremos A o C P(AUC)=P(A)+P(C) - P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685 e) Encontremos A, B o C P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A).P(B) - P(B).P(C) – P(A).P( C) + + P(A).P(B).P(C) = = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0,165 + 0,55.0,4.0,30 = 0,811