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Vectores fijos en el plano Vector fijo: Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el origen al extremo. A B Extremo Origen.

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1 Vectores fijos en el plano Vector fijo: Es un segmento orientado, con el sentido del recorrido que va desde el origen al extremo. A B Extremo Origen

2 Elementos de un vector A B El módulo de un vector fijo es la longitud del segmento [AB]

3 Dirección de un vector Dirección de un vector fijo: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Todos estos vectores tienen la misma dirección.

4 Sentido de un vector Dos vectores con la misma dirección pueden tener el mismo sentido o distinto sentido. Según se realice el recorrido desde el punto origen al extremo del vector. Vectores con el mismo sentido Vectores con distinto sentido

5 Vectores equipolentes o equivalentes Dos vectores fijos son equipolentes o equivalentes si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido. Todos estos vectores son equipolentes.

6 Vectores libres en el plano Dado un vector fijo en el plano, todos sus vectores equivalentes definen el mismo desplazamiento en el plano. Todos ellos determinan un vector libre en el plano. Cada vector fijo es un representante del vector libre. A B El vector fijo AB es un representante del vector libre u Todos los vectores de la figura forman el vector libre u.

7 Componentes de un vector libre I Un vector libre no es más que un desplazamiento en el plano. Este desplazamiento se puede descomponer en una componente horizontal y otra vertical. Desplazamiento vertical + - Desplazamiento horizontal + - El desplazamiento horizontal puede ser hacia la derecha (positivo) o hacia la izquierda (negativo). El desplazamiento vertical puede ser hacia arriba (positivo) o hacia abajo (negativo).

8 Componentes de un vector libre II u El vector u Está determinado por una componente horizontal igual a tres (tres pasos hacia la derecha) y otra vertical igual a dos (dos pasos hacia arriba) A B C D E F 3 2 Este desplazamiento lo podemos realizar en cualquier punto y siempre obtendremos el mismo vector (mismo módulo, dirección y sentido).

9 Componentes de un vector libre III Las componentes de un vector libre se pueden calcular a partir del ángulo que forma el vector con la horizontal y el módulo del vector.  u x y Por tanto Esta forma de calcular las componentes de un vector se utiliza muy a menudo en Física.

10 Suma de vectores libres I Colocamos el origen del segundo vector en el extremo del primer vector.

11 Suma de vectores libres II Regla del paralelogramo En los extremos de cada vector trazamos líneas paralelas al otro vector formando un paralelogramo. La diagonal es la suma de los vectores.

12 Opuesto de un vector -u El opuesto de un vector es otro vector que tiene el mismo módulo y dirección que el primero pero con distinto sentido.

13 Diferencia de vectores libres u - v - v u – v = u + (- v )

14 Producto de un número real por un vector El módulo de k u es k veces (positivo) el módulo de u La dirección es la misma. Si k>0 el sentido es el mismo Si K<0 el sentido es contrario

15 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

16 EJEMPLO COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES I

17 EJEMPLO COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES II Dados los vectores anteriores vamos a calcular el vector

18 VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Un conjunto de vectores se dice que son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. En caso contrario decimos que son linealmente independientes. Dos vectores con la misma dirección son linealmente dependientes. Dos vectores con distinta dirección son linealmente independientes

19 BASES EN EL PLANO Dos vectores del plano linealmente independientes se dice que forman una base porque cualquier otro vector se puede poner como combinación lineal de ellos. Los dos vectores forman una base del conjunto de vectores del plano al tener distinta dirección Cualquier otro vector se puede calcular como combinación lineal de los anteriores. El procedimiento es el siguiente:

20 Coordenadas de un vector respecto de una base Colocamos los tres vectores con en el mismo origen. Prolongamos los vectores que forman la base Trazamos por el extremo del tercer vector paralelas a los vectores de la base. Los puntos de corte determinan la combinación lineal.

21 Coordenadas de un vector respecto de una base II u a Vamos a calcular las coordenadas de Respecto de la base B(u,v ). a v v u a

22 Sistema de referencia cartesiano (ortonormal). Coordenadas cartesianas Esta formada por un punto fijo O y dos vectores perpendiculares y de módulo uno. Cualquier otro vector se puede expresar como combinación lineal de esos vectores. X y A estas coordenadas las llamamos coordenadas cartesianas y coinciden con las componentes horizontal y vertical del vector. O

23 Operaciones con coordenadas y Suma: Resta: Producto por un número real k: Opuesto de un vector:

24 Vector de posición de un punto O X y Fijado un sistema de referencia a cada punto P del plano se le asocia el vector OP. P Las coordenadas del punto P son las coordenadas del vector OP respecto de la base B( i, j ). El vector OP se llama vector de posición del punto P y también se escribe como p.

25 Cálculo de las coordenadas de un vector AB X y A (a 1,a 2 ) B (b 1,b 2 ) a b a + AB = b AB = (b 1 -a 1, b 2 -a 2 ) AB = b - a Las coordenadas del vector AB se calculan restando a las coordenadas del punto extremo las del punto origen.

26 Cálculo del módulo de un vector X y

27 Vectores paralelos (linealmente dependientes) Por tanto las coordenadas son proporcionales

28 Producto escalar de dos vectores  El resultado del producto escalar de dos vectores es un número.

29 Propiedades del producto escalar 1.Dados dos vectores no nulos:  º

30 Propiedades del producto escalar 2.El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo: 3.Propiedad conmutativa: 4.Propiedad distributiva:

31 Cálculo del producto escalar Ejemplo:

32 Aplicaciones del producto escalar I Cálculo del ángulo que forman dos vectores:

33 Aplicaciones del producto escalar II Vectores perpendiculares u v Cualquier otro vector paralelo a v será perpendicular a u. Ejemplo: Calcula tres vectores perpendiculares a u=(-5,3).


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