Curso Caracas, Marzo 2006 Modelación 3D H.-J. Götze IfG, Christian-Albrechts-Universität Kiel Formulas para una modelación 3D Formulas para una modelación.

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1 Curso Caracas, Marzo 2006 Modelación 3D H.-J. Götze IfG, Christian-Albrechts-Universität Kiel Formulas para una modelación 3D Formulas para una modelación 3D

2 Curso Caracas 2006 3D Modeling

3 Curso Caracas 2006 3D Modeling

4 Curso Caracas 2006 Modelado tridimensional (3D) Al igual que en el caso bidimensional, en los últimos años han aparecido una serie de métodos para el modelado gravimétrico tridimensional, con mayores o menores posibilidades de aplicación. En esta sección nos concentraremos en el método desarrollado por Götze (1978, 1984) y Götze & Lahmeyer (1988), y que es la base del programa IGAS. Debido a que el desarrollo matemático es altamente complejo, no se realizara un análisis detallado de las fórmulas. Para más detalles consultar las citas recién nombradas. En general, el cálculo de la atracción gravitatoria de un poliedro homogéneo en el punto P se basa en el cálculo de la siguiente integral de volumen donde U(P)=Potencial en el punto P R= ; distancia del punto P al elemento de masa dm dm=D dv = D dx dy dz f=constante de gravitación universal (5.23)

5 Curso Caracas 2006 Modelado tridimensional (3D) Derivando el potencial respecto de la componente z, pues nos interesa la componente z de la gravedad, que es lo que medimos con el gravímetro - obtenemos la atracción gravitatoria o aceleración de la gravedad, g(P): Luego, considerando los teoremas de análisis vectorial, en este caso, el teorema de Gauß (ver p.ej. Bronstein & Semendjajew, 1979) obtenemos donde la integral de superficie se calcula sobre toda la superficie del poliedro, y el término cos(n,z) representa la dirección del elemento de superficie dS respecto al sistema de coordenadas cartesianas. Dado que para cada superficie Sj (j = 1,2...m = nE de superficies) del poliedro vale que cos(nj,z) = const, puede expresarse la atracción gravitatoria del poliedro a través de la superposición de los efectos gravitatorios de las diferentes superficies que lo componen (5.24) (5.25) (5.26)

6 Curso Caracas 2006 3D superficie del cuerpo

7 Curso Caracas 2006 Modelado tridimensional (3D) Para obtener expresiones aritméticas relativamente simples de la resolución de la integral (5.25), es necesario hacer una transformación de coordenadas, en la cual, las nuevas coordenadas x',y',z' estarán orientadas según las superficies: -El eje x' será paralelo a. - El eje z' será paralelo a las respectivas normales a las superficies, j. -El eje y' es ortogonal a los ejes x' y z'. La transformación de coordenadas para cada superficie Sj, se calcula de la siguiente forma: (5.27)

8 Curso Caracas 2006 Modelado tridimensional (3D) Los cosenos directores de la matriz de transformación en (5.27) se determinan a partir del determinante que representa la ecuación del plano que pasa por los puntos V1, V2, V3 : y de las relaciones que presentan las nuevas coordenadas en relación a las superficies Sj del poliedro. El ingreso de los punto Vi que forman las diversas superficies se realiza en sentido matemático positivo. De ahora en adelante todos los cálculos se realizarán en el nuevo sistema de coordenadas. (5.28)

9 Curso Caracas 2006 Modelado tridimensional (3D) El próximo paso consiste en transformar las integrales de superficie en (5.26) en integrales de línea a lo largo del respectivo polígono Pj que limita a la superficie Sj, para lo cual utilizaremos el teorema de Gauß en el plano (Bronstein & Semendjajew, 1979): La resolución de la integral (5.29) (Götze, 1984) no será presentada en su totalidad. Resolviendo la integral (5.29), obtenemos - según la nomenclatura de la fig. 5.10 - la siguiente fórmula para la atracción gravitatoria de un poliedro: conKj= Número de lados del polígono Pj aj, i,bj, i = Límite inferior y superior de integración sj, i= Variable de integración (5.29) (5.30)

10 Curso Caracas 2006 Modelado tridimensional (3D) La fórmula para la atracción gravitatoria de un poliedro consta fundamentalmente (según (5.30)) de una doble suma sobre todas las superficies del poliedro y de la suma sobre todas las caras de los polígonos Pj, con lo que se obtuvo una fórmula muy simple, fácilmente programable, para la atracción gravitatoria de un poliedro.

11 Curso Caracas 2006 Teoréma de Poisson