20131008 – ORT A la guerra con un tenedor: integrales de funciones experimentales Laboratorio de Tecnologías de Información Geográfica.

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1 20131008 – ORT A la guerra con un tenedor: integrales de funciones experimentales carlos.lopez@ieee.org Laboratorio de Tecnologías de Información Geográfica SGM/ORT Avenida 8 de Octubre 3255 - C.P.11600 Teléfono: (598) 2487 1810 - Fax: (598) 2487 0868 www.latingeo.net/uy Carlos López-Vázquez

2 20131008 – ORT Agenda  Breve descripción del problema  Solución matemática  Solución numérica determinista  Solución numérica estocástica (Monte Carlo)  ¿Y para el caso real?  En qué andamos  Preguntas

3 20131008 – ORT Caso 1: cultivos que requieren abono  ¿Cuánto abono hay que poner?  Pasos:  Establecer requerimientos del cultivo ([K]=K 0 )  Medir características del terreno  Mediante cateos (i.e. determinación experimental en puntos)  Interpolar los cateos de alguna forma, estimando [K] (x,y)  Calcular una integral

4 20131008 – ORT Caso 2: Movimiento de tierras  Se planifica el nuevo estadio de Peñarol  Piso plano, terreno ondulado  ¿Se saca tierra o se trae tierra? ¿cuánta?  Pasos:  Establecer cota de diseño C 0  Medir cotas en el terreno natural en puntos  Interpolar la superficie real obteniendo C(x,y)  Calcular una integral

5 20131008 – ORT Caso 3: norma de una función  Se quiere saber si el interpolante P(x,y) es mejor que el Q(x,y)  Sea R(x,y) la función conocida sólo en un conjunto de puntos {1:N}  El mejor interpolante será aquel que tenga un error menor en esta norma  Pero: ¡R(x,y) sólo es conocida en los puntos dato!  Se define para el interpolante P(x,y):

6 20131008 – ORT Caso 4: lluvia promedio en una cuenca  Se quiere saber cuánta agua llegaría a una represa  Se define una cuenca  Se instalan algunos pluviómetros  Se estima un interpolante P(x,y)  Se integra en la cuenca

7 20131008 – ORT ¿Cómo se hace en la práctica?  Interpolar y luego integrar  Caso popular: Método de los Polígonos de Thiessen  Se determinan “regiones de influencia” por proximidad  Se asigna como lluvia promedio a

8 20131008 – ORT Caso tradicional  Dada una función analítica, y un dominio Ω (ambos con ciertas propiedades)  Solución: hallar función primitiva y aplicar regla de Barrow  El resultado es único y exacto  Problemas:  No siempre la función está disponible explícitamente  La función puede ser más o menos complicada  La primitiva puede ser difícil de encontrar  El dominio (simple o no) puede agregar alguna complejidad adicional  Solución: usar métodos numéricos

9 20131008 – ORT ¿Cómo opera un método numérico? Realidad Interpolante Resultado numérico (vía cálculo) ¿? Aunque R(x,y) esté disponible, el método numérico lo ignorará y usará solamente P i, i=1,…,N

10 20131008 – ORT Algunas características del caso de interés…  La función a integrar en realidad no es conocida  R(x,y) no está disponible  Sólo hay valores (exactos) en unos pocos puntos  ¡N no puede ser infinito!  Consecuencia: el interpolante no convergerá a la función verdadera  El interpolante puede ser aún integrado con exactitud arbitraria ¿Cómo reformular el problema? Interpolante Realidad Resultado numérico (vía cálculo)

11 20131008 – ORT Formalizando un poco  Problema matemático:  Dada la función R(x,y) y el dominio Ω, calcular I  Problema numérico:  Dado un programa que evalúa la función R(x,y), el dominio Ω y una tolerancia ε, estimar I con error menor que ε  Problema experimental:  Dados N valores de la función R(x,y) en puntos arbitrarios y el dominio Ω, estimar I y el error ε cometido o  Dados … y un nivel de confianza estimar un intervalo para I  Simplificando, se asume que P i =R(x i,y i ) no tiene error

12 20131008 – ORT Ilustrando un poco para el caso 1D  Método del Trapecio a b xixi x i +h

13 20131008 – ORT Versión 1D de los Polígonos de Thiessen  N típicamente es moderado  ¡Falta la estimación teórica del error! a b d1d1 d2d2 d3d3 d4d4 d5d5 d6d6

14 20131008 – ORT ¿Ideas?  Dados N valores de la función, tomar al azar sólo un subconjunto K de M elementos  Evaluar I K  Implica recalcular todos los d i  Tomar otro subconjunto J también de M elementos, y evaluar I J  Estimar el error de I N en función de │I J -I K │  Problema:  ¡falta una expresión teórica para el error!

15 20131008 – ORT ¿Azar? ¡Método de Monte Carlo!  Usa números aleatorios a b Resultados teóricos válidos para N > N c grande

16 20131008 – ORT Una diferencia ¿sustancial?  Saber la forma del término del error es útil e importante  Notación:  Tanto I K como I J son accesibles  Estadísticamente su diferencia es de media nula, y la varianza σ puede estimarse de esta población, pues

17 20131008 – ORT En resumen  El procedimiento sería: Repetir muchas veces Generar al azar un conjunto K Calcular promedio de valores Guardarlo Fin Analizar población de diferencias, y estimar desviación estándar Dado el nivel de confianza, inferir el intervalo para I  Factible, y relativamente barato

18 20131008 – ORT Problemas…  La función no puede evaluarse arbitrariamente  N tal vez demasiado pequeño para que valga la fórmula  El número de datos es siempre limitado  Idea: Remuestreo con reposición (bootstrap)  Técnica de los 80’, hoy bien establecida  K={N valores tomados al azar del conjunto 1:N, con repetición}  Ej.: para N=6, usar un dado seis veces consecutivas  ¿N pequeño?  ¿Tal vez usar algún factor de seguridad para σ?

19 20131008 – ORT Otra idea para el caso de la norma 2  Sea Δ(x,y)=R(x,y)-P(x,y) | Δ(x i,y i ) es conocido para i=1:N  Dado que hay que interpolar, en teoría sería equivalente integrar el cuadrado del interpolante que realizar la integral del interpolante del cuadrado  Experimentalmente hemos notado que hay una diferencia numérica importante  ¿Puede establecerse una relación entre ella y el error teórico?

20 20131008 – ORT En qué andamos  Simulación numérica, muestreando los puntos dato e integrando funciones analíticas simples  Simulación numérica con datos reales (tipo raster)  Se dispone de R(x,y)  Se muestrean puntos dato  Se interpola y luego se realiza la integral  Búsqueda bibliográfica, por teoría que estime errores ¡Lejos de estar todo resuelto!

21 20131008 – ORT ¿Preguntas? Laboratorio de Tecnologías de Información Geográfica SGM/ORT Avenida 8 de Octubre 3255 - C.P.11600 Teléfono: (598) 2487 1810 - Fax: (598) 2487 0868 www.latingeo.net/uy Carlos López-Vázquez