Razonamiento inexacto La imprecisión, como así también la incertidumbre, pueden ser tratadas dentro del razonamiento aproximado utilizando la lógica difusa.

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2 Razonamiento inexacto La imprecisión, como así también la incertidumbre, pueden ser tratadas dentro del razonamiento aproximado utilizando la lógica difusa en lo que se denomina teoría de las posibilidades, en oposición a la conocida teoría de las probabilidades.

3 Razonamiento inexacto Es necesario cuantificar y razonar acerca de términos o predicados difusos que aparecen en el lenguaje natural. La lógica difusa se refiere a estos términos como variables lingüísticas, y la tecnología de los sistemas expertos, incorpora estas variables lingüísticas en reglas que pasan a ser reglas difusas.

4 Razonamiento inexacto Los sistemas difusos aparecieron alrededor de 1920 y fueron propuestos por Lukasiewicz que estudió la representación matemática de términos difusos (fuzzy) tales como “alto”, “viejo” o “caliente”. La motivación surgió como resultado de que Lukasiewicz interpretó que este tipo de términos desafían la representación en los valores [ 0,1] de la lógica Aristotélica: verdadero o falso. Lukasiewicz desarrollo un sistema de lógica que extiende el rango de los valores de verdad a todos los números reales en el rango de 0 a 1.

5 Razonamiento inexacto Lukasiewicz utilizó un número en este conjunto [0,1] para representar la “posibilidad” que una determinada sentencia fuera verdadera o falsa. Por ejemplo, la posibilidad de que una persona de 1,80mts. de estatura es realmente alta, podría ser indicada como 0.9; esto es: muy posiblemente que la persona es alta. Estas investigaciones condujeron a formalizar una técnica para el razonamiento inexacto denominada acertadamente: teoría de las posibilidades.

6 Razonamiento inexacto En 1965, Zadeh extendió el trabajo de la teoría de las posibilidades a un sistema lógico-matemático formal. Zadeh trajo una colección de conceptos valuables la atención para la realización de trabajos que involucraban términos difusos del lenguaje natural. Esta nueva herramienta lógica para la representación y manipulación de términos difusos fue denominada “lógica difusa” (fuzzy logic).

7 Razonamiento inexacto Por definición “logica difusa” es una rama de la lógica que utiliza conjuntos asociados a grados de pertenencia en lugar de los estrictos valores verdadero o falso para indicar la pertenencia como se utiliza en la teoría de los conjuntos clásicos. Estos conjuntos reciben la denominación de “conjuntos difusos”.

8 Razonamiento inexacto La lógica difusa concierne a la cuantificación y razonamiento de términos vagos o difusos que aparecen en el lenguaje natural cotidiano. En la lógica difusa, estos términos son denominados variables lingüísticas. Por definición, variables lingüísticas son términos que describen algún concepto que usualmente tiene asociados valores vagos o difusos.

9 Razonamiento inexacto Variable lingüísticaValores típicos temperaturacaliente, frío alturabaja, media, alta velocidadlenta, normal, rápida

10 Razonamiento inexacto La lógica difusa está basado en la teoría de los conjuntos difusos, que a diferencia de la tradicional teoría de conjuntos, en la cual un elemento pertenece o no al conjunto, esta teoría asigna valores de pertenencia a los elementos que están asociados con dicho conjunto difuso. Los valores de pertenencia se establecen en un rango de 0 a 1.

11 Razonamiento inexacto La sentencia “Juan es alto” implica la variable lingüística “estatura” que tiene como valor lingüístico “alto”. El rango de los posibles valores de la variable lingüística (estatura) es el universo de discurso X de dicha variable (.3 @ 2.5mtrs). La frase “Juan es alto” ocupa una sección del universo de discurso de la variable, y es un conjunto difuso.

12 Razonamiento inexacto Definiendo a un hombre alto con una estatura comprendida entre 1.75 y 1.85 metros, la teoría de conjuntos le asignaría un grado de pertenencia de 1, a todos los hombres cuya altura estuviera comprendida en el rango antes indicado, y según la cual, todos los hombre fuera de este rango no serían considerados como altos sin posibilidad de ninguna tolerancia. Por el contrario, la representación mediante un conjunto difuso, permite extender de una manera más natural, el concepto asociado a la idea de un hombre alto y así, un hombre de 1.73 de altura será considerado también dentro del conjunto pero con un menor grado de pertenencia, 0.9 al conjunto de los hombres altos.

13 Razonamiento inexacto grado de pertenencia 1 0 1.75 1.85 0.9 1.73 1.651.95 altura en mts.

14 Razonamiento inexacto Suponiendo que X es el universo de discurso de la variable lingüística estatura, y un elemento de dicho universo es x (la estatura de un hombre), entonces si A es un conjunto difuso que define a los hombres altos de dicha variable lingüística, este estará caracterizado por la siguiente función:  A (x) : X  [0,1] denominada función de pertenencia del conjunto A, cuyo rango o universo de discurso, es X.

15 Razonamiento inexacto Esta función representa el grado en que un elemento x, pertenece al conjunto difuso A.  A (x) = grado (x  A) El valor de pertenencia de x está circunscrito a la siguiente relación: 0 <=  A (x) <=1

16 Razonamiento inexacto Para otras descripciones de la variable lingüística estatura tales como: baja o media, se pueden obtener otros conjuntos difusos que reflejan la opinión popular (o de expertos, según sea el caso). En general se pueden definir múltiples conjuntos difusos para un mismo universo de discurso, y estos conjuntos representan adjetivos o subconjuntos difusos definidos sobre la variable lingüística estatura.

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18 Razonamiento inexacto El número 10 difuso, puede representarse con un conjunto de números entre 7 y 13 con distintos grados de pertenencia al conjunto difuso 10 donde  10 (10) = 1,  10 (7) =  10 (13) = 0. La representación, corresponde a una geometría triangular que responde a las expectativas de conjunto difuso 10.

19 Razonamiento inexacto  10 (10) 1 0 713 10  10 (7)  10 (13)

20 Razonamiento inexacto  10 (x) = 0 para x d  10 (x) creciente monotonicamente parax a  10 (x) decreciente monotonicamente parax c  10 (x) = 1 para c  x  b La representación triangular de un número difuso es un caso particular en la cual, b = c.

21 Razonamiento inexacto Considerando ahora un universo de discurso discreto, tal que los elementos de X sean { x 1, x 2,.....x n } y, siendo A un conjunto difuso definido en dicho universo se establece una función  A (x) que mapea los elementos x i de X asignándoles un grado de pertenencia en [0,1]. Es decir,  A (x) = grado (x  A), y para un conjunto discreto deviene un vector: A = ( a 1, a 2,.....a n ) donde a i =  A (x i )

22 Razonamiento inexacto La representación del vector se clarifica utilizando el símbolo “ / “ que asocia el valor de pertenencia a i con la coordenada de x i : A = ( a 1 / x 1, a 2 /x 2.....a n / x n ) Considerando el conjunto difuso alta asociado a la variable lingüística estatura: ALTA = (0/1.65, 1/1.75, 1/1.85, 0/1.95)

23 Razonamiento inexacto También se expresa como: A = ( a 1 /x 1 + a 2 /x 2+.....+a n / x n ) A = SUMATORIA  A (x i )/x i para i=1 @n Si X es un a función continua, el conjunto A, este puede ser representado como: A = INTEGRAL  A (x i )/x i

24 Razonamiento inexacto Para un conjunto continuo de elementos, se necesita una función que mapea los elementos a sus valores de pertenencia. Las funciones típicas son las funciones estadística, no obstante, el diseñador puede definir sus propias funciones acorde con el problema. Debido a la carga computacional que suponen estas funciones, en la práctica se recurre al expediente de utilizar una función lineal segmentada para representar el conjunto borroso. Para obtener este ajuste lineal, cada conjunto borroso se codifica con un vector de ajuste (fit-vector).

25 Razonamiento inexacto La lógica difusa trata con proposiciones difusas que asigna un valor a una variable lingüística tal como “estatura”, el valor “estatura es alta”, mediante un conjunto difuso A, definido sobre el universo de discurso X de la variable lingüística. Analogamente, para la variable lingüística “peso”, el valor “peso elevado”,se define en el universo de discurso Y de dicha variable lingüística.

26 Razonamiento inexacto Una regla difusa relaciona dos proposiciones difusas, por ejemplo considerando dos conjuntos difusos tales como A (estatura es alta) y B (peso es elevado), estos pueden estar relacionados por la regla: If A Then B y los sistemas expertos difusos almacenan las reglas como asociaciones difusas (A,B), en una matriz M denominada matriz asociativa difusa y que mapea el conjunto difuso A en el conjunto difuso B, produciendo el proceso de inferencia difuso.

27 Razonamiento inexacto Como en otras técnicas de razonamiento inexacto, el proceso de inferencia difusa intenta establecer la credibilidad conclusión de la regla dada una cierta evidencia en la premisa. Sin embargo, puesto que las proposiciones contenidas en una reglas difusa son conjuntos difusos, la lógica difusa debe mapear el conjunto de información de la premisa al conjunto de información de la conclusión.

28 Razonamiento inexacto Los conjuntos difusos A y B, pueden ser representados como vectores de ajuste, y capturar sus relaciones en la matriz asociativa difusa M. Disponiendo de la matriz M que se obtiene a partir de A  B, el proceso de inferencia difusa permite a partir de información A’ como un subconjunto de A, inducir un subconjunto B’ de B, que cuantifica la credibilidad de la regla, es decir: A  B entonces A’  B’.

29 Razonamiento inexacto Para derivar el conjunto difuso inducido, el proceso de inferencia se basa en el producto difuso vector-matriz que se basa en el producto vector-matriz clásico.

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31 Razonamiento inexacto composición max- minEl producto difuso vector-matriz que se basa en la técnica de composición max- min, definida por el operador “  ”. A  M = B cada componente bj se calcula como sigue: b j = max{ min (  A (x i ), m ij }

32 Razonamiento inexacto Producto difuso vector-matriz, un ejemplo conociendo A, M y la regla de construcción de los términos de B:

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34 Razonamiento inexacto Por la definición del producto vector- matriz: b 1 = max{min(.2,.1), min(.4,.6), min(.6,.8), min(.1,.0)} y en general resultará:

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36 Razonamiento inexacto función de distribución de posibilidadesSegún un trabajo de Zadeh de 1985, se considera al conjunto difuso como una función de distribución de posibilidades que mapea elementos de algún universo de discurso en un número entre 0 y 1 que refleja el grado de credibilidad sobre la pertenencia del elemento al conjunto difuso. Es decir: Distribución de posibilidades =  A (x) =  A

37 Razonamiento inexacto Considerando una distribución de posibilidades condicional  A/B, Zadeh establece que la distribución de posibilidades de B esta dada por:  A   A/B =  B donde  A es un vector (1 x n),  A/B es una matriz (n x p) y  B es un vector (1 x p).

38 Razonamiento inexacto Zadeh establece que poniendo alguna información sobre A, sea A’; se obtendría información sobre B, o sea B’. Zadeh denominó a esta técnica: compositional rule of inference. Zadeh interpreta que la matriz  A/B, como los pares de implicación entre A y B

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40 Razonamiento inexacto inferencia max-min minEn la inferencia max-min, el operador de de la implicación utilizado es el “min”, es decir: m ij = min(a i,b j ) Entonces, dados los vectores de ajuste de A y B, se obtiene la matriz M. Luego, dado el vector de ajuste de A’, se puede inducir el subconjunto B’.

41 Razonamiento inexacto Ejemplo: se un universo de discurso X que representa “temperatura”, y A un conjunto difuso que representa “temperatura normal”. Asumiendo Y que representa “velocidad” y un B que representa “velocidad media, entonces si tenemos la siguiente regla difusa: If temperatura normal Then velocidad media

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44 Donde se asume que el subconjunto A’, es una lectura única que mapea una función de pertenencia valorada en 0.5 para el conjunto difuso “temperatura normal”, este induce un conjunto difuso B’:

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47 Razonamiento inexacto Cuando A’ tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, por ejemplo x k se puede utilizar solo  A (x k ) directamente con la representación de B,  B (y) para inducir B’ como B’ =  A (x k )   B (y)

48 Razonamiento inexacto En el ejemplo, nosotros asumimos que la temperatura es de 125 grados A’ tiene un solo valor de pertenencia distinto de 0, y resulta  A (x) = 0.5, y: B’ = [min(.5, 0), min(.5,.6), min(.5, 1), min(.5,.6), min(.5, 0) = = (0,.5,.5,.5, 0)

49 Razonamiento inexacto En el caso que la entrada a la regla sea una lectura difusa, nosotros podemos considerar la intersección de A y A’, es decir: min (a i, a’ i ) para inducir el B’

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51 Razonamiento inexacto inferencia max-productoEn la inferencia max-producto, el operador de de la implicación utilizado es: m ij = a i,b j Entonces, dados los vectores de ajuste de A y B, se obtiene la matriz M. Luego, dado el vector de ajuste de A’, se puede inducir el subconjunto B’.

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55 Razonamiento inexacto El método numérico desarrollado para reglas unarias puede ser extendido a reglas con cláusulas múltiples en la premisa vinculadas por operadores de conjunción o disyunción. Si A and/or B Entonces C La extensión del método consiste en incorporar las matrices asociativas a cada uno de los conjuntos difusos A y B involucrados en la regla y resolverlos conforme a la naturaleza del operador que los vincula.

56 Razonamiento inexacto A’  M AC = C A’ B’  M BC = C B’ luego para la conjunción resulta: C’ = (A’  M AC )  (B’  M BC ) = C A’  C B’ y para la disyunción deviene: C’ = (A’  M AC )  (B’  M BC ) = C A’  C B’

57 Razonamiento inexacto El efecto de la combinación de las conclusiones de varias reglas y el valor resultante del aporte de cada una de ellas, permite suponer que el resultado de la composición es la unión, o sea: C’ = C’1  C’2  C’3.......  C’n y según las operaciones entre conjuntos difusos descriptas, resultará: C’ = max (C’1, C’2, C’3,......, C’n)

58 Razonamiento inexacto  10 (10) 1 0 7 13 8 12