The Normal Distribution To calculate the probability of a Normal distribution between a and b:

Presentación del tema: "The Normal Distribution To calculate the probability of a Normal distribution between a and b:"— Transcripción de la presentación:

1 The Normal Distribution To calculate the probability of a Normal distribution between a and b:

2 Normal Mu is the center of the distribution Sigma is the measure of dispersion of the distribution Large values of sigma means that there are observations “far away” from the center of the distribution. Small value of sigma means the observations are concentrated around mu.

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4 Normal Distribution: Use To model total amount of loss, the Normal distribution is useful if we have a large number of identical and independent policies sold If we have simple loss model, it is useful

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6 Gauss in action http://weetlogs.scilogs.be/index.php?op=Vi ewArticle&articleId=567&blogId=35

7 Suppose we have a lottery where the structure is as follows: Loss of c with probability p and no loss with probability 1-p This is a simple lottery If we have a large number n of independent ones….

8 Normal The central limit theorem says that the sum of the distribution will be normal with the following parameters

9 La distribución normal 1000 “fianzas” sold where the probability of loss is 0.25 where each loss is 36,000:

10 Another example There are 2,000 insured persons with a life policy that pays $100,000 in the case of death Suppose the probability of death is =.05 for each one and that they are independent. Simulate the deaths in a graph showing sum of the average losses of the indemnizations. Does the SUM of losses converge? Does the AVERAGE loss converge?

11 Example EXCEL SI(ALEAT ORIO() <= 0.05, 100000, 0) We get the following picture Without even looking at the graph, we can calculate how much the average loss converge to $100, 000 (0.05) = $5, 000.

12 Example Average partial losses converge to a distribution Note that the losses that the company pays is the TOTAL loss NOT average loss Now we can examine the total loss: It is a distribution Average TOTAL cost $100, 000 (0.05) (2000) = $10, 000, 000.

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14 ¿Será cierto que los costos totales se aproximan a este valor? Utilicemos los mismos datos generados en el ejemplo anterior, pero esta vez agregando los costos (es decir, sin dividir entre el número de asegurados). El proceso de las sumas parciales de las indemnizaciones, claramente forma una gráfica escalonada. Más aún, podemos ver que este valor NO se aproxima a $10,000,000 como los promedios se acercaban a $5,000.

15 Ley de Grandes Números Repitamos el mismo procedimiento varias veces, obteniendo la gráfica anterior. Ahora es mucho más claro ver lo que realmente sucede: los costos totales de un grupo de 2000 asegurados no se aproximan a los 10 millones, pero si este procedimiento se repite muchas veces, el promedio (sobre las repeticiones) de los costos totales sí se aproxima a los 10 millones. Sin embargo, la variabilidad de los resultados AUMENTA con el número de asegurados.

16 La LGN nos dice 1. Si tenemos un número grande de observaciones del mismo fenómeno aleatorio, los promedios parciales y las frecuencias relativas se aproximarán a los promedios y probabilidades teóricas. En seguros, esto implica que la indemnización promedio en un número grande de pólizas idénticas se aproximará al costo promedio que estima el actuario, dado que ha estimado las probabilidades correctamente.

17 La LGN nos dice 2. Si tenemos un número grande de observaciones del mismo fenómeno aleatorio, y no conocemos las probabilidades teóricas que gobiernan dicho fenómeno, entonces podemos usar dichas observaciones para estimarlas. Esto se realiza mediante procedimientos estadísticos. En seguros, ésto implica que un actuario puede utilizar experiencia histórica para estimar las probabilidades de las pérdidas potenciales. Sin embargo, estas probabilidades sólo serán válidas si las pólizas y los riesgos futuros son idénticos al pasado.

18 Lo que NO nos dice 1. Que en un número grande de asegurados los montos de las indemnizaciones totales están perfectamente pronosticados y por tanto, el asegurador no está expuesto a ningún riesgo, salvo "algunas" fluctuaciones alrededor del promedio, seguramente debidos a que el número de asegurados no es suficientemente grande. 2. Que el riesgo para el asegurador disminuye conforme el número de pólizas aumenta.