El tornillo y el producto cruz

Presentación del tema: "El tornillo y el producto cruz"— Transcripción de la presentación:

1 El tornillo y el producto cruz
Si el vector a lo giramos hacia b, entonces obtenemos el movimiento indicado con la flecha azul a b q Por el contrario, si giramos el vector b hacia a, obtenemos el movimiento indicado con la flecha verde La operación “virtual” de girar a hacia b, la denotaremos por Y vamos a exigir que el vector resultante sea Donde es el vector unitario en la dirección del vector azul Si este tornillo lo giramos a la derecha, el tornillo “baja”

2 Si definimos entonces a b q Donde esta vez es el vector unitario obtenido en la dirección del vector verde. De tal forma que este producto no es conmutativo, y además

3 b a Una interpretación geométrica del producto cruz C B
El área del paralelogramo es b q A a O B C El producto cruz corresponde a un vector normal al paralelogramo formado por a y b y de magnitud igual al área de dicho paralelogramo q O A

4 Una interpretación física del producto cruz: torque o momento
Si F es una fuerza y r es el vector desde un punto fijo a cualquier punto sobre F, entonces q O r l puede ser interpretado como el torque, o momento, de la fuerza F alrededor del punto O Puesto que , la magnitud del torque es consistente. Y además la dirección del torque está en una línea perpendicular a r y F, y esta dirección es precisamente la dirección de orientación positiva (según la regla del famoso tornillo)

5 En un sistema de orientación positiva, trivialmente se cumple lo siguiente
Y por lo demás, si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es el vector nulo. Y es claro que ¡cuidado, es el vector nulo, no el cero real!

6 Representación en componentes del vector
Sean a y b dos vectores no paralelos, con representación en componentes Nuestro objetivo será encontrar los valores de p1, p2 y p3 tales que El vector es perpendicular a ambos vectores, entonces ¡Este sistema, por sí solo, tiene muchísimas soluciones!

7 Las infinitas soluciones del sistema anterior están dadas por
Estas soluciones las podemos escribir de forma simétrica como Siendo, ahora, la constante l a descubrir. Necesitamos imponer la condición de la magnitud del vector producto cruz. Es decir debemos obtener información de

8 Esta última ecuación traducida a sus componentes, nos queda
Pero de la ecuación anterior podemos obtener

9 Desarrollando con paciencia estas expresiones podemos comprobar que son iguales. De modo que obtenemos la ecuación Se puede verificar que para l = 1 corresponde a un sistema orientación positiva, y para l = - 1 corresponde a un sistema orientado negativamente (recuerde el tornillo). Para l = 1 obtenemos

10 Con estas ecuaciones calculamos los valores de p1, p2 y p3
Una regla nemotécnica (es decir algo solo para recordar pero que no tiene ningún valor matemático) es como sigue