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2º Bachillerato Ciencias y Tecnología

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Presentación del tema: "2º Bachillerato Ciencias y Tecnología"— Transcripción de la presentación:

1 2º Bachillerato Ciencias y Tecnología
CONTROLES 2011/2012 2º Bachillerato Ciencias y Tecnología

2 ÍNDICE PRIMER TRIMESTRE Límites. Continuidad. 14/10/2011
Derivada. Teoremas. Optimización. 28/10/2011 Representación gráfica de funciones 11/11/2011 Integración /12/2011 PRIMERA EVALUACIÓN (REVISIONES) 16/12/2011 SEGUNDO TRIMESTRE Matrices y determinantes 27/01/2012 Sistemas de ecuaciones lineales 24/02/2012 Vectores /03/2012 SEGUNDA EVALUACIÓN (REVISIONES) 23/03/2012 TERCER TRIMESTRE Espacio afín/Espacio euclídeo 11/05/2012 TERCERA EVALUACIÓN (REVISIONES) 18/05/2012 FINAL 1 (3ªE) 25/05/2012 FINAL 2 (2ªE) 28/05/2012 FINAL 3 (1ªE) 29/05/2012

3 [CALIFICACIÓN: 2,5 puntos cada ejercicio]
14/10/ LÍMITES. CONTINUIDAD 1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en 2. Dada la función f(x) = x3  3x + 1, ¿se anula en algún punto de ? Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula. 3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) = el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada? 4. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c  (0, 1) tal que f(c) = c. Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. [CALIFICACIÓN: 2,5 puntos cada ejercicio]

4 1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en
14/10/ LÍMITES. CONTINUIDAD 1. Determinar a y b para que la función f(x) = sea continua en Los tres tramos de la función están definidos mediante polinomios, por tanto, en cada uno de los tres intervalos, la función es continua. Estudiamos la continuidad en los puntos de enlace. En x = 0:  b = 1 En x = 3:  3a + 1 = 2  a =

5 f(x) es una función polinómica; por tanto es continua en todo
14/10/ LÍMITES. CONTINUIDAD 2. Dada la función f(x) = x3  3x + 1, ¿se anula en algún punto de ? Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. En caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de dos décimas que contenga el punto donde se anula. f(x) es una función polinómica; por tanto es continua en todo Buscamos un intervalo en el que se verifiquen las hipótesis del teorema de Bolzano: f(0) = 1 > 0  c  (0, 1) / f(c) = 0 (Tª Bolzano en [0, 1]) f(1) = –1 < 0 Aplicamos ahora el método de bipartición: f(0,5) = –0,375 < 0  c  (0; 0,5) / f(c) = 0 |0,5 – 0| > 0,2  c  (0,3; 0,5) / f(c) = 0 |0,5 – 0,3| = 0,2 f(0,3) = 0,127 > 0 Por tanto, el intervalo (0,3; 0,5) cumple las condiciones demandadas.

6 3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) =
14/10/ LÍMITES. CONTINUIDAD 3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) = el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada? Hemos de comprobar que la función f(x) es continua en el intervalo [–2, 2]. Cada uno de los dos tramos en que está definida f(x) es una función continua, puesto que son cocientes de funciones continuas cuyos denominadores no se anulan en el intervalo de definición. (1/2)

7 3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) =
14/10/ LÍMITES. CONTINUIDAD 3. Estudia si puede aplicarse a la función f(x) = el teorema de Weierstrass en el intervalo [2, 2]. En caso afirmativo, calcula donde y cuál es el valor del mínimo absoluto y del máximo absoluto en dicho intervalo. En cualquier caso ¿se trata de una función acotada? Por tanto, la función f(x) presenta una discontinuidad de salto finito en x = 0. Así pues, no es aplicable el teorema de Weierstrass. Como las definiciones se realizan mediante cocientes, los posibles puntos en los que podría no estar acotada serían los valores en los que los denominadores se hicieran nulos. Pero hemos comprobado que en ellos, la función tiene un límite finito. Así pues, está acotada en [–2, 2]. (2/2)

8 Definimos la función g(x) = f(x) – x.
14/10/ LÍMITES. CONTINUIDAD 4. Supongamos que f(x) es una función continua en [0, 1] y que 0 < f(x) < 1 para todo x existente en [0, 1]. Probar que existe un c  (0, 1) tal que f(c) = c. Justifica la respuesta enunciando el (los) teoremas en que te bases. Definimos la función g(x) = f(x) – x. Por ser diferencia de funciones continuas, es una función continua en [0, 1]. Además, como 0 < f(x), g(x) = f(x) > 0 Y como f(x) < 1, g(x) = f(x) – 1 < 0 Entonces, puede aplicarse el teorema de Bolzano que dice: Dada una función continua en un intervalo [a, b], que verifica que f(a)·f(b) < 0, entonces, existe un valor c dentro del intervalo (a, b), donde f(c) = 0. Lo cual, aplicado a g(x): c (0, 1)/ g(c) = 0. Es decir, c (0, 1)/ f(c) – c = 0  c (0, 1)/ f(c) = c

9 [CALIFICACIÓN: 2 puntos cada ejercicio]
28/10/ DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN. Halla el valor de a para que la función sea continua y estudia para dicho valor si es derivable. 2. Calcular los siguientes límites: 3. Halla la recta tangente a la curva x2 + y2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4) 4. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de 100 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla? 5. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex + x = 0? Razona la respuesta. [CALIFICACIÓN: 2 puntos cada ejercicio]

10 Halla el valor de a para que la función
28/10/ DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN. Halla el valor de a para que la función sea continua y estudia para dicho valor si es derivable. x2 + ax + a – 1 es una función continua en (–, 2) por ser polinóminca. Ln(x – 1) es una función continua en (2, +) ya que aquí, x – 1 > 1 > 0. Estudiamos la continuidad en x = 2:  3 + 3a = 0  f(x) es continua si a = –1 En este caso: Derivamos:  f ‘(2) (NO es derivable en x = 2)

11 2. Calcular los siguientes límites:
28/10/ DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN. 2. Calcular los siguientes límites:

12 Utilizamos la técnica de derivación implícita:
28/10/ DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN. 3. Halla la recta tangente a la curva x2 + y2 – 4xy = 1 en el punto A(1, 4) Utilizamos la técnica de derivación implícita: 2x + 2yy’ – 4y – 4xy’= 0 Despejamos y’: Para calcular la pendiente de la recta tangente, sustituimos x e y por las coordenadas del punto A: Entonces, la ecuación de la recta tangente es: O bien:  2x – 7y +26 = 0

13 Así pues, despejando del dato del área:
28/10/ DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN. 4. Un granjero desea vallar un terreno rectangular de 100 metros cuadrados para producir suficiente forraje para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de forma que utilice la mínima cantidad de valla? Si las dimensiones del terreno son, ancho = x, largo = y, tenemos que: A = xy = 100 Por otra parte, tenemos que minimizar el perímetro, que es equivalente a minimizar la suma S = x + y. Así pues, despejando del dato del área: Sustituimos en la función objetivo: Buscamos extremos relativos. Derivamos: S’ = 0  x2 = 100  x = 10 (la solución negativa no tiene sentido en este contexto) Se trata de un mínimo puesto que: Por otra parte: Así pues, las dimensiones del terreno deben ser 10 m de ancho por 10 m de largo.

14 f(0) = 1 > 0 f(–1) = e–1 – 1 < 0 c (–1, 0) / f(c) = 0
28/10/ DERIVADA. TEOREMAS. OPTIMIZACIÓN. 5. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación ex + x = 0? Razona la respuesta. En primer lugar, veamos que, al menos, tiene una solución. Para ello, usaremos el teorema de Bolzano. En efecto, podemos aplicarlo a la función: f(x) = ex + x que es continua siempre, ya que es suma de funciones continuas. f(0) = 1 > 0 f(–1) = e–1 – 1 < 0 c (–1, 0) / f(c) = 0 Ahora usaremos el teorema de Rolle para comprobar que no tiene más soluciones. En efecto: f ‘(x) = ex + 1 > 0 x. Por tanto, no puede tener más soluciones ya que si hubiera d / f(d) = 0, podríamos aplicar el teorema de Rolle en el intervalo (c, d) [o (d, c), según que c < d o d < c], y tendría que haber un valor α / f ‘(α) = 0. Así pues, la ecuación dada tiene una solución única.

15 Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones:
11/11/ REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Estudia y representa gráficamente las siguientes funciones: NOTA: Cada representación gráfica se valorará sobre cinco puntos y los puntos estudiados que no estén debidamente refrendados en la gráfica se valorarán a la mitad. (x – 1)2 = 0  x = 1  D f = – {1} NO PAR – NO IMPAR F. racional: NO PERIÓDICA

16 ⁄ ⁄ ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS. CORTES CON LA ASÍNTOTA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS. CORTES CON LA ASÍNTOTA  x = 1 es una asíntota vertical. x3 = (x+2)(x2 – 2x + 1)  3x – 2 = 0  asíntota horizontal. ⁄ ⁄  y = x + 2 es una asíntota oblicua.

17 – + + + + – +     CORTES CON LOS EJES. SIGNOS.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES CORTES CON LOS EJES. SIGNOS. f(x) = 0  x3 = 0  x = 0  (0, 0) es el único punto de corte con ambos ejes. Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el signo de x. MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS. \ \ 3     MÍNIMO RELATIVO:

18 CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN. \ f “(x) = 0  x = 0 \ 4 Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f “(x) es el mismo que el signo de x. Por tanto: f(x) es cóncava si x < 0 y convexa si x > 0. Así pues, (0, 0) es un PUNTO DE INFLEXIÓN. Recapitulando, obtenemos la información necesaria para dibujar la gráfica:

19 Exceptuamos x = 0 porque anula el denominador: D f = – {0}
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Exceptuamos x = 0 porque anula el denominador: D f = – {0} NO PAR – NO IMPAR – NO PERIÓDICA Cualquier exponencial es estrictamente positiva en su dominio. ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS. CORTES CON LA ASÍNTOTA x = 0 es asíntota vertical ‘por la derecha’ No hay corte con la asíntota. y = 1 es asíntota horizontal ‘por ambos lados’ No puede haber asíntota oblícua.

20 MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS. < 0 x  Df  f(x) es siempre decreciente. No hay extremos relativos. CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN. f “(x) = 0  x = f (x) es CÓNCAVA si x < f (x) es CONVEXA si x > Recapitulando, obtenemos la información necesaria para dibujar la gráfica:

21 2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0
09/12/ INTEGRACIÓN 1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una): 2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0 Indicación: Realizar el cambio de variable x = Ln(t) (2 puntos) 3.- Calcula el valor de A > 0 que hace que el área limitada por las funciones f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax valga 1/6. (2,5 puntos) 4.- Determina el área limitada por la función f(x) = x2 – 6x + 8 y los ejes de coordenadas (2,5 puntos)

22 Pasando al primer miembro la integral y despejando:
INTEGRACIÓN 1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una): = (por partes) (por partes) Pasando al primer miembro la integral y despejando:

23 Factorizamos el denominador: 1 0 –1 0
INTEGRACIÓN 1.- Calcular las siguientes integrales indefinidas (1,5 puntos cada una): 1 –1 – 1 1 1 –1 Factorizamos el denominador: –1 0 x3 – x2 – x + 1 = (x – 1)(x2 – 1) = (x – 1)(x – 1)(x + 1) = (x – 1)2(x + 1) Descomponemos en fracciones simples: Por tanto:

24 INTEGRACIÓN

25 2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0
INTEGRACIÓN 2.- Determinar la primitiva de que verifique F(0) = 0 Indicación: Realizar el cambio de variable x = Ln(t) (2 puntos) Descomponemos en fracciones simples: Deshacemos el cambio: Si queremos que F(0) = 0, entonces: Por tanto:

26 Buscamos el punto de corte de las gráficas:
INTEGRACIÓN 3.- Calcula el valor de A > 0 que hace que el área limitada por las funciones f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax valga 1/6. (2,5 puntos) y = Ax Buscamos el punto de corte de las gráficas: y = 2x – x2 2 – A

27 Por tanto: S = F(2) – F(0) – F(4) + F(2) = 2F(2) – F(0) – F(4) = 8 u2
INTEGRACIÓN 4.- Determina el área limitada por la función f(x) = x2 – 6x + 8 y los ejes de coordenadas (2,5 puntos) x2 – 6x + 8 = 0  Por tanto: S = F(2) – F(0) – F(4) + F(2) = 2F(2) – F(0) – F(4) = 8 u2

28 1.- Calcular los siguientes límites:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.- Calcular los siguientes límites: 2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en 3.- Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a,b] y que f(a) < g(a) pero que f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún valor c de (a,b). Enunciar el (los) teorema(s) que utilices. DERIVADAS Y APLICACIONES 4.- Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima. 5.- Calcular los siguientes límites: 6.- Dada la función determinar el valor de los parámetros para que la función sea derivable en R. Para esos valores ¿tiene un punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta. REPRESENTACIÓN DE CURVAS 7.- Estudia y representa las curvas: INTEGRACIÓN 8.- Determina las siguientes integrales indefinidas: 9.- Halla el área comprendida entre las gráficas de las fnes. f(x) = x3 – 3x2 + 3x y g(x) = 2x2 – x

29 Continuidad Derivadas Gráficas Integración Ejercicios X 2; 4; 6; 7b y 9 (2 puntos cada uno) 1b; 5b (1 punto cada uno) 2; 4; 6 y 7b 4; 6; 7b; 8b y 9 2; 3; 7b; 8b y 9

30 1.- Calcular los siguientes límites:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.- Calcular los siguientes límites: 0

31 2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 2.- Estudiar para qué valores del parámetro la función es continua en Tanto x2 como x + 2 son funciones continuas en todo por ser funciones polinómicas. Para que f(x) sea continua en x = a, deben ser iguales los límites laterales: a1 = –1 a2 = 2 limxa x2 = limxa (x + 2)  a2 = a + 2  a2 – a – 2 = 0  Para estos dos valores de a, f(x) es continua en

32 Definimos la función h(x) = f(x) – g(x)
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 3.- Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a,b] y que f(a) < g(a) pero que f(b) > g(b). Probar que f(c) = g(c) para algún valor c de (a,b). Enunciar el (los) teorema(s) que utilices. Definimos la función h(x) = f(x) – g(x) Por ser diferencia de funciones continuas, h(x) es continua en [a, b] Por otra parte, como f(a) < g(a), entonces h(a) < 0 y como f(b) > g(b), entonces h(b) > 0 Se verifican las hipótesis del TEOREMA DE BOLZANO, por lo que podemos afirmar que c  (a, b) de manera que h(c) = 0, es decir, f(c) = g(c). TEOREMA DE BOLZANO: Dada una función h(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], que verifica que h(a)·h(b) < 0 (es decir, toma valores de signos distintos en los extremos del intervalo), entonces, existe un valor c del intervalo abierto (a, b) en el que h(c) = 0.

33 Por tanto, se alcanza el máximo en x = 50 m.
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES 4.- Una pista de atletismo está formada por una región rectangular con un semicírculo en cada extremo. Si el perímetro es de 200 metros, hallar las dimensiones de la pista para que el área de la zona rectangular sea máxima. Por tanto, se alcanza el máximo en x = 50 m.

34 5.- Calcular los siguientes límites:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES 5.- Calcular los siguientes límites:

35 punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES 6.- Dada la función determinar el valor de los parámetros para que la función sea derivable en Para esos valores ¿tiene un punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta. Para que sea derivable, ha de ser continua. Tanto senx como x2 + ax + b son continuas y derivables en todo Para que f(x) sea continua en x = 0, deben coincidir los límites laterales: limx0 senx = 0  b = 0 limx0 x2 + ax + b = b Derivamos: limx0 cosx = 1  a = 1 limx0 2x + a = a Por tanto, queda definida la función:

36 punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta.
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES 6.- Dada la función determinar el valor de los parámetros para que la función sea derivable en Para esos valores ¿tiene un punto de inflexión en x = 0? Razona la respuesta. Derivamos de nuevo: limx0 –senx = 0  2   f ”(0) Además, lim x0–(–senx) > 0, es decir, tanto a la izquierda como a la derecha de 0, la función es convexa. Es decir, que NO tiene punto de inflexión en x = 0.

37 7.- Estudia y representa las curvas:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS 7.- Estudia y representa las curvas: x2 = 0  x = 0  D f = – {0} NO PAR – NO IMPAR F. racional: NO PERIÓDICA ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS.  x = 0 es una asíntota vertical.  y = 0 es una asíntota horizontal a izquierda y derecha. Por tanto, no hay asíntotas oblicuas. CORTES CON LA ASÍNTOTA:  (–1, 0)

38 – + + – + + – + –       7.- Estudia y representa las curvas:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS 7.- Estudia y representa las curvas: CORTES CON LOS EJES. SIGNOS. f(x) = 0  x + 1 = 0  x = –1 (–1, 0) No puede cortar al eje OY Teniendo en cuenta que el denominador siempre es positivo, el signo de f(x) es el mismo que el signo de x + 1. MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS. CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN. f ’(x) = 0  x = –2 f ‘’(x) = 0  x = –3 – –       MÍNIMO RELATIVO: PUNTO DE INFLEXIÓN:

39 – + D f = (0, +) 7.- Estudia y representa las curvas:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS 7.- Estudia y representa las curvas: D f = (0, +) NO PAR – NO IMPAR NO PERIÓDICA ESTUDIO DE LAS ASÍNTOTAS. No hay asíntota horizontal No hay asíntota oblicua CORTES CON LOS EJES. SIGNOS. y = 0  xln(x) = 0  ln(x) = 0  x = 1  (1, 0) – +

40 – +   7.- Estudia y representa las curvas: MONOTONÍA.
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. REPRESENTACIÓN DE CURVAS 7.- Estudia y representa las curvas: MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS. f ‘(x) = 1 + Lnx f ‘(x) = 0  1+Lnx = 0  x =   MÍNIMO RELATIVO: CURVATURA. PUNTOS DE INFLEXIÓN. f “(x) = > 0 x D f  Siempre es convexa y no hay puntos de inflexión.

41 8.- Determina las siguientes integrales indefinidas:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. INTEGRACIÓN 8.- Determina las siguientes integrales indefinidas: Dividimos: Descomponemos en fracciones simples:

42 Buscamos los puntos de corte entre ambas gráficas:
16/12/ ª EVALUACIÓN. REVISIONES. INTEGRACIÓN 9.- Halla el área comprendida entre las gráficas de las funciones f(x) = x3 – 3x2 + 3x y g(x) = 2x2 – x Buscamos los puntos de corte entre ambas gráficas: x3 – 3x2 + 3x = 2x2 – x  x3 – 5x2 + 4x = 0  x(x2 – 5x + 4) = 0  Esta información es suficiente para saber que: y = 2x2 – x y = x3 – 3x2 + 3x F(0) = 0

43 Determina A2, A3 y A4 [1 punto].
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 1.- Dada la matriz Determina A2, A3 y A4 [1 punto]. Utiliza los cálculos anteriores para obtener razonadamente An [1 punto]. 2.- Dada la matriz a) Calcula su determinante. (1 punto) b) Utiliza el resultado anterior para estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro m. (1,5 puntos) 3.- Sabiendo que A y B son dos matrices de orden n e invertibles, demuestra que entonces la matriz producto AB también lo es y que se verifica (AB)–1 = B–1A–1 [1,5 puntos] 4.- Dadas las matrices Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos] 5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular (1,5 puntos)

44 Determina A2, A3 y A4 [1 punto].
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 1.- Dada la matriz Determina A2, A3 y A4 [1 punto]. Utiliza los cálculos anteriores para obtener razonadamente An [1 punto]. b) Multiplicar por A hace que cada elemento de la matriz quede multiplicado por 3. Por tanto, parece evidente que: Inducción completa:

45 a) Calcula su determinante. (1 punto)
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 2.- Dada la matriz a) Calcula su determinante. (1 punto) b) Utiliza el resultado anterior para estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro m. (1,5 puntos) 1 0 a) 4 1 b) En cualquier caso rango(M)  2, puesto que: = 1  0 Por otra parte: |M| = 0  m2 – 4m + 3 = 0  m = 1 o m = 3 b1) Si m  1 y m  3, |M|  0  rango(M) = 3 b2) Si m = 1 o m = 3, |M| = 0  rango(M) = 2

46  |A·B| = |A|·|B|  0  AB es invertible B es invertible  |B|  0
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 3.- Sabiendo que A y B son dos matrices de orden n e invertibles, demuestra que entonces la matriz producto AB también lo es y que se verifica (AB)–1 = B–1A–1 [1,5 puntos] A es invertible  |A|  0  |A·B| = |A|·|B|  0  AB es invertible B es invertible  |B|  0 Sea X = (A·B)–1 Por definición de inversa: A·B·X = I Multiplicamos por A–1 por la izquierda: A–1·A·B·X = I  BX = A–1 Multiplicamos por B–1 por la izquierda: B–1·B·X = B–1·A–1  X = B–1·A–1 Por tanto: (A·B)–1 = B–1·A–1

47 Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos]
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 4.- Dadas las matrices Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos] Por la propiedad distributiva del producto de matrices respecto de la suma: ABX – CX = 2C  (AB – C)X = 2C Si probamos que existe (AB – C)–1, entonces, multiplicando por la izquierda: X = (AB – C)–1·(2C)  0. Por tanto  (AB – C)–1

48 Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos]
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 4.- Dadas las matrices Resolver el sistema matricial ABX – CX = 2C [2,5 puntos] Por tanto: Así que X = (AB – C)–1·(2C)

49 5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular
27/01/ MATRICES Y DETERMINANTES 5.- Utilizando las propiedades de los determinantes calcular (1,5 puntos) = 0 (C1 = C2) = 0 (C1 = C3) = 0 (C1 + C2 = C3)

50 24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.- Discute y resuelve en su caso (usando el Método de Gauss) el sistema: (2 puntos) 2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos): 3.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (2,5 puntos): 4.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20, y 50 € con un valor total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averiguar cuántos billetes hay de cada tipo. (2 puntos)

51 Escribimos la matriz ampliada del sistema:
24/02/ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Discute y resuelve en su caso (usando el Método de Gauss) el sistema: (2 puntos) Escribimos la matriz ampliada del sistema: Es evidente que: r(A) = 3 = r(B) SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

52 Escribimos la matriz ampliada del sistema:
24/02/ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos): Escribimos la matriz ampliada del sistema:

53 |A| = (  1)(2    2) = (  1)2( + 2)
24/02/ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos): |A| = (  1)(2    2) = (  1)2( + 2) DISCUSIÓN: (I) Si  ≠ 1 y  ≠ 2, r(A) = 3 = r(B)  S.C.D. (II) Si  = 1 r(A) = 1 = r(B)  S.C.I. (2 g. l.) (III) Si  = 2 r(A) = 2 ≠ 3 = r(B)  S.I.

54 (I) Si  ≠ 1 y  ≠ 2, r(A) = 3 = r(B)  S.C.D.
24/02/ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (3,5 puntos): RESOLUCIÓN: (I) Si  ≠ 1 y  ≠ 2, r(A) = 3 = r(B)  S.C.D. (II) Si  = 1, r(A) = 1 = r(B)  S.C.I. (2 g. l.) x + y + z = 1  x = 1 – y – z

55 24/02/2012 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3.- Discute y resuelve en los casos que sea posible el sistema (2,5 puntos): SISTEMA HOMOGÉNEO |A| = 0  m2 + 4m – 21 = 0  (I) Si m ≠ 3 y m ≠ 7, r(A) = 3  S.C.D. SOLUCIÓN TRIVIAL: x = y = z = 0 (II) Si m = 3 r(A) = 2  S.C.I. z = (5x + y)/3 = x y = –2x (III) Si m = 7 r(A) = 2  S.C.I. z = –(5x + y)/7 = –3x/7 y = –2x

56 x = número de billetes de 10 € y = número de billetes de 20 €
24/02/ SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.- Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20, y 50 € con un valor total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averiguar cuántos billetes hay de cada tipo. (2 puntos) x = número de billetes de 10 € y = número de billetes de 20 € z = número de billetes de 50 € x + y + z = 95 10x + 20y + 50z = 2000 x = 2y x + y + z = 95 x + 2y + 5z = 200 x – 2y = 0 Simplificamos y reordenamos: Método de Gauss: x + y + z = 95 y + 4z = 105 – 3y – z = –95 x + y + z = 95 y + 4z = 105 11z = 220 x = 50 E2 – E1 E3 – E1 (E3 + 3E2) y = 25 z = 20 Por tanto hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €

57 16/03/ VECTORES 1.- Calcular D para que los puntos ABCD formen un paralelogramo siendo A = (2,-1,3) ; B = (5,1,2) y C = (-1,2,3) (1,25 puntos) 2.- Determina el valor del parámetro k para que los puntos A = (k,2,-3); B = (4,k,1) y C = (7,0,5) estén alineados. (1 punto) 3.- Determinar el área del triángulo de vértices A = (3,2,4); B = (4,4,5) y C = (6,3,3). (1,25 puntos) 4.- Dados los vectores a, b y c tales que , calcular la siguiente suma de productos escalares: a·b + b·c + a·c. (1,75 puntos) 5.- Determina de forma razonada el siguiente producto vectorial (a – b)(a + b) (1,75 puntos) 6.- Encontrar los vectores unitarios de R3 perpendiculares al vector v = (1,0,1) y que formen un ángulo de 60º con el vector (1,75 puntos) 7.- Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 1) ; C = (5, 1, 5) y D = (4, 1, 5) (1,5 puntos)

58 Nombramos los vértices del paralelogramo en sentido circular.
16/03/ VECTORES 1.- Calcular D para que los puntos ABCD formen un paralelogramo siendo A = (2,-1,3) ; B = (5,1,2) y C = (-1,2,3) (1,25 puntos) D C Nombramos los vértices del paralelogramo en sentido circular. Consideramos el vector A B = (5 – 2, 1 – (–1), 2 – 3) = (3, 2, –1) Es evidente que = (–1 – xD, 2 – yD ,3 – zD) = (3, 2, –1) Por tanto: –1 – xD = 3  xD = –4 2 – yD = 2  yD = 0 D = (–4, 0, 4) 3 – zD = –1  zD = 4

59 Consideramos el vector = (4 – k, k – 2, 1 – (–3)) = (4 – k, k – 2, 4)
16/03/ VECTORES 2.- Determina el valor del parámetro k para que los puntos A = (k,2,-3); B = (4,k,1) y C = (7,0,5) estén alineados. (1 punto) Consideramos el vector = (4 – k, k – 2, 1 – (–3)) = (4 – k, k – 2, 4) Por otra parte = (7 – 4, 0 – k, 5 – 1) = (3, –k, 4) Para que los tres puntos estén alineados, estos dos vectores han de tener la misma dirección, y por tanto, sus componentes deben ser proporcionales. Puesto que la tercera componente de ambos vectores coinciden, también deben coincidir las demás: k – 2 = – k  k = 1 Efectivamente, este valor de k también hace que la igualdad entre las primeras componentes también sea cierta.

60 16/03/ VECTORES 3.- Determinar el área del triángulo de vértices A = (3,2,4); B = (4,4,5) y C = (6,3,3). (1,25 puntos) C = (4 – 3, 4 – 2, 5 – 4) = (1, 2, 1) = (6 – 3, 3 – 2, 3 – 4) = (3, 1, –1) A B ÁreaTRIÁNGULO =

61 16/03/ VECTORES 4.- Dados los vectores a, b y c tales que , calcular la siguiente suma de productos escalares: a·b + b·c + a·c. (1,75 puntos) Por tanto:

62 16/03/ VECTORES 5.- Determina de forma razonada el siguiente producto vectorial (a – b)(a + b) (1,75 puntos) Puesto que y

63 Buscamos un vector (x, y, z); | | = 1
16/03/ VECTORES 6.- Encontrar los vectores unitarios de R3 perpendiculares al vector v = (1,0,1) y que formen un ángulo de 60º con el vector (1,75 puntos) Buscamos un vector (x, y, z); | | = 1  (x, y, z)·(1, 0, 1) = 0  x + z = 0  z = –x Por otra parte Es decir Además, ha de ser unitario: x2 + y2 + (–x)2 = 1  2x2 + ½ = 1  x =  ½ Por tanto: o

64 Consideramos tres vectores CONCURRENTES en un vértice:
7.- Calcula el volumen del tetraedro de vértices A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 1) ; C = (5, 1, 5) y D = (4, 1, 5) (1,5 puntos) C Consideramos tres vectores CONCURRENTES en un vértice: = (2 – 1, 5 – 2, 1 – 3) = (1, 3, –2) = (5 – 1, 1 – 2, 5 – 3) = (4, –1, 2) B D = (4 – 1, 1 – 2, 5 – 3) = (3, –1, 2) A

65 a) Determinar su posición relativa.
11/05/ GEOMETRÍA 1.- Discutir la posición relativa de los siguientes tres planos dependiendo del parámetro: 2.- Determinar el parámetro m para que la recta sea paralela al plano  4x + my + z = 2 3.- Halla la ecuación del plano que contiene al punto A = (3,3,3) y a la recta 4.- Determina las coordenadas del punto B simétrico del A = (2,0,3) respecto de la recta dada por 5.- Dadas las rectas a) Determinar su posición relativa. b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s). NOTA: Cada ejercicio se valorará sobre 2 puntos.

66 = 1 – m, que se anula si, y sólo si, m = 1.
11/05/ GEOMETRÍA 1.- Discutir la posición relativa de los siguientes tres planos dependiendo del parámetro: Estudiamos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, aplicando el teorema de Rouché. = 1 – m, que se anula si, y sólo si, m = 1. (I) Si m  1, r(A) = 3 = r(B). S. C. D. Los tres planos se cortan en un punto. (II) Si m = 1: r(A) = 2  3 = r(B). S. I. Es fácil observar que las dos primeras ecuaciones corresponden a planos paralelos, y la tercera ecuación a un plano que no es paralelo a los anteriores.

67 Vector director de r: u(2, 4, 2) v
11/05/ GEOMETRÍA 2.- Determinar el parámetro m para que la recta sea paralela al plano  4x + my + z = 2 u Vector director de r: u(2, 4, 2) v Vector característico de : v(4, m, 1) Los vectores u y v han de ser perpendiculares. Por tanto, su producto escalar será nulo: (2, 4, 2) · (4, m, 1) = 2·4 + 4·m + 2·1 = 0  m = 0  m =

68 Pasamos a paramétricas:
11/05/ GEOMETRÍA 3.- Halla la ecuación del plano que contiene al punto A = (3,3,3) y a la recta Pasamos a paramétricas: Obtenemos un punto de r y su vector director: B = (–1, –2, 0) u = (0, 0, 1) El vector v que une B y A también será una dirección del plano: v = (4, 5, 3) Por tanto, con un punto y dos direccciones independientes, tenemos la ecuación del plano:  5x – 4y – 3 = 0

69 Hallamos el plano  perpendicular a r que contiene a A.
11/05/ GEOMETRÍA 4.- Determina las coordenadas del punto B simétrico del A = (2,0,3) respecto de la recta dada por r Hallamos el plano  perpendicular a r que contiene a A. El vector director de r es característico de : v(1, 1, 2) A M B 1(x – 2) + 1(y – 0) + 2(z – 3) = 0  x + y + 2z – 8 = 0 Ecuaciones paramétricas de Hallamos el punto M intersección de  con r: (1 + ) + (2 + ) + 2(1 + 2) – 8 = 0  6 – 3 = 0   = ½ Este punto M es el punto medio del segmento AB. Por tanto:  B = (1, 5, 1)

70 a) Determinar su posición relativa.
11/05/ GEOMETRÍA 5.- Dadas las rectas a) Determinar su posición relativa. b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s). a) Para determinar la posición relativa, estudiamos el rango de {u, v, w}  0  rango {u, v, w} = 3 Las rectas se cruzan

71 a) Determinar su posición relativa.
11/05/ GEOMETRÍA 5.- Dadas las rectas a) Determinar su posición relativa. b) Determinar una recta perpendicular a ambas y d(r,s). b) El vector director de la perpendicular común es u  v = Perpendicular común: d(r,s) =

72 18/05/2012 3ª EVALUACIÓN VECTORES EN EL ESPACIO
1.- Determinar los parámetros a y b para que los puntos A = (–1, 3, 2); B = (2, –1, –1) y C = (a – 2, 7, b) estén alineados. 2.- Sea M = (2, –1,3) el punto medio del paralelogramo ABCD, calcular C y D si A = (1, –1, 1) y B = (3, –2,5), así como su área. 3.- Sabiendo que |u| = 3; u·v = 10; w = 3u – 2v y ang(u, v) = 60º, calcula a) |v|; b) u·w; c) |w|. 4.- El vector u es perpendicular a los vectores v y w, que forman entre sí un ángulo de 30º. Si se sabe que |u|=2, |v|=5, y |w|=3, calcula el volumen del paralelepípedo que tiene a u, v y w como aristas. GEOMETRÍA ESPACIO 5.- Dadas las rectas Determina  para que se corten en un punto. Calcula el plano que las contiene en dicho caso El alumnado que deba recuperar las dos partes realizará los ejercicios 2, 4, 5 y 7. 6.- Dadas las rectas a) Estudiar su posición relativa. b) Determina la recta perpendicular a ambas que pasa por (1,2,0). 7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por A = (1, -1,0) y se apoya en las rectas 8.- Determina el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado por   2x – y + z + 1 = 0.

73 18/05/2012 3ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO
1.- Determinar los parámetros a y b para que los puntos A = (–1, 3, 2); B = (2, –1, –1) y C = (a – 2, 7, b) estén alineados. = (3, –4, –3) = (a – 1, 4, b – 2) Para que A, B y C estén alineados estos dos vectores deben tener la misma dirección, y, por tanto, sus componentes deben ser proporcionales:  a – 1 = –3  a = –2  b – 2 = 3  b = 5

74 Por tanto, C = (2, –1, 3) + (1, 0, 2) = (3, –1, 5)
18/05/ ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO 2.- Sea M = (2, –1,3) el punto medio del paralelogramo ABCD, calcular C y D si A = (1, –1, 1) y B = (3, –2, 5), así como su área. D C = (1, 0, 2) = M Por tanto, C = (2, –1, 3) + (1, 0, 2) = (3, –1, 5) = (–1, 1, –2) = A B Por tanto, D = (2, –1, 3) + (–1, 1, –2) = (1, 0, 1) = (2, –1, 4) = (0, 1, 0) Área =

75 b) u·w = u·(3u – 2v) = 3·u·u – 2u·v = 3·|u|2 – 2u·v = 3·9 – 20 = 7
18/05/ ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO 3.- Sabiendo que |u| = 3; u·v = 10; w = 3u – 2v y ang(u, v) = 60º, calcula: a) |v| b) u·w c) |w| a) u·v = |u|·|v|·cos(u, v) = 3·|v|·cos60º = 10  |v| = 10/(3·cos60º) = 20/3 b) u·w = u·(3u – 2v) = 3·u·u – 2u·v = 3·|u|2 – 2u·v = 3·9 – 20 = 7 c) |w|2 = w·w = (3u – 2v)·(3u – 2v) = 9·u·u – 12·u·v + 4·v·v = = 9|u|2 – 12·u·v + 4|v|2 = 9·9 – 12·10 + 4·400/9 = 1249/9 Por tanto: |w| =

76 Volumen = Área de la base · altura = |v  w| · |u| u v w
18/05/ ª EVALUACIÓN. VECTORES EN EL ESPACIO 4.- El vector u es perpendicular a los vectores v y w, que forman entre sí un ángulo de 30º. Si se sabe que |u|=2, |v|=5, y |w|=3, calcula el volumen del paralelepípedo que tiene a u, v y w como aristas. Volumen = Área de la base · altura = |v  w| · |u| u v w Área de la base = |v  w| = |v|·|w|·sen(v, w) = 5·3·sen30º = 7,5 u2 Por tanto: Volumen = 7,5 · 2 = 15 u3

77 Determina  para que se corten en un punto.
18/05/ ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 5.- Dadas las rectas Determina  para que se corten en un punto. Calcula el plano que las contiene en dicho caso a) Para que se corten en un punto debe ser rango{u, v, w} = 2, por tanto:  5 – 28 = 0  b)  11x – 5y + 7z + 6 = 0

78 a) Estudiar su posición relativa.
18/05/ ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 6.- Dadas las rectas a) Estudiar su posición relativa. b) Determina la recta perpendicular a ambas que pasa por (1,2,0). a) Estudiamos el rango{u, v, w}:  las rectas SE CRUZAN b) Dirección de la perpendicular común: u  v = Por tanto, la recta pedida es:

79 Plano que contiene a r y A: 1   7x – 6y – 2z – 13 = 0
18/05/ ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 7.- Determina la ecuación de la recta que pasa por A = (1, -1,0) y se apoya en las rectas Plano que contiene a r y A: 1   7x – 6y – 2z – 13 = 0 Plano que contiene a s y A: 2   2x – y – z – 3 = 0 7x – 6y – 2z – 13 = 0 Por tanto, la recta pedida es: 2x –y – z – 3 = 0

80 Por tanto, el plano pedido es:  4x + 7y – z – 6 = 0
18/05/ ª EVALUACIÓN. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 8.- Determina el plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado por   2x – y + z + 1 = 0. 2x – y + z + 1 = 0 Por tanto, el plano pedido es:  4x + 7y – z – 6 = 0

81 4.- Consideremos las rectas de ecuaciones:
25/05/ FINAL GEOMETRÍA 1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1). Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5). Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área. 2.- Dadas las rectas Determinar el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda. 3.- Halla un punto P de la recta que con los puntos A=(1,1,1) y B=(3,1,0) forme un triángulo rectángulo de hipotenusa BP. 4.- Consideremos las rectas de ecuaciones: Determinar n para que r y s sean paralelas. Para dicho valor, determina el plano que contiene a ambas. Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.

82 Buscamos el plano  perpendicular a r por B P B
25/05/ FINAL GEOMETRÍA 1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1). Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5). Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área. r a) Buscamos el plano  perpendicular a r por B P B El vector director de r es característico de : 1(x – 4) – 1(y – 7) + 1(z – 5) = 0 x – y + z – 2 = 0 El punto P que buscamos es la intersección de la recta r y el plano : t – 1(2 – t) + (1 + t) – 2 = 0  3t – 3 = 0  t = 1  P(1, 1 , 2)

83 Se trata de un RECTÁNGULO. Por tanto su área es (base · altura):
25/05/ FINAL GEOMETRÍA 1.- Sea r la recta que pasa por A = (0,2,1) y tiene como vector director a (1,-1,1). Halla el punto P de la recta r que está más cerca del punto B = (4,7,5). Halla el cuarto vértice Q del paralelogramo con vértices consecutivos APBQ ¿Puedes especificar qué tipo de paralelogramo es APBQ? Calcula su área. b) Q B(4, 7, 5)  Q = (4, 7, 5) – (1, –1, 1) = (3, 8, 4) A(0, 2, 1) P(1, 1, 2) c) 1·3 – 1·6 +1·3 = 0 Se trata de un RECTÁNGULO. Por tanto su área es (base · altura):

84 25/05/ FINAL GEOMETRÍA 2.- Dadas las rectas Determinar el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda.  2x + y – 2z – 5 = 0

85 25/05/ FINAL GEOMETRÍA 3.- Halla un punto P de la recta que con los puntos A=(1,1,1) y B=(3,1,0) forme un triángulo rectángulo de hipotenusa BP. P  P = (2 + t, 1 + t, 1) A B 2(1 + t) = 0  t = –1 Por tanto P = (1, 0, 1)

86 4.- Consideremos las rectas de ecuaciones:
25/05/ FINAL GEOMETRÍA 4.- Consideremos las rectas de ecuaciones: Determinar n para que r y s sean paralelas. Para dicho valor, determina el plano que contiene a ambas. a) r // s   n = 1 b) Necesitamos otro vector linealmente independiente:  x + y – 6z + 8 = 0

87 Halla los valores reales de x para los que tiene inversa.
28/05/ FINAL ÁLGEBRA 1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m, y resuélvelo cuando se pueda. Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos. 2.- Sea la matriz Halla los valores reales de x para los que tiene inversa. Resolver la ecuación matricial A·Y + B = I siendo A la matriz anterior para x = 3, I la matriz identidad y B la matriz dada por . 3.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado el 30% de las cajas. 4.- Se sabe que Calcula sin desarrollar

88 Si m  0 y m  –3, r(A) = 3 = r(B)  S.C.D.
28/05/ FINAL ÁLGEBRA 1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m, y resuélvelo cuando se pueda. Si m  0 y m  –3, r(A) = 3 = r(B)  S.C.D. II) Si m = 0 r(A) = 1  2 = r(B)  S.I. III) Si m = –3 r(A) = 2  3 = r(B)  S.I.

89 28/05/ FINAL ÁLGEBRA 1.- Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según los valores del parámetro m, y resuélvelo cuando se pueda.

90 Halla los valores reales de x para los que tiene inversa.
28/05/ FINAL ÁLGEBRA 2.- Sea la matriz Halla los valores reales de x para los que tiene inversa. Resolver la ecuación matricial A·Y + B = I siendo A la matriz anterior para x = 3, I la matriz identidad y B la matriz dada por . a) |A| = x(x – 2)2  A–1  x  0  x  2 b) AY + B = I  AY = I – B  Y = A–1(I – B) Para x = 3 

91 450 cajas · 30 €/u = 13500 €  Resto: 40500 – 13500 = 27000 €
28/05/ FINAL ÁLGEBRA 3.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste total de la operación ha sido de euros. Calcular cuánto ha pagado la empresa en cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos ha comprado el 30% de las cajas. En el primer mercado ha comprado el 30% de las cajas: 0,3 · 1500 = 450 cajas. 450 cajas · 30 €/u = €  Resto: – = € Cajas compradas en el 2º mercado: x Cajas compradas en el 3º mercado: y x y = 20x + 40y = 27000 x + y = 1050 x + 2y = 1350 ~ (E2/20) ~ (E2 – E1) y = 300 cajas Por tanto, se ha comprado: En el primer mercado 450 cajas. En el segundo mercado 300 cajas. En el tercer mercado 750 cajas.

92 4.- Se sabe que . Calcula sin desarrollar
28/05/ FINAL ÁLGEBRA 4.- Se sabe que Calcula sin desarrollar

93 Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.
29/05/ FINAL ANÁLISIS 1.- Demostrar que la ecuación 2x3 – 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1). Enunciar los teoremas utilizados en el razonamiento. 2.- Determinar el valor de las constantes a, b, c sabiendo que la gráfica de la función f:  , definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0. 3.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo. 4.- Calcular el área finita, comprendida entre la recta x = 1 y las curvas Todos los ejercicios se valorarán sobre 2,5 puntos.

94 Se verifican las hipótesis del teorema de Rolle.
29/05/ FINAL ANÁLISIS 1.- Demostrar que la ecuación 2x3 – 6x + 1 = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0, 1). Enunciar los teoremas utilizados en el razonamiento. Definimos la función f(x) = 2x3 – 6x + 1, que es continua y derivable en todos los números reales por ser una función polinómica. Vemos si se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano en el intervalo [0, 1] Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] que verifica f(a)·f(b) < 0. Entonces existe algun valor c  (a, b) donde f(c) = 0. TEOREMA DE BOLZANO f(0) = 1 > 0 f(1) = –3 < 0 Por tanto, deberá cumplirse la tesis:  a (0, 1) / f(a) = 0, es decir, la ecuación tiene, al menos una solución real dentro de dicho intervalo. Supongamos que tiene otra solución b  (0, 1). Entonces f(a) = f(b) = 0. Se verifican las hipótesis del teorema de Rolle. f’(x) = 6x2 – 6 = 6(x2 – 1) = 0  x = 1 (a, b)  (0, 1), es decir, no se verificaría la tesis del teorema de Rolle. Así pues, la solución de la ecuación ha de ser única. TEOREMA DE ROLLE Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en (a, b) que verifica f(a) = f(b). Entonces existe algun valor c  (a, b) donde f ‘(c) = 0.

95 f ‘(x) = 3ax2 + 2bx + c f ”(x) = 6ax + 2b
29/05/ FINAL ANÁLISIS 2.- Determinar el valor de las constantes a, b, c sabiendo que la gráfica de la función f:  , definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx tiene un punto de inflexión en (−2, 12) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10x + y + 8 = 0. f ‘(x) = 3ax2 + 2bx + c f ”(x) = 6ax + 2b Punto de inflexión en (−2, 12)  f(–2) =  –8a + 4b – 2c = 12 [1] f “(–2) =  –12a + 2b = 0 [2] Recta tangente 10x + y + 8 = 0  pendiente = –10 Por tanto f ‘(–2) = –10  12a – 4b + c = –10 [3] Resolvemos el sistema de ecuaciones [1], [2], [3]: ½ [1] ½ (–8a + 4b – 2c = 12)  –4a + 2b – c = 6 [3] a – 4b + c = –10 + 8a – 2b = –4 [4] [2] + [4] = –4a = –4  a = 1 [2]  b = 6 [3]  c = 2

96 y = 0  0 = mx + (2 – m)  x = (m – 2)/m
29/05/ FINAL ANÁLISIS 3.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo. y = mx + n 2 = m·1 + n  n = 2 – m y = mx + (2 – m) (1, 2) 2 – m y = 0  0 = mx + (2 – m)  x = (m – 2)/m (m – 2)/m Área = ½ base·altura  A(m) = A”(2) < 0  MÁXIMO A”(–2) < 0  MÍNIMO = 0  m = 2 Por tanto, m = –2  n = 4. La ecuación de la recta buscada es y = –2x + 4 Área del triángulo = A(–2) = 4 u2

97 Hallamos el punto de corte entre las curvas y = x2 e y = 8/x
29/05/ FINAL ANÁLISIS 4.- Calcular el área finita, comprendida entre la recta x = 1 y las curvas Hallamos el punto de corte entre las curvas y = x2 e y = 8/x y = x2 x = 1 y = 8/x

98 FIN


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