Vibraciones y oscilaciones El Movimiento Armónico Simple

Presentación del tema: "Vibraciones y oscilaciones El Movimiento Armónico Simple"— Transcripción de la presentación:

1 Vibraciones y oscilaciones El Movimiento Armónico Simple

2 Introducción MAS I Movimiento Armónico Simple (MAS):
Es un movimiento periódico característico de todos aquellos sistemas a los que una pequeña perturbación los aparta un poco de su estado de equilibrio estable (fuerzas elásticas) A los sistemas que oscilan con un MAS se les denomina osciladores armónicos. Todas las variables del movimiento (a,v,x) vienen dadas por funciones armónicas (senos y cosenos): Magnitudes del MAS: Elongación (x): Distancia del móvil a la posición de equilibrio o centro de oscilación Amplitud (A): Máxima elongación Fase (φ): Es el valor del argumento de las funciones seno y coseno : φ(t)=ωt+ φ0 Fase inicial φ0: Es el valor de la fase para t=0 Simulación gráfica MAS (oscilográfo) Período (T): Tiempo que dura cada ciclo u osciación completa Frecuencia (f): Numero de ciclos en la unidad de tiempo (1s en SI) Frecuencia Angular (ω): Es el número de ciclos que se dan en 2πunidades de tiempo

3 El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple”
Introducción MAS II Existen infinidad de sistemas que se comportan de forma similar a un oscilador armónico (edificios, puentes, circuitos eléctricos, columpio, etc). Nosotros solo vamos a estudiar dos sistemas que son relativamente fáciles de analizar (las matemáticas no son muy difíciles): El sistema “muelle-masa” y el sistema “péndulo simple” Pero las conclusiones cualitativas de este estudio (los números no) se pueden aplicar a la infinidad de sistemas más complejos que se comportan de forma similar. Edificaciones (edificios, puentes, etc) Maquinas Los átomos en las redes cristalinas de los sólidos Instrumentos musicales Todo objeto que produce sonidos Circuitos electricos Columpio Etc.

4 Características del MAS I
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a): t x(t) v(t) a(t) ωA T/4 A -ω2A T/2 -ωA 3T/4 -A ω2A Nota: La columna de t solo es válida si φ0=0. Muelle oscilante (Walter Fendt) La v(t) está desfasada π/2 rad respecto a x(t) La a(t) está desfasada π/2 rad respecto a v(t) y π rad respecto a x(t)

5 Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 1 (ej 6): Un resorte que vibra con un MAS efectúa 15 vibraciones cada 40s. Calcula a) La frecuencia b) el período c) la pulsación de este movimiento Ejemplo 2 (ej 7): Cierta partícula se mueve con un Mas, siendo su fase inicial φ0=0, su frecuencia f=50Hz y su amplitud A=3cm. Halla: el período b) la pulsación de este movimiento c) la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y t=10s

6 Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 3 (ej 8): Cierta partícula se mueve con un MAS, siendo su fase inicial φ0=π/4, su frecuencia f=60Hz y su amplitud A=3cm. Halla: el período b) la pulsación de este movimiento la ecuación de la elongación d) la posición en los instantes de tiempo t=0 y t=10s e) La velocidad y aceleración máximas, la velocidad y la aceleración en los instantes t=0s y t=15s

7 Características del MAS II
Magnitudes cinemáticas del MAS (x,v,a): En un MAS la frecuencia angular (ω) la frecuencia (f) y el período (T) no dependen de la amplitud ni de las condiciones iniciales (posición y velocidad iniciales ). Solo dependen de las características físicas del sistema. La amplitud (A) y la fase inicial (φ0), en cambio, si dependen de las condiciones inciales. Simulacion condiciones inciales A φ0 x(0)=x0 v(t)=0 x0 π/2 x(0)=0 v(0)=v0 v0/ω

8 Características del MAS (ejemplos)
Ejemplo 4 (ej 9): La elongación máxima de una partícula con MAS es 0,05m y su período vale 4s. Si en t0=0s se encuentra en el centro de la oscilación con velocidad positiva, halla: La fase inicial b) la pulsación de este movimiento c) la ecuación de la elongación d) el valor de ésta a 1s después de iniciado el movimiento

9 Características del MAS III (MAS y MCU)
El MAS y el Movimiento Circular Uniforme El MAS coincide con la proyección en uno de los ejes del movimiento de un cuerpo moviéndose con un MCU Dicho de otra forma, el MAS coincide con una de las componentes del vector de posición de un móvil moviéndose con un MCU cuya velocidad angular coincide con la ω del MAS y el radio de la trayectoria con la Amplitud (A) . Animacion MAS y MCU colombia Animacion Flash Animación Newton

10 Ejemplos de MAS I: El sistema masa-muelle
Se puede demostrar que el sistema Masa-Muelle tiene una frecuencia angular y un períodos dados por las siguientes expresiones: Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (m y K). Nota importante: Todo sistema cuya aceleración y posición son proporcionales y de sentido contrario ( ) o sobre el que sólo actúa una fuerza recuperadora ( ) se mueve de con un MAS

11 Ejemplos de MAS II: El péndulo simple
Se puede demostrar (p126 del libro) que el sistema “péndulo simple” tiene una frecuencia angular y un período dados por las siguientes expresiones: Como puede verse solo dependen de las características físicas del sistema (L y g). Este resultado es valido para ángulos de oscilación pequeños (<20º) Es decir, Para oscilaciones pequeñas (s<<L) el péndulo simple se comporta como un Oscilador Armónico Simple Péndulo (Walter Fendt) Animación péndulo colombia

12 Energía en el MAS Las fuerzas elásticas son conservativas por lo tanto la energía mecánica de estos sistemas se conserva: Animación 1 Animación 2 animación 3 Muelle oscilante (Walter Fendt)

13 Otros tipos de movimientos oscilatorios
Existen otro tipo de movimientos oscilatorios (peródicos o no) algo más complejos los más importantes son: El movimiento oscilatorio amortiguado: Se da cuando existe rozamiento. En ese caso la amplitud de las oscilaciones decrece con el tiempo, pero el período de cada una de esa oscilaciones sigue siendo constante. (cumple la forma que hemos visto). Animación colomb animacion flash El grado de amortiguamiento depende de la cte. de amortiguamiento del sistema “γ” Amplitud decrece con el tiempo. A mayor “γ” (mayor rozamiento) más rápido decrece La ω y el T siguen siendo iguales

14 El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado: Se da cuando actúa una fuerza periódica adicional sobre el sistema. Da origen a uno de los fenómenos más importantes y sorprendentes de la física, la resonancia. Pero eso ya es otra historia: Recordad: Todos los sistemas en equilibrio estable a los que una pequeña perturbación los aparta del equilibrio oscilan con una frecuencia que solo depende de las características físicas del sistema (su forma, rigidez, materiales de construcción, masa, etc..). A esta frecuencia se le llama frecuencia natural del sistema (ω0). Hemos visto dos ejemplos básicos:

15 El movimiento oscilatorio forzado I
El movimiento oscilatorio Forzado ocurre cuando actúa una fuerza periódica externa sobre un sistema oscilatorio. La fuerza externa es periódica, por lo que tendrá una frecuencia ω En este caso, el movimiento es complicado al principio, pero finalmente el sistema oscila con la frecuencia de esa fuerza periódica externa (ω). Resonancia colombia Resonancia flash La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0).

16 El movimiento oscilatorio forzado II Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0). ¿Qué cojo… quiere decir esto? Cuanto más próxima sea la “frecuencia forzante” (ω) a la frecuencia natural del sistema (ω0), mayor será la amplitud de las oscilaciones En el límite cuando ω= ω0 es el caso de amplitud máxima (cuando la amplitud se hace lo más grande posible) se dice que el sistema ha entrado en resonancia. Y a ese valor de frecuencia también se le llama frecuencia de resonancia del sistema Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!! Resonancia (Walter Fendt)

17 El movimiento oscilatorio forzado III Resonancia
La amplitud de las oscilaciones será mayor o menor dependiendo de la diferencia entre la frecuencia de oscilación de la fuerza (ω) y la frecuencia natural del sistema (ω0). ¿Qué cojo… quiere decir esto? Las amplitudes pueden llegar a ser muy grandes, incluso para fuerzas pequeñas!!! Resonancia (Walter Fendt) Para un sistema ideal (sin rozamiento): Amplitud Máxima = ∞(infinito)!!!! A tomar por cul… el sistema Catastrofe resonante!!! Para un sistema real (con rozamiento): Amplitud Máxima =es grande pero no infinita!!!! El valor concreto depende de la cte. de amortiguamiento ω (rad/s) A (m) Amax A (m) ω1 A1 ω (rad/s) ω0 A1 ω1 ω0