ANOVA (Analysis of Variation)

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1 ANOVA (Analysis of Variation)
Análisis de Varianza ANOVA (Analysis of Variation)

2 ANOVA – Asunto básico Dos Variables: Categórica (los grupos)
Cuantitativa (lo medido) ¿Los promedios de la variable cuantitativa varían entre los grupos (categorías)? Nota: si se trata solamente de dos grupos se hace test – t no pareado. Anova, para más de dos grupos.

3 ANOVA Muestras provienen de población con distribución normal y con similares DS (para hablar de similitud de DS siga la regla 2:1). La varianza de cada grupo es un estimativo de la varianza de la población. La varianza mezclada (pooled) de los grupos puede utilizarse para calcular IC de la diferencia de pares de promedios.

4 Anova Cuando tenemos más de dos grupos. Hipótesis nula:
Calcular valor de F (de Fisher). Distribución de F tiene sesgo cuando se acepta hipótesis nula.

5 Que hace el ANOVA? En su forma más simple ANOVA:
H0: Los promedios de todos los grupos son iguales. Ha: No todos los promedios son iguales No dice cómo o cuáles son diferentes. Puede continuar con “múltiples comparaciones” .

6 Ejemplos de utilización de ANOVA en odontología
Cinco tratamientos diferentes para pacientes con herpes recurrente Variación de ángulo goníaco en pctes con ADM clase I, II, III Resistencia al desgaste de tres resinas diferentes Grosor de la capa híbrida utilizando tres adhesivos diferentes

7 Least Squares Means Factor Level LS Mean Standard Error N POSTGRADO Endo 6.100 0.127 10.000 Orto 6.143 0.121 11.000 Perio 6.286 0.107 14.000 Analysis of Variance Source Type III SS df Mean Squares F-ratio p-value POSTGRADO 0.234 2 0.117 0.726 0.492 Error 5.145 32 0.161 Case 11 is an Outlier (Studentized Residual :-3.466)

8 Test de ANOVA, se asume que:
• Cada muestra debe ser independiente de las otras. • Cada muestra debe haber sido seleccionada al azar de la pob de donde proviene.

9 • Las pob de donde provienen las muestras debe tener dist normal.
• Las varianzas de cada pob deben ser iguales, aunque los promedios sean diferentes, es decir cuando los tratamientos tengan efecto. Nota: si esto no se cumple, deberá ocupar otro test, generalmente test de Kruskal-Wallis.

10 Cómo seleccionar muestra al azar?
Asignando con la moneda (cara / sello) (fácil solamente para dos grupos). Tablas de números aleatorios (ver libros de bioestadística) Generar números aleatorios (función random o aleatorio.entre en excel), u otro software.

11 Anotación en ANOVA N: número de individuos en total

12 ANOVA – ANALISIS DE VARIANZA DE UNA VIA
Datos: 5 tratamientos con antivirales en 6 pctes (replicas) f = 6, k = 5, N = 30 (P) (2) (3) (4) (5) 5 4 6 7 9 8 3 10

13 5 trat para infección herpética (valores indican días de duración de las lesiones)
(2) (3) (4) (5) 5 4 6 7 9 8 3 10

14 5 trat para infección herpética (valores indican días de duración de las lesiones)
(2) (3) (4) (5) 5 4 6 7 9 8 3 10 45 30 26 31 37

15 5 trat para infección herpética (valores indican días de duración de las lesiones)
(2) (3) (4) (5) 25 16 36 49 81 64 9 100 351 158 118 171 249

16 Suma total de cuadrados
Suma total de los cuadrados (SSC): Factor de corrección (CF): (åx)2/n TSS = ( ) – ( )2 /30 = 1047 – 28561/30 = 1047 – 952, Factor de corrección TSS = 94,97

17 Suma total de los cuadrados
Está basada en la suma de los cuadrados de las diferencias de cada una de las observaciones del promedio general. Se divide en: Suma de Cuadrados Entre los grupos basado en la suma de los cuadrados de la diferencia entre el promedio de cada grupo y el promedio general (SSB) Suma de Cuadrados Dentro de los grupos: calculado como la suma de los cuadrados para la diferencia entre cada observación y el promedio de su grupo (SSw)

18 SSB Variabilidad entre los grupos: Variabilidad de los promedios de los diferentes grupos alrededor del gran promedio (calculado sin tomar en cuenta la estructura del grupo)

19 SSw Variabilidad dentro del grupo: También llamada variación NO explicada o residual y se refiere a la variación al azar entre los individuos dentro de cada grupo.

20 Cuadrados dentro de los grupos (Error)
Suma de cuadrados dentro de los grupos (Within Sum of Squareds) (Donde k: número de grupos; f: número de individuos en cada grupo) SSW = 1047 – ( 452/6 +302/6 +262/6 +312/ /6 ) = 1047 – 988,51 SSW = 58,49

21 SUMA DE CUADRADOS ENTRE LOS GRUPOS Between sum of squares
SSB = ( 452/6 +302/6 +262/6 +312/ /6 ) – 952,03 SSB = 988,51 – 952,03 SSB = 36,48

22 Cuadrados medios Cada suma de cuadrados se convierte en una varianza estimada (Cuadrados Medios) dividiendo por sus grados de libertad. GL entre los grupos: k – 1 Dentro de los grupos: (n1 – 1 + n2 – 1 + n3 – 1)

23 De la hipótesis nula: Todos los grupos tienen el mismo promedio y la misma varianza, por lo tanto la relación de las varianzas sería 1. Mediante el valor de F comparamos las varianzas y obtenemos la relación de ellas GAUSS

24 Tabla de ANOVA Construcción de la tabla de Análisis de Varianza:
Fuente de SC gl MS F Variación Between 36, ,12 3,897 Within 58, ,339 Total , = 2,75 Por lo tanto existen dif. signif. (P<0,05)

25 Fcrítico depende de los gl de CMentre y CM dentro, y elegir el valor de 

26 Por lo tanto P<0,05 P>0,01 0,05>P>0,01

27 Valores de F críticos según tabla Valor de F obtenido = 3,897
= 2,75 = 3,35 = 4,18 Por lo tanto: 0,05> P > 0,01

28 Valor de F

29 GRADOS DE LIBERTAD EN TABLA DE ANOVA
Entre los grupos (between) (k-1): n(úmero de grupos) – 1: (5 - 1) = 4 Dentro de los grupos (within) k(n-1): 5(6-1) = 25 Total = n – 1; = 29

30 VALOR DE F Si F es un número grande, la variabilidad entre las medias de las muestras es mayor que la esperada a la variabilidad dentro de las muestras, y rechaza la hipótesis nula de que todas las muestras son de la misma población.

31 Analysis of Variance Source Type III SS df Mean Squares F-ratio
Least Squares Means Factor Level LS Mean Standard Error N Medicamento Placebo 7.500 0.624 6.000 a 5.000 b 4.333 c 5.167 d 6.167 Analysis of Variance Source Type III SS df Mean Squares F-ratio p-value Medicamento 36.467 4 9.117 3.896 0.014 Error 58.500 25 2.340

32 Gráficos para ANOVA Promedios y DS de cada grupo. Cajas. Puntos.

33 Tests para comparar medias
Scheffé Si tamaño de los grupos es diferente Interesa además contrastes (Ej: grupo 1 y 2 vs 3) Tukey Si tamaño de los grupos es igual Interés prinicipal es comparar solo promedios de grupos Bonferroni No se había previsto comparar grupos Utilizar solamente si resultado en ANOVA es p<0,05

34 Test de Scheffé Dos promedios presentan diferencias significativas si su diferencia excede el valor calculado por: k = número de promedios. F3,8;0.05 = 4,0662 MSE = 0,917 (de cuadrado medio, within)

35 Test de Scheffé Dos promedios presentan diferencias significativas si su diferencia excede el valor calculado por: [(k-1)F0,05]1/2 [(1/n1 + 1/n2)*MSE]1/2 k = número de promedios. F3,8;0,05 = 4,0662 MSE = 0,917 (de cuadrado medio, within)

36 Existe diferencia entre dos grupos, si la diferencia de
Cálculo de Scheffé Existe diferencia entre dos grupos, si la diferencia de sus promedios supera a 2,928

37 5 trat para infección herpética (valores indican días de duración de las lesiones), última fila sus promedios (P) (2) (3) (4) (5) 5 4 6 7 9 8 3 10 7,50 5,00 4,33 5,17 6,17

38 Promedios de cada grupo y sus diferencias
Entre Placebo y grupo (3) = 7,50 – 4,33 = 3,17 Valor supera al valor del test de Scheffé (2,928), por lo tanto existen diferencias significativas entre esos dos grupos 2. Entre placebo y grupo (2) = 7,50 – 5,0 = 2,50 Valor del test de Scheffé es superior, por lo tanto NO existen diferencias significatvas entre Placebo y grupo 2. NO DEBE HACER MÁS COMPARACIONES…YA QUE TODAS LAS OTRAS DIFERENCIAS SON MENORES A VALOR DE SCHEFFÉ. Promedios ordenados de mayor a menor (línea marca entre qué grupos NO existe diferencias significativas): (P) (5) (4) (2) (3) 7,50 6,17 5,17 5,00 4,33

39 Realización de Anova con software estadístico
Dependiente: variable que desea examinar, debe ser continua (por ejemplo: edad, recuento de linfocitos, hematócrito, etc. D N !) Factor: una o más variables categóricas que tienen agrupados datos en más de dos grupos (variables de agrupar, ej.: NSE, Clase esq (I, II y III), etc.) Identificar si desea comparación entre grupos(Tukey, Scheffé, etc.)

40 ANOVA y Test Scheffé Resultados con Software Systat
Categorical values encountered during processing are: GRUPO$ (4 levels) A, B, C, D Dep Var: NOTA N: 12 Multiple R: Squared multiple R: 0.476 Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P GRUPO$ Error

41 Analysis of Variance Source Type III SS df Mean Squares F-ratio
Least Squares Means Factor Level LS Mean Standard Error N Medicamento Placebo 7.500 0.624 6.000 a 5.000 b 4.333 c 5.167 d 6.167 Analysis of Variance Source Type III SS df Mean Squares F-ratio p-value Medicamento 36.467 4 9.117 3.896 0.014 Error 58.500 25 2.340

42 ROW GRUPO$ 1 A 2 B 3 C 4 D Using least squares means. Post Hoc test of NOTA Using model MSE of with 8 df. Matrix of pairwise mean differences: Scheffe Test. Matrix of pairwise comparison probabilities:

43 Scheffe Test Medicamento(i) Medicamento(j) Difference p-value 95.0% Confidence Interval Lower Upper Placebo a 2.500 0.125 -0.434 5.434 b 3.167 0.029 0.233 6.100 c 2.333 0.172 -0.600 5.267 d 1.333 0.687 -1.600 4.267 0.667 0.965 -2.267 3.600 -0.167 1.000 -3.100 2.767 -1.167 0.781 -4.100 1.767 -0.833 0.923 -3.767 2.100 -1.833 0.389 -4.767 1.100 -1.000 0.862 -3.934 1.934

44 Inventó el gráfico de cajas
Test de Tukey Tukey = T = 1/ Ö n * qk, n-k,1-a = 1/ Ö 3 * (4,04) = 2,3323 T = 2,3323 * Ö 0,917 T = 2,3323 * 0,87812 2,00 ± 2,04 Al contener 0 NO hay diferencia significativa entre grupos A y C (p<0,05). Realice las otras comparaciones (NS). Inventó el gráfico de cajas Tabla de valores de Tukey (Dif entre A y C)

45 Tukey o Scheffé Tukey. Uses the Studentized range statistic to make all pairwise comparisons. This is the default. Scheffé. The significance level of Scheffé’s test is designed to allow all possible linear combinations of group means to be tested, not just pairwise comparisons available in this feature. The result is that Scheffé’s test is more conservative than other tests.

46 Tipos de Anova Con un factor Con dos factores:
tres grupos (A, B, C) género (M, F) Interacción Con más de dos factores (NSE, género, religión) De medidas repetidas (activ EMG)

47 Anova de dos vías Categorical values encountered during processing are: GRUPO$ (3 levels) A, B, C METODO$ (2 levels) I, II Dep Var: LIPIDOS N: 18 Multiple R: Squared multiple R: 0.996 Analysis of Variance Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-ratio P GRUPO$ METODO$ GRUPO$*METODO$ Error

48 Desventajas de utilizar computador en estadística (Altman, 1999)
Errores en los softwares Versatilidad (dada la disponibilidad de tantos softwares y tests: tentación a usar el q no corresponde) La caja negra le aleja de sus datos La basura se va con la basura (si ingresa datos en forma equivocada los resultados serán equivocados, ingreso de 0, 9, 99, 999)

49 Ventajas de utilizar computador en estadística (Altman, 1999)
Precisión y rapidez Versatilidad (gran cantidad de tests disponibles) Gráficos Flexibilidad Nuevas variables Volumen de datos Transferencia de datos

50 Estrategia para análisis de datos
Recolección de datos (form codificados) Entrada de datos (Excel) Chequear datos (min, max, x, ds) Graficar antes de analizar Análisis de datos Chequear resultados Interpretar

51 Web Pages that Perform Statistical Calculations: