Práctica 12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales.

Presentación del tema: "Práctica 12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales."— Transcripción de la presentación:

1 Práctica 12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

2 vSistemas de Ecuaciones Diferenciales vEcuaciones Diferenciales de orden superior vMétodos numéricos para sistemas vTeoría cualitativa Plano de fasesPlano de fases Puntos de equilibrioPuntos de equilibrio EstabilidadEstabilidad

3 vExpresión vectorial vCondiciones iniciales Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

4 vLey de Newton: ecuación de 2º orden vSistema diferencial de 1er orden y l Movimiento del péndulo

5 Método de Euler function [t,y] = mieuler(a,b,y0,n) m = length(y0); h = (b-a)/n ; t = (a:h:b)'; y = zeros(n+1,m); y(1,:) = y0; for k = 1:n y(k+1,:) = y(k,:) + h*f(t(k),y(k,:)); end

6 Péndulo simple no amortiguado!!

7 Teoría cualitativa vSistema diferencial vSistema diferencialy’ = f(t,y) Ec. de Airy: Ec. de Airy: y" + ty = 0 vSistema autónomo vSistema autónomoy’ = f(y) Ec. del péndulo: Ec. del péndulo:y" + sen y =0 vPuntos de equilibrio vPuntos de equilibriof(y*) = 0 Ec. del péndulo: Ec. del péndulo:sen y =0, y = k 

8 Plano de fases Péndulo simple no amortiguado

9 Estabilidad vEquilibrio estable Las trayectorias próximas en un instante dado, permanecen siempre próximas.Las trayectorias próximas en un instante dado, permanecen siempre próximas. vEquilibrio inestable Las trayectorias próximas en un instante dado, no lo están posteriormente.Las trayectorias próximas en un instante dado, no lo están posteriormente. vEstabilidad asintótica Las trayectorias próximas en un instante dado, están cada vez más próximas.Las trayectorias próximas en un instante dado, están cada vez más próximas.

10 Modelo Presa-Rapaz 020406080100120140 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Zorros y Conejos

11 Ecuación de van der Pol vEcuación 2º orden vCambio vSistema 1 er orden function z = vanderPol(t,y) k = 0.1; z(:,1) = y(:,2); z(:,2) = k*(1-y(:,1).^2).*y(:,2)-y(:,1);

12 El efecto mariposa 050100150200 -5 0 5 10 15 20 25 30 w 0 =2.7 w 0 =2.5 w 0 =2.3 w 0 =2.1 Péndulo forzado Ángulo Tiempo

13 F I N