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El Número de Oro Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de matemática Ingeniería Matemática Ricardo Santander Baeza rasantan@usach.cl
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza2 Agenda Introducción Construcción Aplicaciones
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza3 Introduccción La dificultad de comprender un concepto abstracto nos obliga a buscar un soporte material, para que nuestra mente primero lo intuya y luego reflexione acerca de él. Por ejemplo si se considera la expresión: X ² - 5 x + 6 = 0 ( * ) Una pregunta es; ¿Qué es o representa (*) ?
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza4 Respuesta: es una ecuación y el objetivo es resolverla Resolver x ² - 5 x + 6 = 0 significa determinar un número de alguna clase de tal forma que al multiplicarse por si mismo, restarse cinco veces y adicionarse seis, se obtiene cero. El arte de calcular nos permite decir que los números: X = 3 X = 2 satisfacen la ecuación.
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza5 Agenda Introducción Construcción del Número de Oro Aplicaciones
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza6 Construcción del Número de Oro ● Deducción Aritmético – Geométrica. Construcción Geométrica Construcción de la Pentalfa Rectángulo Áureo
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza7 Si consideramos un segmento arbitrario y lo dividimos como sigue: Numero de Oro
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza8 Construcción del Número de Oro ● Deducción Aritmética – Geométrica. ● Construcción Geométrica Construcción de la Pentalfa Rectángulo Áureo
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9Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006 Construcción Geométrica Construcción Automática 17-Apr-15onstrucción por etapas17-Apr-15onstrucción por etapas
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11Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006 Construcción del Número de Oro ● Deducción Aritmética – Geométrica. ● Construcción Geométrica ● Construcción de la Pentalfa Rectángulo Áureo
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza16 La Pentalfa y el Rostro Humano
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza17 Construcción del Número de Oro ● Deducción Aritmética – Geométrica. ● Construcción Geométrica ● Construcción de la Pentalfa ● Rectángulo Áureo
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza18 Construcción de un Rectángulo Áureo A B CD a E F G
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza19 Construcción de un Espiral AB C D E F G I H K L J
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza20 Etapa 8. Construimos el espiral
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza21 Tarjetas de crédito.....
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza22 Agenda Introducción Construcción del Número de Oro Aplicaciones
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23Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006 Aplicaciones Genealogía Arquitectura y Arte Cuerpo Humano Filotaxia
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza24 En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo. La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza25 El ojo y los párpados están inscritos en rectángulo áureo de modulo : 1. 618 El Ojo Humano
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza26 La longitud AB = L del ojo dividida por la distancia de un borde al iris está en división Áurea
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza27 Del borde izquierdo ( derecho ) del iris al borde derecho ( izquierdo ) de la pupila la razón es Áurea
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza28 La relación entre las falanges de los dedos es el número áureo. Las Manos
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza29 El Brazo Humano
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30Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006 Aplicaciones Genealogía Arquitectura y Arte Cuerpo Humano Filotaxia
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza31 En la figura se puede comprobar que AB/CD=. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA=. El Partenón
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza32 El Partenón 2
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza33 Catedral de Bagdad
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza34 Catedral de Notre Dame
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza35 Pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico pitagórico. Leda Atómica de Dali
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza36 Un domingo por la tarde en la Ile de la Grande Jatte", Georges Seurat 1884-86
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza37 Cuadro de Georges Seurat
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza38 Cuadro de Rafael
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza39 El Violín y la Sección Áurea
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40Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006 Aplicaciones Genealogía Arquitectura y Arte Cuerpo Humano Filotaxia
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza41 La filotaxia es una rama de la botánica que estudia la disposición de las ramas, de las hojas y de las semillas de las plantas. La razón 1.618 es una característica de los crecimientos simétricos y pentagonales Filotaxia
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza42 El profesor Wierner encontró en el año 1875 que el ángulo de 137 º 30 ' 28 '' denunciado a menudo en filotaxia en la separación angular o helicoidal de las ramas o tallos respecto del tronco satisface la ecuación : Que corresponde a la solución matemática de exposición (que es máxima en los climas tropicales) de las hojas a la luz vertical o axial
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza43 El arrayán
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza44 Coigue
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza45 Una vista aérea de la avellana de Pino, nos permite ver la distribución en espiral de todas sus semillas
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza46 El Girasol
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47Ricardo Santander Baeza6 de sep de 2006 Aplicaciones Genealogía Arquitectura y Arte Cuerpo Humano Filotaxia
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza48 Genealogía El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza50 Justificación Matemática Usando el Teorema de Pitágoras en el triángulo BCE podemos calcular el valor de h:
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza51 Rectángulo Áureo:
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza52 Etapa 1. Consideremos un segmento arbitrario AB
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza53 Etapa 2. Construyamos un segmento AC de largo
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza54 Etapa 3. Construimos con centro en C un crculo de radio
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza55 Etapa 4. Construimos el segmento AC
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6 de sep de 2006Ricardo Santander Baeza56 Etapa 5. Construimos un crculo con centro en A y radio AD
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