José Francisco Valverde Calderón Sitio web: Profesor:

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1 AJUSTE 1 I ciclo, 2015 Email: jose.valverde.calderon@una.cr
José Francisco Valverde Calderón Sitio web: Profesor: José Francisco Valverde C

2 ff=matriz de varianza - covarianza de las funciones.
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 2 En topografía y geodesia, es común efectuar mediciones para determinar magnitudes que no se puede medir de forma directa. Los errores que afectan las observaciones, también afectarán las variables calculadas, por lo que para conocer el error del valor calculado, se recurre a la propagación de errores. De forma matricial, la ley general de propagación de errores es la siguiente: ff=matriz de varianza - covarianza de las funciones. ll=matriz de varianza - covarianza de las observaciones. F=matriz de derivadas parciales de las funciones. Profesor: José Francisco Valverde C

3 2.1 Funciones lineales x = a1 L1 + a2 L2 + … + an Ln
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 3 2.1 Funciones lineales El apartado 2.1 y 2.2 fue tomado del material preparado por el Prof. Jorge Moya para el curso Ajuste 1 Una función lineal tiene la forma: x = a1 L1 + a2 L2 + … + an Ln x como variable dependiente se calcula a partir de los coeficientes ai y las variables independientes Li. Las variables independientes son producto de mediciones, observaciones y tienen errores propios de los procesos de medición. ¿Que error tiene el valor calculado x? Este se calcula aplicando “ “La ley de propagación de errores”. Matemáticamente un cambio en el valor de x se manifiesta debido a un cambio en las variables independientes. Profesor: José Francisco Valverde C

4 Nota = usualmente f(L) ≠ L, es decir, m ≠ L
Ajuste 1 I Ciclo, 2015 4 2.2 Funciones no lineales Se consideran m funciones que dependen de variables aleatorias Li. Las funciones se arreglan en un vector columna de m filas, denominado vector de funciones, las cuales son por lo general funciones no lineales Las variables aleatorias Li u observaciones se arreglan en un vector columna de n filas, llamado vector de observaciones. Nota = usualmente f(L) ≠ L, es decir, m ≠ L Profesor: José Francisco Valverde C

5 Ajuste 1 I Ciclo, 2015 5 2.2 Funciones no lineales Del vector de observaciones se conoce la matriz de varianza- covarianza teórica. Para calcular una propagación de errores se linealizan las funciones no lineales desarrollándolas según la serie de Taylor y despreciando los términos de segundo orden y superior. Profesor: José Francisco Valverde C

6 Ajuste 1 I Ciclo, 2015 6 2.2 Funciones no lineales Recomendaciones generales para el cálculo de una propagación de errores 1. Identificar cuáles son las observaciones de partida (el vector L). 2. Definir bien el problema a resolver y la cantidad de funciones (variables) a las que se les debe calcular el error, es decir el vector f. 3. La matriz de varianza-covarianza LL de las observaciones tiene en la diagonal las varianzas de las observaciones (esa se conforma con la información estocástica de las observaciones). 4. Tener claro cuales son las magnitudes físicas de las variables, angular, lineal o ambas. Esto es fundamental, ya que influye en el cálculo de los coeficientes o derivadas parciales de las funciones. Profesor: José Francisco Valverde C

7 Ajuste 1 I Ciclo, 2015 7 2.2 Funciones no lineales Recomendaciones generales para el cálculo de una propagación de errores 5. En el cálculo de los coeficientes de la matriz F, trabajar en las unidades en las que se dan los errores de las observaciones, ya sea [mm], [cm], [mgon], [“] en la parte lineal y angular respectivamente. 6. Considerar en el punto anterior a la hora del cálculo de los coeficientes de la matriz F. el uso dl factor rho (r). Este se aplica a coeficientes de F, no a LL (matemáticamente es lo mismo, no lo es desde el punto de vista estocástico). Se puede hablar de un coeficiente que tenga como unidad [mm/mgon], pero esta unidad no existe como error de una observación. Profesor: José Francisco Valverde C

8 Ajuste 1 I Ciclo, 2015 8 2.2 Funciones no lineales Recomendaciones generales para el cálculo de una propagación de errores 7. El uso del factor r, depende de los coeficientes del vector F, de las unidades de la matriz de varianza-covarianza de las observaciones y de la magnitud física a la cual se le está calculando el error. De acuerdo con lo anterior es por eso que dependiendo de la función en ocasiones r multiplica y en otras r divide. Resumen del procedimiento Identificar y armar el vector de observaciones (L) Identificar y armar el vector de funciones (f) Armar la matriz de varianza – covarianza LL , siguiendo el mismo orden del paso 1 Calcular la matriz F Aplicar la ley general de propagación de errores Profesor: José Francisco Valverde C