Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos de Masas Convectivos I En.

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1 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos de Masas Convectivos I En esta presentación empezamos a hablar del tema de la convección que es un tema bastante duro. La termodinámica irreversible trata con fenómenos puramente térmicos y con fenómenos de la conversión de energía libre a calor. En la termodinámica reversible la situación se complica porque se encuentran flujos de masa en paralelo con los flujos de energía.

2 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Contenido Flujos de masa y de entropíaFlujos de masa y de entropía Fluidos desplazándose en un tubilloFluidos desplazándose en un tubillo La ecuación de las ondasLa ecuación de las ondas Flujos forzadosFlujos forzados Turbinas Compresores y bombasCompresores y bombas Flujo de calorFlujo de calor Pérdidas en el transporte de masasPérdidas en el transporte de masas

3 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos de Masas y de la Entropía Aunque existen fenómenos físicos que ocurren en el campo térmico exclusivamente, no existen flujos de masa que no son acompañados por flujos de entropía. El problema tiene que ver con la observación que flujos de masa siempre llevan consigo su volumen y su calor almacenado. Por eso no tiene sentido modelar uno sin otro. La circulación de aguas dentro de la Biosfera 2 sirva como ejemplo. Los fenómenos térmicos del ciclo de aguas no puede describirse de una forma correcta sin tomar en cuenta los flujos de masa (o al menos los caudales) en mismo tiempo.

4 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Fluido Desplazándose en un Tubillo I Empezamos modelando otra vez el flujo de un fluido (liquido o gas) a través de un tubillo. El tubillo puede subdividirse en segmentos de la longitud  x. Si más fluido llega a un segmento que sale de el, la presión del fluido en el segmento crece. El fluido se comprime. q ein q aus p dp dt = c · ( q ein – q aus ) p qq C : 1/c

5 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Fluido Desplazándose en un Tubillo II Si la presión en la entrada de un segmento es más alta que en la salida, el fluido se acelera. Ese efecto es causado por la naturaleza mecánica del fluido. La presión es proporcional a una fuerza y el volumen es proporcional a la masa. Por consecuencia se trata de un fenómeno inductivo. Describe la inercia de la masa acelerada. p ein p aus q dq dt = k · ( p ein – p aus ) I : 1/k q pp

6 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Fluido Desplazándose en un Tubillo III Entonces podemos proponer el gráfico de ligaduras siguiente:... 010101 0 C I CCC II q i-1 qiqi qiqi pipi p i+1 pipi

7 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Capacidades y Inductancias Aunque la inductancia hidráulica/neumática describe el mismo fenómeno físico que la inductancia mecánica, usa unidades diferentes. dp dt  q = C · [C] = [  q] / [dp/dt] = m 3 ·s -1 N·m -2 ·s -1 = m 4 ·s 2 ·kg -1 dq dt  p = L · [L] = [  p] / [dq/dt] = m 3 ·s -2 N·m -2 = kg·m -4  [  L·C ] = s todavía es una constante de tiempo

8 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Ecuación de las Ondas I Cada libro de la física nos informa que un fluido desplazándose en un tubillo satisface la ecuación de las ondas. La discretización en el espacio produce: 2p2p   t 2 = c 2 · 2p2p   x 2 d2pkd2pk d  t 2 = · ( p k+1 – 2 · p k + p k-1 ) c 2 x2x2  d2pkd2pk d  t 2 = p k+1 – 2 · p k + p k-1 c xx ( ) 2 ·

9 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Ecuación de las Ondas II El circuito siguiente puede servir para el modelado de ese fenómeno: C iCiC L i L1 v i-1 v i L i L2 v i+1 v 0 = 0 dv i /dt = i C /C i C = i L1 – i L2 v i-1 – v i = L· di L1 /dt v i – v i+1 = L· di L2 /dt  C·d 2 v i /dt 2 = di C /dt di C /dt = di L1 /dt – di L2 /dt v i-1 – v i = L· di L1 /dt v i – v i+1 = L· di L2 /dt (L · C) · = v i+1 – 2·v i + v i-1  d2vid2vi dt 2  c = xx  L·C

10 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Ecuación de las Ondas III Una cadena de tal elementos corresponde al gráfico de ligaduras propuesto: C LLLL C C... 0 C 1 I 0 C 0 C 0 C 1 I 1 I

11 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos Forzados I Se puede pensar que un flujo forzado pueda modelarse usando dos fuentes de flujos moduladas:... 0 C 1 I 0 C 0 C 0 C 1 I Sf q qq ¿Qué pasa con la energía al punto donde la cadena se rompió? Como los flujos a la izquierda y a la derecha son idénticos (conservación de masa), tiene sentido unir las dos fuentes.

12 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos Forzados II... 0 C 1 I 0 C 0 C 0 C 1 I Sf q qq p1p1 p2p2 Desagraciadamente encontramos un pequeño problema: ¡la conservación de la energía es violada! Se Flujos no pueden forzarse sin añadir energía al sistema. Parece que el problema debe investigarse con más cuidado...

13 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Turbina I Miraremos que pasa si la pala de la turbina está en el camino de un flujo de masa que ocurre por razones externas al modelo. La diferencia de la presión de los dos lados de la pala genera una fuerza que produce un par de torsión en la turbina. El par de torsión generado es proporcional a la diferencia entre los dos valores de la presión y por consecuencia nos damos cuenta que se tiene que incluir un transformador en el gráfico de ligaduras. Si la turbina se diseñó de forma óptima, la diferencia de presión se convierte completamente a un par de torsión, es decir no se queda ninguna energía hidráulica que pueda almacenarse en un elemento de inductancia.

14 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 La Turbina II... 010101 0 C I CCC TFI qiqi pipi p i+1 pipi qiqi qiqi  1I :J R :B La diferencia de presión  p i produce un par de torsión . Aquello por su parte genera una velocidad angular  en la turbina que induce un flujo q i en el lado hidráulico.

15 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Compresores y Bombas I Es posible también cambiar causa y efecto. Podemos generar un par de torsión en la turbina usando un motor eléctrico conectado con el eje de la turbina. La turbina combinada con el motor sirve ahora o de compresor o de bomba. El sistema induce un flujo q i al lado hidráulico que causa una diferencia de presión correspondiente.

16 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Tubillo de aguas compresor / bomba Motor CD Compresores y Bombas II... 010101 0 CICCC TF I qiqi pipi p i+1 pipi qiqi qiqi   1 I :J R :B Se 1 I :L a R :R a GY u uiui mm  El motor CD con la bomba remplaza la fuente de flujo modulada que se había propuesto antes.

17 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos de Calor I Entretanto entendemos como deben modelarse los flujos de masa. Sin embargo, la masa que se mueve siempre lleva consigo so calor interno. Si modelamos fenómenos térmicos es entonces importante representar correctamente estos flujos de calor que no son disipativos. S. Depósito V, S q Flujo de calor S. S = V q  S. = (S/V) · q Flujo de masa

18 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Flujos de Calor II El flujo de calor que resulta puede representarse de verdad como una fuente de flujo modulada.... 010101 0 C I CCC TFI qiqi pipi p i+1 pipi qiqi qiqi C th 0... Sf0 0 0 C th S/V qiqi SiSi. SiSi. S ix. TiTi T i+1 La ley de conservación de energía no es violada, porque la entropía no se conserva.

19 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Pérdidas del Transporte de Masas El transporte de fluidos siempre es asociado con pérdidas a causa de rozamiento.... 010101 0 C I CCC TFI qiqi pipi p i+1 pipi qiqi qiqi C th 0... Sf0 0 0 C th S/V qiqi SiSi. SiSi. S ix. TiTi T i+1 S/V RS

20 Principio de la presentación © Prof. Dr. François E. Cellier Modelado Matemático de Sistemas Físicos Febrero 12, 2008 Conclusiones Entretanto entendamos que la causa del flujo de calor convectivo se encuentra en el flujo de masa. El transporte de masa se modela usando la ecuación de las ondas, donde flujos forzados (bombas, compresores) remplazan las inductancias al sitio del forzamiento. El flujo de calor es una consecuencia del flujo de masa y puede modelarse usando fuentes de flujo moduladas. Pérdidas de rozamiento pueden añadirse al modelo donde y cuando se necesitan.