Derivación numérica Condiciones: 1)f definida en [a, b] y sus primeras (n+1) derivadas son continuas en el intervalo (a, b)  contenido en el intervalo.

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1 Derivación numérica Condiciones: 1)f definida en [a, b] y sus primeras (n+1) derivadas son continuas en el intervalo (a, b)  contenido en el intervalo (a, b) (pero desconocido) Esta serie es el desarrollo de Taylor de la función f(x) en torno a una vecindad del punto x = a. Algunas aplicaciones de este teorema Sean (n+1) puntos igualmente espaciados Con sus respectivas imágenes

2 Para el punto vamos a efectuar el desarrollo de Taylor en torno del punto y truncaremos la expansión en el segundo término más el resto, esto es Para el punto vamos a efectuar el desarrollo de Taylor en torno del punto y truncaremos la expansión en el segundo término más el resto, esto es Realizamos nuestra primera aproximación Nota: se supone que h es muy pequeño, menor que 1, y entonces h 2 será más pequeño todavía, y al dividirlo por 2, más pequeño aún. Pero claro, queda la duda si el valor de la segunda derivada no es muy grande relativamente, que en cualquier caso es un valor finito por las exigencias a la función f. Derivación numérica

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4 Para el punto vamos a efectuar el desarrollo de Taylor en torno del punto y truncaremos la expansión en el tercer término más el resto, esto es Para el punto vamos a efectuar el desarrollo de Taylor en torno del punto y truncaremos la expansión en el tercer término más el resto, esto es Nota: se supone que h es muy pequeño, menor que 1, y entonces h 3 será más pequeño todavía, y al dividirlo por 6, más pequeño aún. Pero claro, queda la duda si el valor de la tercera derivada no es muy grande relativamente, que en cualquier caso es un valor finito por las exigencias a la función f. Derivación numérica

5 Restando y despejando, obtenemos una aproximación numérica para la primera derivada Derivación numérica

6 Aproximando Restando y despejando, obtenemos una aproximación numérica para la segunda derivada

7 Derivación numérica Y para obtener segundas derivadas utilizamos:

8 Derivación numérica: ejemplo