Papiroflexia: geometría con papel

Presentación del tema: "Papiroflexia: geometría con papel"— Transcripción de la presentación:

1 Papiroflexia: geometría con papel
José Ignacio Royo Prieto Universidad del País Vasco MATEMÁTICAS EN ACCIÓN Santander, 24 de mayo de 2006

2 Reglas de la Papiroflexia (ortodoxa)
Se empieza con un único trozo de papel cuadrado; Sólo se puede plegar el papel; No se pueden realizar cortes; No se puede usar pegamento.

3 Modelos tradicionales
Ilustración de “A través del Espejo”, de Lewis Carrol Barco de papel

4 León, leona y cría (David Brill)

5 Mantis religiosa (Ronald Koh)

6 Bruja (José Aníbal Voyer Iniesta)

7 Dos Cisnes (David Derudas)

8 Peces (John Montroll)

9 Demonio (Jun Maekawa)

10 Dragón (Shatoshi Kamiya)

11 Insectos (Robert Lang)

12 Rosa (Toshikazu Kawasaki)

13

14 Eric Joisel

15 Jedi Master Yoda (Fumiaki Kawahata)

16

17 Osos Panda (Akira Yoshizawa y Sonny Fontana)

18 Procesión con nazarenos (Isidoro González, Sevilla)

19 Demonio de Tasmania (J.I.R.)
Mosca (J.I.R.)

20 Pájaro aleteador

21 Origami Ori = Doblar Kami= Papel

22 “Un mago convierte hojas de papel en pájaros”
Grabado en madera japonés de 1818.

23 “Senbazuru Orikata” Japón, 1789

24 Miguel de Unamuno (Zuloaga)

25 Monumento a la Pajarita
(Ramón Acín), Parque de Huesca

26 Akira Yoshizawa

27 Akira Yoshizawa

28

29 Elefantes (Akira Yoshizawa)

30 Avispa (Kamiya)

31 Avispa (Kamiya)

32 Avispa (Kamiya)

33 Avispa (Kamiya)

34 Tomoko Fuse

35 Instrucciones de plegado de un insecto de Robert Lang.
Sistema de símbolos de Yoshizawa-Randlett

36 Relación Matemáticas-Papiroflexia
Papiroflexia modular Teoremas de papel Constructibilidad de puntos con Origami Diseño de figuras con métodos matemáticos

37 Poliedros Definición: conjunto conexo de R3 formado por polígonos (caras) que cumplen: cada lado de cada cara es compartido con otra cara; en cada vértice hay un circuito cerrado de polígonos.

38 Poliedros convexos Su interior es convexo, y su interior se puede definir mediante fórmulas: Siendo C el número de caras.

39 Sólidos Platónicos - Definición: Un poliedro convexo es regular si:
-sus caras son polígonos regulares; -en cada vértice concurre el mismo número de aristas. -(Teeteto, a.C.): Tan sólo existen cinco, y son: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

40

41 Pirámide de Micerinos (Gizeh, Egipto)

42 Icosaedro truncado, cuestión de estado.

43 Papiroflexia modular Hacer figuras geométricas ensamblando piezas de papel sencillas e idénticas (módulos) El interés para con las matemáticas es doble: representación de poliedros y otras figuras; la construcción nos acerca a las propiedades de esas figuras.

44 Clases de módulos Por vértices; por aristas; por caras.

45 Problema de la coloración
Construir el poliedro en cuestión de modo que sus caras, vértices o aristas sigan un patrón. Ejemplo: que no concurran dos colores iguales Utilizaremos el grafo plano de un poliedro

46 Grafos planos de los sólidos platónicos

47 Coloración icosidodecaedro
Coloración icosaedro  Coloración icosidodecaedro

48 Icosidodecaedro

49 6 ciclos de aristas en un icosidodecaedro

50 Coloración icosaedro estrellado  Coloración triacontaedro rómbico

51 Triacontaedro rómbico

52 Coloración icosaedro estrellado usando módulos Sonobè

53 Dualidad de poliedros

54 Dualidad icosaedro-dodecaedro

55 Cinco Tetraedros Intersecados

56 Satoshi Kamiya

57

58 Balón de fútbol 12 pentágonos; 20 hexágonos;
En cada vértice, se juntan 2 hexágonos y un pentágono.

59 Fullerenos Están formados por hexágonos y pentágonos;
Concurren 3 aristas en cada vértice Cúpula geodésica de Montreal (Richard Buckminster Fuller)

60 Característica de Euler

61 Pentágonos de un fullereno

62 Construcción de nuevos fullerenos

63 Fullereno gigante (810 piezas)

64 Teorema de Steinitz Problema de Steinitz
Un grafo se puede realizar como un poliedro convexo de 3 si y sólo si es plano y 3-conexo. Problema de Steinitz Decidir cuándo un grafo se puede realizar en 3 como un poliedro convexo circunscrito en la esfera usual.

65 El balón de la Champions
Pentágonos Triángulos ¿Cuadrados?

66 Fórmula de Euler para 2

67 Dominios fundamentales
Sergei Lupashin (120 piezas) Roberto Gretter (555 piezas) Sarah Belcastro (105 piezas)

68 Curvatura de 2 con origami
Pentágonos: curvatura positiva Hexágonos: curvatura cero Heptágonos: curvatura negativa

69 Teoremas de papel Teoremas del triángulo División en 3 partes
Nudo pentagonal

70 Trisección del ángulo con Origami
Método de Hisashi Abe

71 Axiomática de Humiaki Huzita

72 New York Journal of Mathematics, 2000

73 Métodos matemáticos de diseño

74 Propiedades del mapa de cicatrices de un modelo plano

75 Proyección sobre la base de un modelo plano
Mapa de cicatrices y base correspondiente

76 Método de Kawahata-Meguro

77 Pliegue oreja de conejo
Hipérbola: lugar geométrico de los incentros

78 Figuras de Fumiaki Kawahata

79 Treemaker de Robert Lang

80 “Tree theorem” de Lang

81 Figura diseñada con Treemaker

82 Origag (Roberto Morassi, 1984)

83

84 Bibliografía

85 Más bibliografía http://www.pajarita.org (A.E.P.)
(sección cultura => matemáticas y papiroflexia) Project Origami- T.Hull, A.K. Peters, 2006.

86 GRACIAS