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Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V.

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1 Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V.
Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso OPERACIONES 2 Transporte Profesor: Pablo Diez Bennewitz Ingeniería Comercial - U.C.V. Pablo Diez Bennewitz

2 SEGUIMIENTO PRODUCTOS
SISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES EL MODELO Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert PLANIFICACION MODELOS ORGANIZACION PLANIFICACION (DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION: ESTRATEGIAS DE OPERACION PREDICCION (PRONOSTICOS) ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS CAPACIDAD DE OPERACIONES PLANEACION UBICACION INSTALACIONES PLANEACION DISTRIBUCION FISICA PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA PROGRAMACION OPERACIONES M ORGANIZACION PARA LA CONVERSION DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES MEDICION DEL TRABAJO ADMINISTRACION DE PROYECTOS Productos Servicios Información MODELOS INSUMOS MODELOS RESULTADOS M M PROCESO de CONVERSION SEGUIMIENTO PRODUCTOS CONTROL CONTROL CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION CONTROL DE INVENTARIO PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD CONTROL DE CALIDAD RETROALIMENTACION

3 Capacidad de producción
Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso MODELO DE TRANSPORTE Plantea que hay ciertas fuentes (F) abastecedoras de determinados destinos (D) receptores, donde hay que transportar cierta cantidad de recursos productivos (naturales, intermedios o finales) desde las fuentes hacia los destinos FUENTES Oferta Capacidad de producción Proveedores Plantas de producción Almacenes mayoristas DESTINOS Demanda Capacidad de venta Plantas de producción Almacenes mayoristas Tiendas minoristas Pablo Diez Bennewitz

4 MODELO DE TRANSPORTE Se desea determinar la distribución óptima de los recursos productivos, lo que implica establecer la combinación de distribución de fuentes a destinos, que tenga el mínimo costo asociado F1 D1 F2 D2 F3 D3 Fn Dm

5 MODELO DE TRANSPORTE Lo anterior se obtiene mediante el mínimo costo de transporte, lo que requiere considerar los costos unitarios de transporte desde cada fuente hacia cada destino Se construye un modelo de transporte que, es un caso particular del método simplex n m Cij = Cij Xij i j F.O. : Mín Z i=1 j=1 Cij : Costo unitario de transporte desde la fuente i hasta el destino j Xij : Unidades a trans-portar desde la fuente i hasta el destino j

6 = = = > MODELO DE TRANSPORTE Cij Cij Xij i j F.O. : Mín Z s.a. :
Qdemandada i=1 m = Xij Qofrecida j=1 > Xij A i,j

7 ALGORITMO DE TRANSPORTE
Hacia D1 D2 D3 D4 TOTAL Desde X1j F1 Cij X2j F2 Xij X3j F3 F4 X4j Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 TOTAL

8 ALGORITMO DE TRANSPORTE
Hacia D1 D2 D3 D4 TOTAL Desde C11 C12 C13 C14 X1j F1 X11 X12 X13 X14 C21 C22 C23 C24 X21 X22 X23 X24 X2j F2 C31 C32 C33 C34 X3j F3 X31 X32 X33 X34 C41 C42 C43 C44 F4 X41 X42 X43 X44 X4j Xi1 Xi2 Xi3 Xi4 TOTAL

9 SIGNIFICADO DE CADA CUADRO
Cij C23 6 Xij X23 175 Significa que el costo unitario de transporte desde la fuente 2 al destino 3 es de $6 A su vez, el número de unidades a transportar desde la fuente 2 al destino 3 es de 175

10 = = = ALGORITMO DE TRANSPORTE Xi1 Xi2 Xi3 Xim X1j X2j X3j Xnj
Es el valor total producido en los orígenes (Qofrecida) y es también el valor total demandado por los destinos (Qdemandada) = Qdemandada Xi1 Xi2 Xi3 Xim + + + + = Qofrecida X1j X2j X3j Xnj + + + + Necesariamente: Qdemandada Qofrecida =

11 = = ALGORITMO DE TRANSPORTE < >
Si Qdemandada Qofrecida, entonces significa que falta en el cuadro una columna o fila, la que representa las holguras existentes = Si Qdemandada Qofrecida Holguras Exceso de Oferta < Qdemandada Qofrecida Holguras Exceso de Demanda > Qdemandada Qofrecida

12 VARIABLES DE HOLGURA Cuando no se cumple la condición necesaria del modelo de transporte (Qofrecida = Qdemandada), se incorporan variables de holgura (o exceso), a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro Se asume que el costo unitario de transporte para la columna adicional o fila adicional es cero, ya que las variables de holgura o exceso no forman parte de la función objetivo de optimización

13 VARIABLES DE HOLGURA Dependiendo si se trata de un exceso de oferta (Qofrecida > Qdemandada), o de un exceso de demanda (Qdemandada > Qofrecida), las variables de holgura (o exceso) que se añaden, a través de la creación una columna adicional o una fila adicional en el cuadro, representan diferentes casos Cada caso de variables de holgura o exceso, con su posible columna adicional o fila adicional, se identifica a partir del contexto de cada situación particular

14 Acumulación de Inventario
EXCESO DE OFERTA Casos Posibles: > Acumulación de Inventario Si Qofrecida Qdemandada Se crea una columna adicional en el cuadro, que corresponde a la acumulación de inventario Capacidad Ociosa > Si Qofrecida Qdemandada Se crea una columna adicional en el cuadro, que representa a las unidades a no producir

15 Desacumulación de Inventario
EXCESO DE DEMANDA Casos Posibles: Desacumulación de Inventario < Si Qofrecida Qdemandada Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la desacumulación de inventario Demanda No Satisfecha < Si Qofrecida Qdemandada Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la demanda no satisfecha

16 Producción en Turno Extra
EXCESO DE DEMANDA Casos Posibles: Producción en Turno Extra < Si Qofrecida Qdemandada Se crea una fila adicional en el cuadro, que corresponde a la producción en turno extra (sobretiempo)

17 EJEMPLO Una compañía manufacturera dispone de 3 fábricas con diferentes capacidades y costos de transporte para el destino de sus 4 almacenes. La información pertinente se muestra en la tabla: Para resolver se arma un cuadro simplex

18 METODOLOGIA DEL SIMPLEX
1) Se arma el tableau inicial 2) El tableau inicial otorga la 1ª solución factible 3) Evaluar si la solución factible es o no es óptima 4) Si no es la solución óptima, se itera hallando una nueva solución factible, para verificar si la nueva solución factible es o no es óptima 5) Se realizan tantas iteraciones como sean necesarias hasta encontrar la solución óptima

19 METODOS PARA LOGRAR LA 1ª SOLUCION FACTIBLE
Esquina Nor-Oeste Vogel Ambos mecanismos no garantizan la optimalidad inmediata, solo garantizan la factibilidad Iteraciones: Si la solución básica no es óptima, se deben reasignar recursos, mediante el criterio de la minimización de los costos, lo que implica realizar iteraciones al cuadro

20 METODO ESQUINA NOR-OESTE
Asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda ubicada en la esquina nor-oeste del cuadro tableau Luego, se asigna el máximo número de unidades a transportar en la celda aledaña correspondiente, según las restricciones de demanda en los destinos y las restricciones de oferta en las fuentes

21 METODO ESQUINA NOR-OESTE
Si en principio, la asignación de la esquina nor-oeste es una restricción de demanda, entonces no es posible asignar hacia abajo en el tableau y se asigna hacia el lado Mientras que, si la asignación inicial es una restricción de oferta, entonces no es posible asignar hacia el lado en el tableau y se asigna hacia abajo Así sucesivamente, se completa el cuadro tableau, de acuerdo al criterio recientemente descrito

22 METODO ESQUINA NOR-OESTE
En general: Si no se puede asignar más por restricción de demanda Se completa hacia el lado Si no se puede asignar más por restricción de oferta Se completa hacia abajo

23 Acumulación de Inventario
EJEMPLO DE TRANSPORTE Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 1950 Demanda 300 450 500 600 100 1850 Como Acumulación de Inventario > Qofrecida Qdemandada

24 DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
El problema de transporte es una aplicación de la programación lineal, para el caso específico de variables de decisión bidimensionales (Xij, con dos subíndices: ij) La programación lineal se concibe y comprende, a partir de conceptos geométricos y un sistema de ecuaciones lineales (que en el caso del modelo de transporte: Qofrecida = Qdemandada) Los conceptos geométricos implican el uso de espacios vectoriales, con determinada dimensión

25 DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
La dimensión es el rango del espacio vectorial, que representa la cantidad de componentes requerida en la base o vector de variables básicas ( XJ ) Si se cumple con el rango establecido, entonces el conjunto de ecuaciones (restricciones) del sistema cumple la condición de linealidad: o sea, todas las restricciones son linealmente independientes (l.i.) La condición de linealidad o restricciones linealmente independientes, es condición ineludible para aplicar la metodología del simplex

26 DIMENSION ESPACIO VECTORIAL
Programación Lineal con variables de decisión unidimensionales (caso Xi) Rango = m Donde m es el número de restricciones l.i. Programación Lineal con variables de decisión bidimensionales (caso Xij) Rango = m + n - 1 Donde: m es el número de columnas del tableau n es el número de filas del tableau

27 SOLUCION DEGENERADA Existe cuando en la solución básica hay al menos una variable cuyo valor es igual a cero Cuando la solución es óptima y a la vez degenerada, entonces hay múltiples soluciones óptimas: 2, 3, 4 o quizás infinitas soluciones La solución degenerada no implica dificultad para el problema de programación lineal, es simplemente un caso particular

28 Número de Variables Básicas m + n - 1 Existe solución degenerada
SOLUCION DEGENERADA Número de Variables Básicas m + n - 1 = m: Número de columnas en el tableau (destinos) n : Número de filas en el tableau (fuentes) Existe solución degenerada Si Variables básicas < ( m + n - 1 )

29 SOLUCION DEGENERADA Para completar una base con solución degenerada, se ingresan tantos valores ceros como sean necesarios para completar el rango (dimensión) requerido por el espacio vectorial Cuando se ingresa uno o más valores ceros, no se hace en cualquiera celda vacía al azar El o los valores ceros, deben ingresarse tal que se disponga una base linealmente independiente (l.i.)

30 Pudo ser también en otras celdas vacías
EJEMPLO DE TRANSPORTE ( m + n - 1 ) = 7 Sin embargo, en la asignación inicial del método de la esquina nor-oeste, solo hay 6 variables básicas (celdas ocupadas) Por lo tanto, existe una solución degenerada. Luego, debe ingresarse un valor cero para completar la base de iteración Ingresa XP3A2 = 0 Pudo ser también en otras celdas vacías

31 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 1950 Demanda 300 450 500 600 100 1950 XJ1 = (XP1A1,XP1A2,XP2A2,XP2A3,XP3A2,XP3A4,XP3INV)

32 BASE LINEALMENTE INDEPENDIENTE (L.I.)
Una base es linealmente independiente cuando permite realizar la verificación de la condición de optimalidad para cada variable no básica (celda vacía en el tableau) Aquello acontece cuando se forma un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas, determinando para cada una de éstas, si realizan o no realizan aporte a la minimización de costos del problema

33 BUSQUEDA DE SOLUCION OPTIMA
Se realiza un análisis de sensibilidad, calculando los precios sombra de cada una de las variables no básicas (celdas vacías en el algoritmo de transporte), para saber si es que hay algún ahorro respecto del costo total (valor de la función objetivo z) de la reciente iteración Variables básicas ( XJ ): Están en el tableau y toman un valor, que en general es mayor que cero Variables no básicas ( XJ ): No están en el tableau (celdas vacías) y necesariamente valen cero

34 VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Permite comprobar si una solución básica factible es o no es óptima, evaluando el precio sombra o costo marginal asociado al transporte o envío de una unidad en cada variable no básica o celda desocupada en el tableau Verificar la condición de optimalidad se efectúa por medio de la formación de “lazos”, alrededor de cada variable no básica

35 VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
Lazos: Son los caminos que se forman dentro del tableau, alrededor de las celdas no básicas y, que se cierran mediante movimientos exclusiva y alternadamente, horizontales y verticales Por ejemplo: El primer vértice del lazo es una celda no básica, la cual también es el último vértice, cerrando el lazo. Los demás vértices del lazo necesariamente son variables o celdas básicas

36 VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
El costo marginal referido a la verificación de la optimalidad, se obtiene a través de los mismos costos unitarios presentes en las celdas del lazo, según la transferencia de unidades asignadas que exista en cada celda del lazo: Si la celda del lazo recibe unidades en la transferencia Se suma el costo unitario de la celda para la verificación Si la celda del lazo entrega unidades en la transferencia Se resta el costo unitario de la celda para la verificación

37 VERIFICACION DE OPTIMALIDAD
En el ejemplo, para la celda P2A1 (planta 2 y almacén 1) se tiene: -23 Alm.1 Alm.2 +18 Planta 1 300 350 Planta 2 100 +21 -24 Hay un Ahorro Marginal, es el concepto de precio sombra CMg = = - 8

38 PRECIO - SOMBRA Es cuánto varía la función objetivo respecto del cambio en una unidad de una de sus variables componentes La verificación de optimalidad requiere obtener el precio sombra de todas las celdas vacías, para lo cual se necesita formar los lazos respectivos Una base linealmente independiente garantiza un único lazo alrededor de cada una de las variables no básicas

39 CONDICION DE OPTIMALIDAD
> Si ij , ij XJ A Solución óptima La solución factible es óptima cuando no existe posibilidad alguna de ahorro marginal, lo que ocurre cuando todos los precios sombra son mayores o iguales a cero

40 CONDICION DE OPTIMALIDAD
Solución no es óptima Si ij ,ij XJ < E Mientras exista al menos un precio sombra menor que cero en las celdas no básicas de las iteraciones del tableau, entonces su solución factible no es óptima, por lo que entonces deben continuarse las iteraciones Si hay dos o más precios sombra menores a cero, se determina que ingresa a la base la variable no básica que origina el precio sombra más negativo

41 ITERACIONES Cuando hay ahorro marginal, lo máximo que se transfiere hacia la celda no básica, es el mínimo de las celdas que entregan unidades en la transferencia, para así conservar la condición de factibilidad > Xij A i,j Cada vez que se realiza una iteración (reasignación de unidades), a continuación se necesita volver a calcular los precios sombra, hasta verificar que se alcanza la solución óptima

42 = CONCEPTO DE LA GRAN “M”
En caso de que no se pueda o no se desee almacenar o asignar unidades, el método de transporte define un costo unitario de transporte igual a “M”, que representa un costo marginal infinito, que en el tableau se expresa de la siguiente manera: = M Si CMg 8

43 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 1950 Demanda 300 450 500 600 100 1950 = = - 8 P2A1 Se deben calcular todos los precios sombra

44 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 P1A3 = = + 4

45 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 +5 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 P1A4 = = + 5

46 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 +5 +3 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 P1INV = = + 3

47 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 +5 +3 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 -8 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 P2A4 = = - 8

48 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta 23 18 21
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 +5 +3 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 -8 -3 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 P2INV = = - 3

49 Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2
EJEMPLO DE TRANSPORTE Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 +5 +3 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 -8 -3 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 E 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2 P3A1 = No Existe

50 Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2
EJEMPLO DE TRANSPORTE Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +4 +5 +3 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 -8 -3 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 E E 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 Pues no pueden asignarse unidades desde P3A2 P3A3 = No Existe

51 EJEMPLO DE TRANSPORTE Revisión del lazo para la iteración correspondiente: Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 -8 -8 100 500 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 = = - 8 P2A4

52 EJEMPLO DE TRANSPORTE Entra XP2A4 y Sale XP2A2.
Unidades Transferir = 100 Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 100 500 100 600 18 21 27 23 Planta 3 600 100 700 100 500 Demanda 300 450 500 600 100 XJ2 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A2,XP3A4,XP3INV)

53 EJEMPLO DE TRANSPORTE Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración:
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 -4 +5 +3 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 +8 +5 500 100 600 18 21 27 23 Planta 3 -8 -1 100 500 100 700 Demanda 300 450 500 600 100

54 EJEMPLO DE TRANSPORTE Revisión del lazo para la iteración correspondiente: Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 300 350 650 21 24 23 18 Planta 2 500 100 600 18 21 27 23 Planta 3 -8 100 500 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 = = - 8 P3A1

55 EJEMPLO DE TRANSPORTE Entra XP3A1 y Sale XP3A2.
Unidades Transferir = 100 Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 200 300 450 350 650 21 24 23 18 Planta 2 500 100 600 18 21 27 23 Planta 3 100 100 500 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 XJ3 = (XP1A1,XP1A2,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)

56 EJEMPLO DE TRANSPORTE Cálculo de los Precios Sombra para 3ª iteración:
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 -12 -3 -5 200 450 650 21 24 23 18 Planta 2 +8 +16 +5 500 100 600 18 21 27 23 Planta 3 +8 -1 100 500 100 700 Demanda 300 450 500 600 100

57 EJEMPLO DE TRANSPORTE Revisión del lazo para la iteración correspondiente: Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 -12 200 450 650 21 24 23 18 Planta 2 500 100 600 18 21 27 23 Planta 3 100 500 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 = – = - 12 P1A3

58 EJEMPLO DE TRANSPORTE Entra XP1A3 y Sale XP1A1.
Unidades Transferir = 200 Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 200 450 200 650 21 24 23 18 Planta 2 500 300 300 100 600 18 21 27 23 Planta 3 100 500 100 700 300 300 Demanda 300 450 500 600 100 XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV)

59 EJEMPLO DE TRANSPORTE Cálculo de los Precios Sombra para 4ª iteración:
Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +12 +9 +7 450 200 650 21 24 23 18 Planta 2 +8 +4 +5 300 300 600 18 21 27 23 Planta 3 -4 -1 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100

60 EJEMPLO DE TRANSPORTE Revisión del lazo para la iteración correspondiente: Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 450 200 650 21 24 23 18 Planta 2 300 300 600 18 21 27 23 Planta 3 -4 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 = – = - 4 P3A2

61 EJEMPLO DE TRANSPORTE Entra XP3A2 y Salen XP2A3 y XP3A4.
Transferir = 300 Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 450 200 650 150 500 21 24 23 18 Planta 2 300 300 600 600 18 21 27 23 Planta 3 300 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 XJ4 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)

62 EJEMPLO DE TRANSPORTE Cálculo de los Precios Sombra para 5ª iteración:
Operaciones 2, Ingeniería Comercial, Universidad Católica de Valparaíso EJEMPLO DE TRANSPORTE Cálculo de los Precios Sombra para 5ª iteración: Hacia Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven. Oferta Desde 23 18 21 25 Planta 1 +8 +9 +3 150 500 650 21 24 23 18 Planta 2 E E E 600 600 18 21 27 23 Planta 3 +3 +4 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 Se halló la solución óptima, que es degenerada Pablo Diez Bennewitz

63 La solución no es única, pues es una solución degenerada
EJEMPLO DE TRANSPORTE Solución Óptima del Ejercicio: XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV) XP1A2 = 150 XP3A1 = 300 La solución no es única, pues es una solución degenerada XP1A3 = 500 XP3A2 = 300 XP2A3 = 0 XP3INV = 100 > XP2A4 = 600 A XJ ij i,j Z = (150*18) + (500*21) + (0*23) + (600*18) + + (300*18) + (300*21) + (0*100) Z = Costo Total = $

64 EJEMPLO Problema resuelto el método de esquina nor-oeste:
Considere que los costos unitarios de producción son de $18, $25 y $10 para las plantas 1, 2 y 3 respectivamente. Por política de la empresa, no se permite almacenar inventario en las plantas 1 y 2. Plantee como problema de programación lineal y encuentre la asignación óptima por método Vogel

65 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Cada vez que se plantea un problema de programación lineal, se procede cumpliendo las siguientes etapas: 1.- Comprensión del problema (lectura en detalle) 2.- Definición de las variables de decisión 3.- Descripción de la función objetivo 4.- Identificación de las restricciones del problema

66 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Resulta imprescindible definir las variables de decisión. Si no se definen las variables de decisión, entonces es imposible determinar qué significan las denominaciones Xij que, a continuación, se describen en la función objetivo y las restricciones En un problema de transporte, las variables de decisión contemplan todas las combinaciones posibles de flujos de distribución física, a transferir desde las fuentes hacia los destinos

67 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Se define como función objetivo la minimización de los costos de transporte asociados a la red de distribución física Las restricciones incluyen un conjunto de restricciones de oferta (una por cada fuente) y otro conjunto de restricciones de demanda (una por cada destino), sin olvidar la condición de no negatividad

68 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de oferta: < > = < Si Oferta total Demanda total Restricciones Oferta Restricciones Demanda > = Situación válida tanto para acumulación de inventario como capacidad ociosa (unidades a no producir)

69 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Generalmente de ambos conjuntos de restricciones (oferta y demanda), uno de ellos son desigualdades ( , ) y el otro de ellos son igualdades ( ), lo que depende del contraste entre oferta total y demanda total. Caso exceso de demanda: < > = = Si Oferta total Demanda total Restricciones Oferta Restricciones Demanda < < Situación válida para caso de demanda no satisfecha > Si Oferta total Demanda total Restricciones Oferta Restricciones Demanda < = Situación válida para los casos de desacumulación de inventario y de producción en turno extra

70 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
El ejemplo considera dos categorías de costos, por lo que se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte La tabla de costos para plantear el problema de programación lineal queda así: A1 A2 A3 A4 INV P M P M P

71 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Sea Xij: Número de unidades a transportar desde la fuente i-ésima hacia el destino j-ésimo donde: i = { planta 1, planta 2, planta 3 } j = { almacén 1, almacén 2, almacén 3, almacén 4 } Función objetivo: Minimizar Z (producción + transporte) Mín Z = 41XP1A1 + 36XP1A2 + 39XP1A3 + 43XP1A4 + 46XP2A1 + 49XP2A2 + 48XP2A3 + 43XP2A4 + 28XP3A1 + 31XP3A2 + 37XP3A3 + 33XP3A4

72 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Para el ejemplo planteado: Oferta total = 1950 Demanda total = 1850 Hay un exceso de oferta < Luego, se plantean: Restricciones Oferta Restricciones Demanda =

73 PROBLEMA PROGRAMACION LINEAL
Restricciones de Oferta: < s.a. XP1A1 + XP1A2 + XP1A3 + XP1A < XP2A1 + XP2A2 + XP2A3 + XP2A < XP3A1 + XP3A2 + XP3A3 + XP3A Restricciones de Demanda: = s.a. XP1A1 + XP2A1 + XP3A = XP1A2 + XP2A2 + XP3A = XP1A3 + XP2A3 + XP3A = XP1A4 + XP2A4 + XP3A > , ij Restricciones de No Negatividad: Xij A

74 METODO DE VOGEL Selecciona las diferencias de ahorros más altas y luego asigna el máximo número de recursos productivos en la celda con el mínimo costo unitario, según las restricciones de oferta y de demanda Utiliza conceptos matemáticos y de cálculo avanzado: calcula un gradiente moviéndose por la mayor pendiente, asignando unidades en las celdas con el menor costo marginal Vogel es más inteligente y rápido que la esquina noroeste, pero tampoco garantiza la optimalidad z Gradiente: > z > = g(x) i + j x y

75 ETAPAS DEL METODO VOGEL
1) Calcular las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, en el tableau 2) Se escoge la mayor de las diferencias y se ubica en tal fila o columna (según sea el caso), la celda con el menor costo unitario, asignándole el máximo número de unidades posible 3) Se elimina la fila o columna que copa su oferta total o demanda total, respectivamente, por efecto de la asignación reciente

76 ETAPAS DEL METODO VOGEL
4) Se reinicia sucesivamente desde la etapa 1), recalculando las diferencias entre los dos costos unitarios más bajos para cada fila y para cada columna, seleccionando la mayor de tales diferencias, para identificar en dicha máxima diferencia la celda con el menor costo unitario y asignar en dicha celda el máximo número de unidades posibles, según las restricciones de oferta y de demanda. Esta etapa sigue hasta que ya no se obtiene diferencia alguna en el tableau 5) Se asignan las celdas restantes en forma manual

77 EJEMPLO DE TRANSPORTE Al resolver el problema de transporte, sólo se consideran los costos diferenciales, por lo que si bien se deben sumar los costos unitarios de producción con los costos unitarios de transporte, es posible reducir la tabla de costos según: A1 A2 A3 A4 INV A1 A2 A3 A4 INV P M P M P P M P M P Como sólo interesan los costos diferenciales, podría trabajarse

78 EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Ofta 31 26 29 33 M
650 36 39 38 33 M 3 P.2 600 18 21 27 23 18 P.3 100 700 Dda 300 450 500 600 100 13 5 2 10 M 1ª asignación: en la celda con menor costo de la mayor de las diferencias de mínimos costos

79 .... y así se completa sucesivamente
EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Ofta 31 26 29 33 M 3 P.1 650 36 39 38 33 M 3 P.2 600 18 21 27 23 3 P.3 300 100 700 Dda 300 450 500 600 100 13 5 2 10 M 1ª asignación: XP3A3 = 100 2ª asignación: XP3A1 = 300 .... y así se completa sucesivamente

80 * * * * * EJEMPLO DE TRANSPORTE Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Ofta 31
26 29 33 M 3 4 P.1 * 650 450 200 36 39 38 33 M 3 5 P.2 600 300 300 18 21 27 23 P.3 18 3 2 * 300 700 300 100 Dda 300 450 500 600 100 13 5 2 10 10 M 13 13 9 9 * * *

81 EJEMPLO DE TRANSPORTE 1ª asignación: XP3INV = 100, gradiente columna INV = M 2ª asignación: XP3A1 = 300, gradiente columna A1 = 13 3ª asignación: XP3A4 = 300, gradiente columna A4 = 10 4ª asignación: XP1A2 = 450, gradiente columna A2 = 13 5ª asignación: XP1A3 = 200, gradiente columna A3 = 9 6ª asignación: XP2A3 = 300 7ª asignación: XP2A4 = 300 Asignación manual Así, Vogel determina la 1ª solución básica factible, sin embargo falta verificar la condición de optima-lidad e iterar vía simplex si es que es necesario

82 EJEMPLO DE TRANSPORTE XJ1 = (XP1A2,XP1A3,XP2A3,XP2A4,XP3A1,XP3A4,XP3INV) Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Oferta 31 26 29 33 M Planta 1 +12 +9 +M 650 450 200 36 39 38 33 M Planta 2 +8 +4 +M 600 300 300 18 21 27 23 Planta 3 -4 -1 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 De acuerdo al cálculo de los precios sombra Entra XP3A2 y salen XP2A3 y XP3A4. Transferir = 300

83 EJEMPLO DE TRANSPORTE Hay solución degenerada, ingresa XP2A2 = 0 Alm.1
Inven Oferta 31 26 29 33 M Planta 1 150 450 500 200 650 36 39 38 33 M Planta 2 600 300 300 600 18 21 27 23 Planta 3 300 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 XJ2 = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2,XP3INV)

84 EJEMPLO DE TRANSPORTE >
Cálculo de los Precios Sombra para 2ª iteración: Alm.1 Alm.2 Alm.3 Alm.4 Inven Oferta 31 26 29 33 M Planta 1 +8 +13 +M 650 150 500 36 39 38 33 M Planta 2 E E E 600 600 18 21 27 23 Planta 3 +3 +8 300 300 100 700 Demanda 300 450 500 600 100 > La solución es óptima Ya que A ij i,j XJ

85 La solución no es única, pues es una solución degenerada
EJEMPLO DE TRANSPORTE Solución óptima del ejemplo: XJ = (XP1A2,XP1A3,XP2A2,XP2A4,XP3A1,XP3A2, XP3INV) XP1A2 La solución no es única, pues es una solución degenerada = 150 XP3A1 = 300 XP1A3 = 500 XP3A2 = 300 XP2A2 = 0 XP3INV = 100 XP2A4 = 600 > A XJ ij i,j Z = (150*36) + (500*39) + (0*69) + (600*43) + + (300*28) + (300*31) + (100*10) Z = Costo Total = $ (producción + transporte)


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