Este mapa da a conocer a los estudiantes los contenidos temáticos por unidad didáctica. No obstante, para nuestro caso sólo trabajaremos la unidad 1.

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1 Este mapa da a conocer a los estudiantes los contenidos temáticos por unidad didáctica. No obstante, para nuestro caso sólo trabajaremos la unidad 1.

2 OBJETIVOS GENERALES Adquirir habilidades de pensamiento lógico-matemático, de tal forma que, le permitan al estudiante a partir de situaciones problemas la búsqueda de soluciones acorde con su formación profesional. Aplicar adecuadamente los conocimientos matemáticos, teniendo en cuenta operaciones y propiedades básicas en la solución de problemas reales en contextos específicos y lo induzcan a la construcción de una cultura integradora y problematizadora del saber matemático. Integrar el conocimiento de métodos conceptuales y algorítmicos para dar solución a situaciones planteadas en el análisis de nuevos problemas, que promuevan en el estudiante el aprendizaje colaborativo y el pensamiento crítico y creativo.

3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Adquirir habilidades y destrezas en las operaciones básicas de los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas a partir de la solución de problemas aplicados en contextos reales. Analizar e interpretar elementos de los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas a través de actividades y talleres que conlleven al estudiante en aplicarlos en las actividades cotidianas y otras áreas del conocimiento. Percibir los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas como una estrategia que le permite la racionalidad indispensable para analizar y solucionar situaciones de la vida diaria en su entorno cultural a través de problemas prácticos. Estos objetivos corresponden a la unidad 1,

4 Debido a la extensión de la unidad, sólo realizaremos el AVA del tema 1.

5 Su conocimiento es importante para el dominio del álgebra y el cálculo
CONDUCTA DE ENTRADA ? Arrastre el número que está a la derecha de su pantalla y ubíquelo en el cuadro que considere se relaciona con la definición. Al terminar de clic en el botón validar respuesta Conjuntos numéricos Corresponden a los números naturales, pero adicionando a estos los números enteros negativos y el número cero así: 0, 1, 2,… . El conjunto se denota por la letra  2 1 Números Naturales 3 1 Se denota por la letra N y está dado por N = (1, 2, 3, ,.). Números Racionales Formados por aquellos números que se pueden expresar de la forma p/q, en donde p es cualquier entero y q cualquier entero distinto de cero. Se denotan por la letra Q. 3 2 Números Enteros 5 Son aquellos que no se pueden expresar de la forma p/q. Este conjunto se expresa por Q*. Números Reales 6 Están conformados por la unión de los racionales y los irracionales y se denota por R = Q  Q*. Su característica principal es poderse representar en la recta. 4 Números Complejos 5 Nota el título en rojo no forma parte del modulo, es solo una guía Las respuestas correctas en su orden son: 1, 3, 2, 5, 4, 6. Al terminar la actividad, si el estudiante respondió correctamente el mensaje sería “Muy bien… continúa así”, de lo contrario le muestra la pantalla con las respuestas correctas y le envía el mensaje “Lo invito a interactuar por el programa, a resolver actividades y ejercicios que se presentan, esto le permitirá aprender y afianzar sus conocimientos…” VER DIAPOSITIVA SIGUIENTE Tienen su origen en la resolución de ecuaciones cuadráticas, presentados de la siguiente forma: x = 0 . Consta de dos partes: a) Parte Imaginaria: que se representa con el símbolo i; b) Parte Real. Se denota por la letra C 6 Números Irracionales 4 Su conocimiento es importante para el dominio del álgebra y el cálculo Validar respuestas

6 Tiene un buen conocimiento sobre conjuntos numéricos
RETROALIMENTACIÓN Si la respuesta es correcta Qué bien… Tiene un buen conocimiento sobre conjuntos numéricos …Lo invitamos a continuar interactuando con el programa para ampliar o reforzar sus conocimientos. ¡NO SE DESANIME!.... Lo invito a seguir interactuando con el programa para que amplíe o refuerce sus conocimientos.

7 Los enteros pares se determinan por Z = 2n.
Los enteros primos se definen como aquellos números que son divisibles exactamente sólo por si mismos y por la unidad. El Cero en la suma es el elemento neutro, es decir, cualquier número a, sumado con 0 vuelve a dar a, en la multiplicación, es el elemento absorbente, cualquier número operado con 0 da 0 Al dar clic en números enteros aparece el cuadro de texto de enteros, en primos aparece el texto de los enteros primos, en impares aparece el texto de enteros impares, lo mismo ocurre con los pares y el cero. Las fracciones son el resultado de la división de las expresiones que conforman el número racional Los enteros impares se determinan por Z = 2n ± 1, con n perteneciente a los naturales. Los enteros pares se determinan por Z = 2n.

8 ?  √2 7/48 -254 4/45 238 5 + 2i 128 L og2 5 √-2 -1-i 4i Practiquemos
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números que se encuentran en la parte inferior de la pantalla y ubíquelos de acuerdo a los conjuntos numéricos. Suelte el mouse Practiquemos Los conjuntos numéricos forman parte de nuestra vida cotidiana, en particular al ir al mercado, en algunas lecturas y juegos, y al momento de enfrentarnos al mundo laboral. C R Q Q* I Z N Al estudiante ubicar los números en los respectivos campos se retroalimentan con los campos de la próxima página. En caso de no lograrlo, se envía el siguiente mensaje “¡PIENSA!…TRATE DE UBICARLO CORRECTAMENTE… USTED PUEDE” REPUESTAS: Q*= Pi, raiz cuadrada de 2 I = raíz de menos dos, 4i Q= 7/48, 4/45 Z=-254; 0 N=128, 238 R=Log2 de 5 C=5+2i, -1-i √2 7/48 -254 4/45 238 5 + 2i  128 L og2 5 √-2 -1-i 4i

9 Naturales (N). Surgen de la necesidad de contar, compuestos por un número infinito de elementos, donde cada elemento tiene un sucesor que se obtiene sumando uno (+1), y todos, excepto el 1, tienen un antecesor, el cual se obtiene restando uno (-1) Enteros (Z). Surgen de la necesidad de dar solución general a la sustracción. Se componen de varios subconjuntos: Enteros Negativos Z ¯, el Cero (0), Enteros Positivos Z+, los Enteros Pares, Enteros Impares y Enteros Primos. Números Racionales (Q): Se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Cardinales y Enteros. Se representan por los números de la forma a/b. Números Irracionales (I): Equivalen a un decimal infinito aperiódico y provienen de construcciones geométrica. Un ejemplo, puede ser, el cálculo de las diagonales de un cuadrado Cuadros de retroalimentación de la página anterior. Números Reales (R): Se conforman por la unión de los números racionales y los irracionales, cuya principal característica es la representación en la recta. Números Complejos (C): Se originan en la resolución de ecuaciones cuadráticas y para solucionarlos se requiere aplicar métodos diferentes a los que se utilizan en los números reales.

10 Pensemos… reflexionemos y resolvamos…
? Digite en el campo de texto, la respuesta que considere correcta. Al terminar haga clic en el botón validar respuesta. Pensemos… reflexionemos y resolvamos… En un observatorio meteorológico de una población de alta montaña se han observado y registrado durante una semana las siguientes temperaturas, El registro presenta en color rojo las temperaturas bajo de cero. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 5º C 1º C 4º C 2º C 3º C 8º C ¿Qué día de la semana se presentó la temperatura más baja?, ¿Qué día fue la más alta? Que temperatura esta marcando el termómetro si: Marcaba 15ºC y disminuyó 12ºC? Marcaba 10ºC bajo cero y aumento 7ºC? Marcaba 18ºC y aumentó 7ºC? Marcaba 6ºC bajo cero y disminuyó 5ºC? RESPUESTA: Viernes, domingo En los campos de texto que hacen referencia a la temperatura que está marcando las respuestas son 3,-3,23, -11 respectivamente. Validar respuestas

11 ? OPERACIONES EN LOS ENTEROS Suma Resta División Multiplicación + = 5
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números hasta completar la operación y arrástrelo de acuerdo con el resultado del enunciado. Suelte el mouse Pensemos… reflexionemos y resolvamos… OPERACIONES EN LOS ENTEROS Suma Resta División Multiplicación aplican cuando + = Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos. 5 + = Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor 1 + = Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos. -5 Al terminar le aparece el ejemplo. Sin dar respuesta, sólo es para que el alumno piense… Durante el desarrollo del ejercicio cuando el estudiante coloca el signo que es lo devuelve al lugar correspondiente. RESPUESTAS: de acuerdo con resultados de las operaciones + = Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor -6 ejemplo (5+3) + (15 – 18) + ( ) + (-10+2) + (-25 – 15) = ? -7 ¿Cuál sería la respuesta? +2 +1 -4 -2 +3 +5 -3

12 ? Resolvamos (5 + 16 + 4 + 8) = ( - 3 + 16 ) + 13 ( – 8 – 5)
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que aparece al final de su pantalla y arrástrelo a la respuesta que considere correcta de acuerdo con la operación. Suelte el mouse Resolvamos Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta: Se restan y se coloca el signo de la cantidad mayor Se suman y se coloca el mismo signo de los sumandos ( ) = ( ) ( – 8 – 5) (- 7 – – 9 - 2) = - + - - (- 7 – ) = RESPUESTAS: En el cuadro de la animación = +13 Cuadro siguientes=+33, -27,-15,+1 respectivamente +13 +13 -13 (4 – – ) = ¿Cuál sería la respuesta? + 13 + 33 - 27 - 13 + 1 - 15 - 1 + 27 + 15 - 33

13 ? OPERACIONES EN LOS REALES Suma Resta Multiplicación División x = +16
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números hasta completar la operación y arrástrelo de acuerdo con el resultado del enunciado. Suelte el mouse OPERACIONES EN LOS REALES Suma Resta Multiplicación División aplica ley de Signos x = Signos iguales generan resultado positivo +16 x = Signos contrarios generan resultados negativos -35 x = Signos iguales generan resultado positivo +33 Cuando el estudiante termina de colocar los signos aparece el ejemplo. El campo de texto de cuál sería la respuesta queda tal como está. Es solo para que el estudiante piense. RESPUESTAS: De acuerdo con resultados de operaciones x = Signos contrarios generan resultados negativos -30 ejemplo -(5) (-6) (3) (-2) -(-2) = ? ¿Cuál sería la respuesta? +11 -15 -7 -2 +3 +5 +2 -8

14 ? Resolvamos (-5)(-3)= (5)(-2) (4) = (-6) (2) (-4) (5) =
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón y arrástrelo a la respuesta correcta, de acuerdo con la operación. Suelte el mouse Resolvamos Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta: aplicando ley de signos (-5)(-3)= Signos iguales generan resultado positivo Signos contrarios generan resultado negativo (5)(-2) (4) = (-6) (2) (-4) (5) = (-3) (-8) (+2)(-5) (-3) (5) (-4) (2) (-8) = - - + - (-7) (-5) - (4) (9)+(-2) = (+ 24) (- 10) - (7)(6) + (2)(-3)(-9) -8 = RESPUESTAS: Cuadro de texto de animación -240 Cuadros de texto de operaciones: +15,-40,+240,-960,+1,+104,-45 respectivamente - - (-6)(4) - (5)(9) + (3)(8) = + 27 - 40 -1 -104 -960 ¿Cuál sería la respuesta? -1 +45 - 3 -45 -240 +960 - 27 +104 +1 15 - 27 +3 + 15 +240 + 40

15 6 - (-3 + 1 – 2) x 2 - (-3) x (-9-1) / (-2)
RECUERDE… Cuando hay una operación dentro de un signo de agrupación, se debe efectuar primero la operación contenida por el signo de agrupación y luego destrucción del signo de agrupación Observa 6 - ( – 2) x 2 - (-3) x (-9-1) / (-2) Se resuelven paréntesis x x / -2 Solo es una animación Se resuelven corchetes x x Se resuelven llaves = 250

16 ? Resolvamos Relacione las operaciones de acuerdo con su simbología
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que contiene el nombre de la operación y arrástrelo de acuerdo con la operación que se presenta. Suelte el mouse Resolvamos Relacione las operaciones de acuerdo con su simbología (a-b) (a+b) (axb) (a/b) (an) (ax) RESPUESTAS: Adición, multiplicación, potenciación, exponenciación, Integración, sustracción, División, radicación, logaritmación, derivación… respectivamente Adición Radicación Exponenciación Multiplicación Logaritmación Integración Sustracción División Derivación Potenciación

17 ? Propiedades de las operaciones con los números reales 1 2 3 4 5 6 7
Aquí va ayuda Propiedades de las operaciones con los números reales PROPIEDADES Adición Multiplicación a + b € R a . b € R a + (b + c) = (a + b) + c * a . (b . c) = (a . b) . c * a + b = b + a a . b = b . a Es el 0: a + 0 = 0 + a = a Es el 1: a . 1 = 1 . a = a Es el opuesto aditivo: a + (–a) = (–a) + a = 0 Es el inverso multiplicativo: a.(⅟a)=(⅟a) .a=1 si a ≠ 0 Si a = b entonces a + c = b + c Si a = b entonces a • c = b • c (a + b) • c = (a • c) + (b • c) Ley de cierre 1 2 Asociativa 3 Conmutativa 4 Existencia de elemento neutro Existencia de inverso aditivo´…. Colocar multiplicativo 5 6 Uniforme Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición 7 Ayuda: Coloque en el círculo el número correspondiente de acuerdo con la propiedad que cumple. RESPUESTAS: 7,4,5,3,5,2,1 respectivamente- NOTA: Los números que aparecen en los círculos no van, esta es sólo una guía. 8 + 0 = 8; = -4 6 + 2 = 2 + 6 2 x 4 = 4 x 2 5 • (3 + 4) = 5 • • 4 4 1 3 4 ; 7 = • 3 7 5 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7 9 x 1 = 9 -3 x 1 = -3 6 + (-6) = 0 2 1 5 Observación: La propiedad asociativa permite prescindir del uso del paréntesis y escribir simplemente a + b + c ó a • b • c

18 ? Pensemos distributiva V f v conmutativa f v Inverso multiplicativo v
Digite en los cuadros pequeños V si es verdadero o F si es falso y de acuerdo a la operación, Si es verdadero digite el nombre de la propiedad. Valide sus respuestas en el botón validar respuestas Pensemos ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?. En caso de ser verdaderas, enunciar las propiedades utilizadas distributiva V f v conmutativa f RESPUESTAS: Son de arriba hacia abajo V, F, V, F, V, V. Distributiva, comunicativa, inverso multiplicativo , inverso aditivo NOTA: Las letras que aparecen en los cuadros no van, solo es la guía para la programación de la actividad. Lo mismo ocurre con los cuadros donde el estudiante coloca la respuesta. v Inverso multiplicativo para todo v Para todo Existe un número real x para el cual Inverso aditivo Validar respuestas

19 OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS
Suma Resta Multiplicación División de dos fracciones de tres fracciones ejemplo ¿Cuál sería la respuesta? De acuerdo con la animación los campos de texto, son sólo para que el estudiante piense se multiplica el numerador por el denominador de los demás 2 1 5 2 x 3 x 4 + 1 x 8 x 4 - 5 x 8 x 3 + - = 8 3 4 8 x 3 x 4 se multiplican los denominadores entre sí = - = 96

20 OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS
Suma Resta Multiplicación División ejemplo ¿Cuál sería la respuesta? De acuerdo con la animación los campos de texto, son sólo para que el estudiante piense 2 5 2 x = 2 5 8 8 3 2x3 ÷ = = = 8 3 5 8x5 Fracción que resulta de multiplicar numeradores y denominadores entre sí 3 Resulta de multiplicar el producto de extremos por el producto de medios

21 ? Resolvamos ¿Qué parte de la figura está coloreada?
Digite en el cuadro de texto la respuesta de acuerdo con el enunciado. Valide sus respuestas dando clic en el botón validar respuesta. Resolvamos ¿Qué parte de la figura está coloreada? RESPUESTAS a. 1/4 b. 1/3 c. 1/2 d. 1/64 e. 1/32 f. 5/4 g.11/32 h.5/2 h Validar respuestas

22 OPERACIÓN CON LOS REALES
? Aquí va ayuda Ver nota OPERACIÓN CON LOS REALES Se excluyen los casos 00 Potenciación Radicación si PROPIEDAD POTENCIA Distributiva con respecto al producto a es número real, n es entero Distributiva con respecto a la división entonces Producto de potencias de igual base an se obtiene multiplicando n veces el factor a Cociente de potencias de igual base Potencia de potencia Ayuda: Arrastre los botones de las potencias que están al final de su pantalla y ubíquelos de acuerdo a la propiedad. Si lo ubica correctamente sale el mensaje “Muy bien… continúa así”, de lo contrario “Inténtelo de nuevo”. RESPUESTAS: (axb)m distributiva con respecto al producto, (a/b)m – distributiva con respecto a la división am x an – producto de potencias de igual base (an)m – Potencia de potencia an-n – inverso de una potencia a0 potencia cero a1 potencia unitaria ejemplo Inverso de una potencia Potencia cero 35 = 3.x.3 x3 x 3 x 3 Potencia unitaria

23 OPERACIÓN CON LOS REALES
? Aquí va ayuda (ver nota) OPERACIÓN CON LOS REALES Potenciación Radicación es Si a, b son números reales positivos y n, m números naturales, aplica inversa a la potenciación PROPIEDAD RADICACIÓN se llama Distributiva con respecto al producto raíz enésima de un número a , al número b Distributiva con respecto a la división Raíz de raíz tal que, Exponente racional Ayuda: Arrastre los botones de las potencias que están al final de su pantalla y ubíquelos de acuerdo a la propiedad. Si lo ubica correctamente sale el mensaje “Muy bien… continúa así”, de lo contrario “Inténtelo de nuevo”. RESPUESTAS: raiz n- distributiva con respecto al producto, raiz n a/b distributiva con respecto a la división, raiz,, raiz – raíz de raiz, raizn m exponente racional. la potencia enésima de b es igual a a Simbólicamente , con

24 RECUERDE: La RADICACIÓN es una operación inversa de la potenciación.
Observamos RECUERDE: La RADICACIÓN es una operación inversa de la potenciación. n n n es par n es impar a R ejemplo, ejemplo, = R = R = Im = R Siguiente

25 Observamos y Resolvamos
? En los ejercicios de 1 a 5 coloque , V si es verdadero o F si es falso, al finalizar resolver las preguntas de acuerdo a los enunciados La raíz de índice par de un número negativo, no tiene solución en los reales, ya que ningún número real elevado a una potencia par da como resultado un número negativo v F Por lo tanto, su solución esta en los números Complejos C al definir los imaginarios F V RESPUE PREGUNTA SOLAMENTE PARA LA RAIZ DE 16 , LAS CALCULADORAS NO MAS TRABAJAN CON LAS RAICES PRINCIPALES resolviendo V ¿Cómo se denomina la solución positiva? ¿Cómo se denomina la solución negativa? CONSULTA: ¿Sabes con cuál tipo de raíz trabajan las calculadoras?

26 Observamos y aplicamos RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
? En los casos dos y tres, arrastre los botones y ubíquelos de acuerdo con los resultados de la operación. RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Se racionalizan los denominadores Caso 1. Resulta de multiplicar numeradores entre sí = * = Se multiplican denominadores entre sí y se simplifica el exponente y el radical, cuyo resultado es: Caso 2. ¿Cuál sería la respuesta? Caso 3. RESPUESTA: caso 2 – raiz a –b / (a-b) Caso 3. raiz de a + raiz de b/raíz de a2 – raíz de b2. =

27 FIN MATERIAL PARA EL OA PROYECTO MEN - UDEA

28 RAZONES Y PROPORCIONES
Tema 2. razones y proporciones RAZONES Y PROPORCIONES 4 8 4 2 2 4 P1= P2= La razón de las medidas de los triángulos están dadas por P1=8 P2=16 La palabra tema 2 no va en plataforma, solo es un referente P1 8 P2 16 = = P2 16 P1 8 1 = 2 = 2 La razón entre dos cantidades “a” y “b” se representa por: y se lee “a” es a “b”

29 ? Aquí va ayuda Resolvamos Al comparar la longitud de dos puente en un barrio de la ciudad se obtuvo que uno mide 90m. y el otro solo 30m.. 90 m A 30 m B Una manera de hacer la comparación es por la diferencia entre las longitudes: Longitud del puente A – Longitud del puente B = 90 – 30 = 60 m Si se comparan las longitudes ¿cuál sería la respuesta? = Longitud A Longitud B Se debe dejar un campo de texto para que el estudiante responda a las preguntas RESPUESTAS: 90/30, el puente A es tres veces mas largo que el puente B o el puente A es el triple de largo que el puente B Longitud B / Longitud A, 30/90 La longitud del puente B es la tercera parte de la longitud del puente A. ¿Qué significa? ¿De qué otra manera pueden compararse? = ¿Qué significa?

30 Una proporción es la igualdad de dos razones
PROPORCIONES Una proporción es la igualdad de dos razones Se tienen dos triángulos equiláteros: uno de lado 4 cm y otro de lado 5cm, como se muestra en las figuras. El perímetro de cada uno de ellos es de 12 y 15 cm. respectivamente 5cm Al calcular la razón de la longitud del lado y el perímetro en cada triángulo, se tiene: Es sólo animación 4cm se puede escribir como una proporción

31 Por lo tanto, forman una proporción
Observemos Determinar si las razones entre y forman una proporción Si se multiplican 6 x 21 Producto de extremos = 126 X 7 x 18 Producto de medios = 126 entonces, Es solo una animación = por lo tanto, Las razones son iguales, ya que el producto de extremos es igual al producto de medios. Por lo tanto, forman una proporción

32 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes están directamente relacionadas cuando, al aumentar o disminuir una de ellas, la otra también aumenta o disminuye. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes a y b son directamente proporcionales cuando cumplen las condiciones: Las magnitudes están directamente relacionadas La representación de las cantidades relacionadas corresponde a una línea recta. El cociente entre dos valores que se corresponden es siempre el mismo. (constante). y Es solo animación yn y3 Número de sacos 1 2 3 --- 26 Peso en Kg 20 40 60 … 520 y2 y1 x1 x1 x1 x2 x3 xn X

33 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes están inversamente relacionadas cuando, al aumentar una de ellas la otra disminuye y viceversa MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales cuando cumplen las condiciones: Las magnitudes están inversamente relacionadas La representación de las cantidades relacionadas corresponde a una curva descendiente cóncava hacia arriba El producto entre dos valores que se corresponden es siempre el mismo. (constante). y Es solo animación 3 x 24 = 6 x 12 = 9 x 8 =… y1 Hombres 3 6 9 --- 18 Días 24 12 8 … ? y2 y3 yn x1 x1 x1 x2 x3 xn X

34 INVERSAMENTE PROPORCIONALES
? Aquí va ayuda Practiquemos MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONALES Determine ¿cuáles de las siguientes magnitudes corresponden a proporciones directas y cuáles a proporciones inversas? Directa Si disminuye el salario mínimo de un trabajador, también disminuye la calidad de vida Cantidad de trabajadores y cantidad de trabajo hecho en un día Inversa directa Distancia recorrida en una hora y velocidad del auto El estudiante debe colocar en los campos de texto la respuesta, cuando le haga clic al botón validar el computador debe enviar un mensaje “Muy bien”, en caso contrario le debe llenar los campos con las respuestas correctas, junto con un mensaje que le diga “Observa”. Y pasa a la página siguiente. RESPUESTA: Las respuestas que están en los cuadros no van, es para tener en cuenta en la programación. En su orden son: Directa, inversa, directa, inversa, inversa. inversa Cantidad de obras realizadas y presupuesto invertido Inversa Relación entre dólares y pesos Validar respuestas

35 Si llamamos la variable x como los km. que recorre en las 7 horas,
? Aquí va ayuda Es un procedimiento que permite hallar una cantidad desconocida en términos de otras tres conocidas, en un problema donde intervienen dos magnitudes proporcionales. Regla de tres Si un automovilista recorre 180Km. en dos horas, ¿Cuántos km recorre en 7 horas? Si llamamos la variable x como los km. que recorre en las 7 horas, se puede escribir: ¿Cuánto vale X? Km El estudiante debe poder escribir en los cuadros de texto y existe un botón que valide las respuestas RESPUESTA: campo de cuanto vale X=630, campo segunda pregunta directa. Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres simple es directa. En el ejercicio planteado, ¿cómo es la regla de tres? Si las magnitudes son inversamente proporcionales, la regla de tres simple es inversa Validar respuestas

36 Son las cantidades que no cambian en un problema particular
? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse Algebra Practiquemos es Parte de las matemáticas que estudia el cálculo de las cantidades representadas con letras Son las cantidades que pueden variar en un problema, representadas por letras Las cuales pueden tomar los valores que se le asignan Son las cantidades que no cambian en un problema particular Las cuales pueden ser de la forma y = - 3x2 + 10 El estudiante debe arrastrar los botones y colocarlos en el lugar que le corresponden. Al terminar se le envía un mensaje “MUY BIEN… Puedes continuar avanzando” y lo pasa a la página siguiente. Si no lo logra “Debes reforzar los conceptos”. Constante, variables – coeficiente, signo, coeficiente, variables, exponente cuyos términos algebraicos constan de y = - 3x2 + 10 Coeficiente Literales Variables Contantes Signo Exponente

37 ? Expresión algebraica Practiquemos se refiere a
Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse Practiquemos Expresión algebraica se refiere a combinación de literales y números, con los signos de las operaciones aritméticas Pueden ser Al hacer la relación correcta, le debe aparecer el refuerzo que se muestra en la página siguiente. RESPUESTAS: Son monomio, binomio, trinomio, polinomio respectivamente. Binomio Monomio Polinomio Trinomio De acuerdo con el ejemplo, coloque el tipo de expresión algebraica al que corresponde, teniendo en cuenta el número de términos.

38 Expresión algebraica que consta de un término
Monomio: Expresión algebraica que consta de un término Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos Polinomio: Expresión algebraica que consta de más de tres términos

39 Agrupe términos semejantes
Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División Agrupe términos semejantes es decir, que tengan: El mismo literal El mismo exponente por ejemplo, en la ecuación: Agrupando sus términos, quedaría Los coeficientes 3 + 8)a ( (-5 – 8)x2 + ( 9 + 3)b ¿Cuál sería la respuesta? Letras iguales con los mismos exponentes Solamente se operan:

40 ? Arme las parejas de términos, para ello haga clic en el primer término y arrastre el mouse hasta encontrar su pareja. Suelte el mouse.. Practiquemos - 4y3 3x3 - 2xy2 5x2y 3x3 - 4y3 5x2y - 2xy2 Muy bien… agrupados sus términos quedarían así (3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3) El estudiante debe relacionar las diferentes términos. Al terminar, le aparece el mensaje de muy bien con los términos agrupados, luego… al terminar, saldría el mensaje y las tres posibilidades, de las cuales la primera es la correcta. Cuando termina le da el mensaje, de lo contrario lo invita a repasar conceptos. RESPUESTAS: De acuerdo con la dirección de las flechas. Estas no van en la presentación. Ojo. Son guia para diseñadores. Ahora….¿Cuál sería la solución a la ecuación? 6x3 + 10x2y - 4xy2- 8y3 6x3 + 10x2y - 4xy2- 4y3 6x3 + 10x2y - 2xy2- 8y3 EXCELENTE… continua así Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.

41 Distribuya los signos de agrupación Agrupe términos semejantes
Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División Distribuya los signos de agrupación por ejemplo, en la ecuación: (3a + 9b - 5x2 – 8a - 3b + 8x2) ahora, La distribución de signos, quedaría… Agrupe términos semejantes El mismo literal El mismo exponente Los coeficientes los términos agrupados, formarían la ecuación 3 - 8)a ( (-5 + 8)x2 + ( 9 - 3)b ¿Cuál sería la respuesta? Letras iguales con los mismos exponentes Solamente se operan:

42 ? + - + - + - + - 3x3 5x2y 2xy2 4y3 3x3 5x2y 2xy2 4y3 - 5x2y - 2xy2
En esta página encontrará algunas actividades, para solucionarlas, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse Practiquemos De acuerdo con la ecuación anterior, ubique el signo que le corresponde a cada término 3x3 5x2y 2xy2 4y3 3x3 5x2y 2xy2 4y3 + - + - + - + - Muy bien… Ahora, cómo quedarían agrupados sus términos - 5x2y - 2xy2 - 4y3 3x3 2xy2 4y3 - 3x3 5x2y El estudiante debe colocar los signos correspondientes a cada término. Cuando termina le sale el siguiente mensaje con la actividad, al terminar, le da un nuevo mensaje y le muestra la última actividad de dar clic en la solución de la educación. Para este caso es 0. RESPUESTA: Signos: +, +, -, -, ., ., +, + 3x3, -3x3,2xy2,2,xy2,5x2y,-5x2y,-4y3,4y3 Excelente… Otra forma de representarlos sería (3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3) ¿Cuál sería la solución de la ecuación?. haga clic en la que considere sea la correcta x3 + 0x2y 6x3 + 10x2y - 0+4y3 - 0xy2- 8y3 3x3 + 0x2y – 0+ 2y3 EXCELENTE… continua así Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.

43 Las propiedades de potenciación
? Aquí va ayuda Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División si se trata de: Dos monomios Por ejemplo, en la ecuación: tenga en cuenta: (4a3b5) (-2a2b4) Las propiedades de potenciación se reunieron los términos semejantes an x am = an+m El estudiante observa la animación. Al finalizar debe dar clic en la respuesta correcta. Si lo hace bien, sale un mensaje Excelente… y pasa a la animación siguiente. De lo contrario, lo invita a repasar los conceptos. (4 x -2) (a3 x a2) (b5 x b4 ) al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta? (-8) (ab5) (ab9) (-8) (a5) (b9) (-8) (a3b5) (a2b9)

44 ? (3x2y2) (-2x5y3) = (3)(-2) (x2.x5) (y2,y3) = (3)(-2) (x2+5) (y2+3)
Aquí va ayuda Practiquemos Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos: (3x2y2) (-2x5y3) = (3)(-2) (x2.x5) (y2,y3) se reúnen los términos semejantes Se aplica las propiedades de la potenciación. = (3)(-2) (x2+5) (y2+3) RESPUESTA: -6x7y8 ¿Cuál es la respuesta correcta? 6x10y6 6x7y8 -6x7y8 x10y6

45 Operaciones con Polinomios
Suma Resta Multiplicación División si se trata de: Un monomio por un polinomio Por ejemplo, en la ecuación: tenga en cuenta: (3x)(2x2- 3x -1) La propiedad distributiva Aplicando propiedad distributiva ,quedaría a(b+c)=ab+ac (3x.2x2)+ (3x.-3x) +(3x. -1) La propiedad de potenciación El estudiante observa la animación. Al finalizar debe dar clic en la respuesta correcta (evento 16). Si lo hace bien, sale un mensaje Excelente… y pasa a la animación siguiente. De lo contrario, lo invita a repasar los conceptos. Si se aplicara las propiedades de la potenciación. ¿Cómo quedaría la ecuación? an x am = an+m 5x3+ 6x2- 3x -6x2+ 6x2 -3x 6x3 - 9x2 - 3x

46 ? (3x) (x2 + 4y3 -2xy) = (3+12- 6) (x2.x5) (y2,y3)
Aquí va ayuda Practiquemos Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos: (3x) (x2 + 4y3 -2xy) = ( ) (x2.x5) (y2,y3) se reúnen los términos semejantes Se aplica las propiedades de la potenciación. = (3)(-2) (x2+5) (y2+3) RESPUESTA: -6X7Y5 ¿Cuál es la respuesta correcta? 6x10y6 6x7y8 -6x7y8 x10y6

47 ? Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División
Aquí va ayuda Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División si se trata de: Por ejemplo, en la ecuación: un polinomio por un polinomio tenga en cuenta: (3x2-5m)(2x2+3m) Aplicando propiedad distributiva quedaría La propiedad distributiva (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (3x2.2x2)+ (3x2.3m) +(-5m. 2x2) + (-5m.3m) La propiedad de potenciación El estudiante observa la animación. Al finalizar debe dar clic en la respuesta correcta (Evento 17). Si lo hace bien, sale un mensaje Excelente… y pasa a la animación siguiente. De lo contrario, lo invita a repasar los conceptos. Al agrupar términos y aplicar propiedades de potenciación, la ecuación sería an x am = an+m (6x4)+ (9x2m) - (10x2m) (-15m2) Agrupación de términos semejantes ¿Cuál considera que es la ecuación final? 6x4 –mx2 – 15m2 -6x2+ 9x2m – 15m2 6x4 +mx2 +15m2 0x4 - 19x2m- 15m2

48 Practiquemos Pendiente ejercicio

49 Las propiedades de potenciación
? Aquí va ayuda Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División si se trata de: Dos monomios Por ejemplo, en la ecuación: tenga en cuenta: Las propiedades de potenciación se reunieron los términos semejantes an am = am-n El estudiante observa la animación. Al finalizar debe dar clic en la respuesta correcta (animación 12). Si lo hace bien, sale un mensaje Excelente… y pasa a la animación siguiente. De lo contrario, lo invita a repasar los conceptos. al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?

50 Practiquemos Pendiente ejercicio

51 ? Operaciones con Polinomios an am = am-n Suma Resta Multiplicación
Aquí va ayuda Operaciones con Polinomios Suma Resta Multiplicación División si se trata de: Un monomio por un polinomio Por ejemplo, en la ecuación: tenga en cuenta: La distribución del denominador Aplicando propiedad distributiva del denominador, quedaría La propiedad de potenciación El estudiante observa la animación. Al finalizar debe dar clic en la respuesta correcta (evento 13). Si lo hace bien, sale un mensaje Excelente… y pasa a la animación siguiente. De lo contrario, lo invita a repasar los conceptos. an am Si se aplicara las propiedades de la potenciación. ¿Cómo quedaría la ecuación? = am-n

52 Practiquemos Pendiente ejercicio

53 Operaciones con Polinomios
Suma Resta Multiplicación División si se trata de: (X5+7x3-5x+1) (x3+2x) Un Polinomio por un polinomio veamos un ejemplo (1) Se colocan los términos en orden descendente con respecto a la letra que se va a dividir x5 + 7x3 - 5x x3 + 2x - x5 - 2x3 x2 + 5 (2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor 5x3 - 5x C(x) -5x3 - 10x - 5x + 1 (3) Los términos del cociente, se multiplican por cada uno de los términos del divisor (4) Los resultados obtenidos se restan R(x)

54 Practiquemos Pendiente ejercicio

55 TEMA 2. FACTORIZACIÓN Factor común Factor común por agrupación
Trinomio de la forma ax2 + bx +c Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma x2n+ bxn + c Al el estudiante dar clic, cambia de color y se va a la siguiente página, esto con el fin de que sepa que tema está ha trabajado o está trabajando. Diferencia de cubos Trinomio al cuadrado perfecto Suma de cubos

56 Factor común ab + ac = a(b +c) 27a3b4m – 36a4b3m + 45a3b5m
aplica si: ab + ac = a(b +c) en la ecuación 27a3b4m – 36a4b3m + 45a3b5m Todos los términos tienen algo en común (puede ser número, literal o combinación de los dos) se identifican los términos comunes 9, a3, b3, m Al dar clic en el botón observa, debe salir la animación, debe salir en secuencia de acuerdo con la animación presentada observa al factorizar, el resultado es 9a3b3m(3b - 4ª + 5b2)

57 ? 5m2b3 – 45m4b2 + 15m 5m(mb3 – 9m3b2 + 3) Practiquemos
Aquí va ayuda Practiquemos Encuentre el factor común de las siguientes ecuaciones 5m2b3 – 45m4b2 + 15m 5m(mb3 – 9m3b2 + 3)

58 Factor común por agrupación
aplica si: ab + ac + db + dc = a(b +c) + d(b + c) = ( a + d) (b + c) en la ecuación a2m – 5a2n + 3x2m + 15x2n Al unir parejas que tienen términos semejantes, se obtiene un polinomio común al unir parejas de términos comunes, se tiene a2 (m – 5n) + 3x2 (m – 5n) observa al factorizar, el resultado es (m – 5n)(a2 + 3x2)

59 Practiquemos Pendiente ejercicio

60 Diferencia de cuadrados
aplica si: a2n – b2m = (an + bm) (an - bm) en la ecuación 25a4 – 16b6 Los términos que la componen tienen diferente signo y ambos tienen raíz cuadrada exacta extrayendo raíz cuadrada se tiene 5(a2)2 – (4(b3) 2 observa al factorizar, el resultado es (5a2 + 4b3) (5a2 - 4b3)

61 Practiquemos Pendiente ejercicio

62 extrayendo raíz cúbica se tiene
Diferencia de cubos aplica si: a3n – b3m = (an - bm) (a2n + anbm + b2m) en la ecuación 125a6 – 64b9 Los términos que la componen tienen diferente signo y ambos tienen raíz cúbica exacta extrayendo raíz cúbica se tiene (5a2) 3 – (4b3) 3 observa al factorizar, el resultado es (5a2 + 4b3) (25a a2b b6)

63 Practiquemos Pendiente ejercicio

64 extrayendo raíz cúbica, se tiene
Suma de cubos aplica si: a3n + b3m = (an + bm) (a2n - anbm + b2m) en la ecuación 125a b9 Los términos que la componen tienen igual signo y ambos tienen raíz cúbica exacta l extrayendo raíz cúbica, se tiene (5a2) 3 + (4b3) 3 observa al factorizar, el resultado es (5a2 + 4b3) (25a a2b b6)

65 Practiquemos Pendiente ejercicio

66 Trinomio de cuadrado perfecto
aplica si: Ejemplo, factorizar a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2 25a6 + 80a3b2+ 64b4 cumple que El primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y son positivos El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser positivo o negativo (5a3)2 + 2(5a3)(8b2) + (8b2)2 (5a3 + 8b2) 2 Factorizando, la ecuación quedaría

67 Practiquemos Pendiente ejercicio

68 Trinomio de la forma x2n+ bxn + c X4 - 5x2 - 14 (x2 – 7) (x2 + 2)
aplica si: Ejemplo, factorizar El primer término es positivo y tiene raíz cuadrada exacta X4 - 5x2 - 14 La variable que está en el segundo término es la raíz cuadrada del primer término se buscan dos números m y n que cumplan m x p = c , m + p = b para el ejemplo, de tal forma que, m x p= -14 m + p = - 5 X2n + bxn + c = (xn + m) (xn + p) Pendiente animar cumplen para m y n m = - 7 p = + 2 Factorizando, la ecuación quedaría (x2 – 7) (x ) Dos números que al multiplicarlos den como resultado (m x p) y al sumarlos dan como resultado (m + p)

69 Practiquemos Pendiente ejercicio

70 Trinomio de la forma ax2+ bx + c (ax2 + bx + c) a a a a x2n+ bxn + c
Para factorizar la ecuación, se debe convertir en un trinomio de la forma x2n+ bxn + c, así: La expresíón ax2+ bx + c, la multiplicamos y dividimos simultáneamente por a a a se obtiene (ax2 + bx + c) al organizar la ecuación (ax)2 + b(ax) + (ac) a quedaría si se sustituye Pendiente animar ax = z, ac = c la ecuación estaría dada por (z)2 + b(z) + c a por lo tanto, el resultado es un trinomio de la forma x2n+ bxn + c

71 Factorizar ? 3(3x4 + 5x2 – 8) 3 (32x)2 + 15x – 24) 3
Aquí va ayuda Practiquemos Factorizar 3(3x4 + 5x2 – 8) 3 al multiplicar y dividir por a se obtiene al organizarla quedaría como (32x) x – 24) 3 (3x2)2 + 3(5x2)– 24) 3 (3x2)2 + 3(5x2)– 8) 3

72 El Operador Sumatoria ∑
. En la recolección de datos a cerca de la suma de las edades de un grupo de 12 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos: = 74 Si se representa teniendo en cuenta el operador sumatoria se obtiene: Si, en forma abstracta se hace referencia a un conjunto de n valores obtenidos a partir de la medición o la observación y son distintos entre ellos, los valores de la variable obtenida se designan con letras mayúsculas , así de forma general, se representa como Se lee: sumatoria de los valores de la variable X desde (i = 1) hasta el valor enésimo, n

73 TEMA 4. SUMATORIA, PRODUCTORIA…
Propiedades del operador sumatoria ∑ Caso 3 Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X, n veces Caso 1 Definición básica del operador sumatoria Caso 2 Sumatoria de un valor contante Caso 4 Sumatoria del producto ordenado de variables Caso 5 Sumatoria de las diferencias de valores pareados de dos variables Al estudiante dar clic en cada caso lo lleva a cada una de las siguientes páginas, y debe cambiar de color para que sepa cual es el contenido temático estudiado Caso 6 Sumatoria de los cuadrados de n valores de una variable se refiere a ∑ (Xi2) = n X12 + X22 + X32 -  Y32, +… + Xi2 +…,+ Xn-12 + Xn2 i=1

74 Definición básica del operador sumatoria
Propiedades del operador sumatoria ∑ Caso 1 Definición básica del operador sumatoria No es más que la definición del operador sumatoria, ∑, de valores de una variable. Para Xi:  se tiene, ∑ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn n X=1 Teniendo en cuenta los valores obtenidos en la medición de la variable Z: 12, 4, 11, 10, 7, 11, 9, 2, 9, 6, 5, 6, Calcular para: 10 ∑ Zk = = 6 ∑ Zk = = k=1 5 ∑ Zk = k=1 = k=1 ∑ Zk = ∑ Zk = = 3 7 = k=1 k=1

75 Sumatoria de un valor contante
Propiedades del operador sumatoria ∑ Caso 2 Sumatoria de un valor contante En el caso donde el conjunto de n números a obtener o suponer es un valor constante, g, la suma de ellos es: ∑ ai =a1 + a2 + a3 + g+ … + a + a=na n i=1 Si se cuenta con el valor constante k=3, diez veces. Calcular: ∑ ki = 10 = i=1 Para el valor constante k=6, cinco veces. Calcular: ∑ ki = 5 = i=1 Para el valor constante k=7, 3 veces. Calcular: ∑ ki = 3 = i=1

76 Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X,
Propiedades del operador sumatoria ∑ Caso 3 Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X, n veces La sumatoria de un valor constante k, multiplicado por una variable, Xj,  n veces, equivale a ∑ kxj =kX1 + kX2 + kX3 + kX kXj+ … +KXn-1+KXn ∑ kxj =k(X1 + X2 + X3 + X Xj+ … +Xn)= k∑ xj n j=1 n n j=1 j=1 es decir: La sumatoria de un valor constante multiplicado por valores de una variable, es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de los valores de la variable.  Cuál es el valor de la siguiente sumatoria, si se tiene en cuenta que la constante k = 9 ∑ kXj = 6 6 9 ∑ = J=1 J=1

77 Sumatoria del producto ordenado de variables
Propiedades del operador sumatoria ∑ Caso 4 Sumatoria del producto ordenado de variables Sean los valores ordenados de la variable Xj, Yj, Xj 3 1 2 5 4 Yj 10 8 5 12 9 La sumatoria estaría dada por ∑ XjYj = 6 (3)(10) + (1)(8) + (2)(5) + (5)(12) + (4)(9) + (4)(10) J=1 = = Observe que: la sumatoria de los productos, es diferente del producto de las sumatorias por lo tanto, El producto de estas sumatorias está dado por: ∑ Xj = 6 = (∑ Xj) (∑ Yj )= = 6 6 J=1 lo que equivale a ∑ XjYj = 6 J=1 J=1 = J=1

78 Sumatoria de las diferencias de valores pareados de dos variables
Propiedades del operador sumatoria ∑ Caso 5 Sumatoria de las diferencias de valores pareados de dos variables está dada por ∑ (Xj - Yj) = ∑ (X - Y ) n n j=1 j=1 en el ejemplo, (X1  -  Y1),   (X2  -  Y2),   (X3  -  Y3), …, (Xj  -  Yj), …, (Xn-1  - Yn-1),  (Xn -  Yn) ∑ (Xj-Yj) = n (X1 - Y1) + (X2 - Y2) + (X3 - Y3) (Xj - Yj) +…+ (Xn-1 - Yn-1) + (Xn  -  Yn) j=1 Reagrupando = (X1 + X2 + X3 +…+ Xj +…+ Xn-1 + Xn) – (Y1 + Y2 + Y3 +… + Yj +… + Yn-1 + Yn)  se puede concluir que la sumatoria de las diferencias es igual a la diferencia de las sumatorias  Este caso es importante para resolver derivaciones y los cálculos estadísticos 

79 Influye el orden en que se colocan.
Combinatoria La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formando y calculando su número Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan. Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación. pueden ser Variaciones sin repetición Variaciones con repetición

80 Variaciones sin repetición
Combinatoria Variaciones sin repetición para si, el número de elementos sin repetición equivale a aplicando la fórmula se obtiene La respuesta es 60 por lo tanto, Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p, se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones sin repetición para p=3?

81 Variaciones con repetición
Combinatoria Variaciones con repetición para si, el número de elementos con repetición equivale a aplicando la fórmula La respuesta es 125 por lo tanto, Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como, las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden. Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones con repetición para p=3?

82 Influye el orden en que se colocan.
Permutaciones Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que: Influye el orden en que se colocan. Se toman todos los elementos de que se disponen. pueden ser Permutaciones sin repetición Permutaciones con repetición con

83 el número de elementos sin repetición
Permutaciones Sin repetición para el número de elementos sin repetición equivale a por lo tanto, La respuesta es 6 Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos. Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?

84 el número de elementos con repetición
Permutaciones con repetición con para el número de elementos con repetición equivale a por lo tanto, La respuesta es 6 Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n. Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?

85 el número de elementos sin repetición
Combinaciones Sin repetición para con el número de elementos sin repetición equivale a La respuesta es 12 Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?

86 el número de elementos con repetición equivale a
Combinaciones con repetición para con el número de elementos con repetición equivale a La respuesta es 12 Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos). Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?

87 Teorema del Binomio es el resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma se expresa en la siguiente variante: El coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es donde, recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos la fórmula para calcular el valor de , representado ocasionalmente como C(n,k) o ) hace referencia a EJEMPLO para n=2, n=3, n=4:

88 Observemos (x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) = (x + y)(x + y)3 = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy Agrupando términos semejantes: (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4