Distribuciones Muestrales: Media y Diferencia de Medias

Presentación del tema: "Distribuciones Muestrales: Media y Diferencia de Medias"— Transcripción de la presentación:

1 Distribuciones Muestrales: Media y Diferencia de Medias
Inferencia Estadística Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

2 Distribuciones Muestrales
Inferencia estadística: Proceso de sacar conclusiones sobre las características de una población basado en una muestra. Los estadísticos obtenidos cambian de muestra en muestra pero es posible obtener un patrón de comportamiento. Si conocemos la distribución muestral de nuestra característica de interés podemos hacer inferencia. Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

3 Teorema Central del Límite
La suma de n variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas sigue una distribución normal si n tiende a infinito. Se asume 30 como número suficientemente grande. Definición Formal: Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

4 Experimento de lanzar un dado
Función de Probabilidad Gráfico de Probabilidad Muestra 1° 2° 3° 4° Promedio M1 1 3 2 M2 4 2.75 M3 6 3.5 M4 Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

5 Teorema Central del Límite
Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

6 Ley de los grandes números
Entre más grande sea la cantidad de muestras aleatorias, la media aritmética tiende al valor esperado de la distribución. Definición Formal: Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

7 Ley de los grandes números
Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

8 Ley de los grandes números
En cierto pueblo existen dos hospitales. En el más grande de ellos nacen aproximadamente 45 bebés cada día, mientras que en el hospital pequeño nacen sólo 15 bebés por día. A pesar de que la proporción general de nacimientos corresponde 50% a niños y 50% a niñas, usualmente se presenta que en cada día nacen más niños que niñas, o viceversa. ¿Al final de un año, cuál hospital va a tener más días en los cuales más del 60% de los nacimientos correspondan a niños? Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

9 Distribución Muestral del Promedio
Si existe un número suficiente de datos el promedio sigue una distribución normal aunque las variables aleatorias de origen no. Si las variables aleatorias de origen son normales, el promedio sigue una distribución normal sin restricción de variables. Para tener detalles sobre la población, se puede contar con los parámetros o con su distribución de probabilidad. En la mayoría de ocasiones no es posible obtener la desviación de la población , por lo que se debe usar la desviación muestral S. Cuando ello sea necesario se debe implementar la distribución t de student con n-1 grados de libertad. Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

10 Fórmulas Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

11 Ejemplo Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillas tenga una vida promedio de menos de 775 horas. Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

12 Ejercicios En una planta de producción de productos comestibles empacados debe asegurarse de que el contenido ofrecido es equiparable al mencionado en la descripción. Por los análisis históricos, el producto “SúperRico” tiene un peso que sigue una distribución normal con media de 50g y desviación de 3g. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto tenga menos de 48g?, ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 20 productos tenga en promedio menos de 48 gramos?, ¿Por qué los resultados son diferentes? El valor promedio de consumo en m3 de agua que tiene una planta de producción es de 80, con una desviación estándar de 6 m3. Se seleccionan aleatoriamente 41 días y se mide la cantidad de m3 consumidos. Según lo conversado con el Acueducto Distrital, si el valor del promedio muestral es superior a 82,5 m3 se hará un aumento fijo en el valor de la factura por , si es inferior a 78 m3 se hará un descuento de 5.000, en cualquier otro caso la tarifa no cambiará. Cuál es el valor esperado de aumento de la tarifa? Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

13 Ejercicios La cantidad de productos vendidos por una empresa de manufactura en un día sigue una distribución normal con media de 50 y desviación estándar de 10 unidades. De cuántos días debe ser la muestra para que la probabilidad de que el promedio muestral sea menor a 40 sea menos del 1%. El tiempo de alistamiento de una máquina de inyección de productos plásticos sigue aproximadamente una distribución exponencial con β=4 minutos. Si se toman 40 tiempos de alistamiento de la misma máquina de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral esté entre 5 y 9 minutos? Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

14 Ejercicios Sabemos que el tiempo medio de espera en un Banco ubicado en el centro de la ciudad de Bogotá D.C. es de 15 minutos con una desviación estándar de 5 minutos. Si se toma al azar un grupo de 35 clientes: ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera del grupo fuera entre 15 y 15,5 minutos? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera del grupo sea de menos de 5 minutos? Si se toman 10 grupos aleatorios cada uno de 35 clientes, ¿cuál es el valor esperado de grupos que esperarán en promedio menos de 15,5 minutos? Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

15 Ejercicios En cierto proceso de producción de baterías ion-litio se desea conocer cuál es la probabilidad de que una muestra de 25 unidades dure en promedio más de 500 recargas. Sin embargo, en los reportes de calidad sólo se tiene información sobre estimaciones del promedio poblacional, el cual es de 485 recargas. Para poder realizar este análisis se realiza una pre-muestra de 5 unidades en las que se obtienen los siguientes valores (520, 400, 580, 490, 609). Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

16 Ejercicios Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

17 Ejercicio Un importante proceso de fabricación produce partes de componentes cilíndricos para la industria automotriz. Es importante por seguridad para los usuarios de los vehículos que el proceso fabrique partes que tengan un diámetro de 5mm. Por esta razón a la empresa acude una entidad del gobierno para realizar un proceso de auditoría para garantizar que en efecto se esté logrando un diámetro de 5mm. El ingeniero involucrado realiza una muestra de 100 partes al azar y les mide su diámetro. Los resultados arrojan resultados muestrales para le media de mm. Si por análisis de calidad previos se conoce que la desviación estándar poblacional es de 1.1 mm. ¿Basándose únicamente en el promedio, qué conclusión tomaría usted como auditor?

18 Distribución de muestreo de la diferencia de medias de distribuciones independientes.
Varianzas Conocidas Varianzas Desconocidas pero iguales Varianzas desconocidas y diferentes Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

19 Ejercicios Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. Suponga las Varianzas y Medias poblacionales como iguales. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina dé un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina? ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1? Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

20 Ejercicios En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si X1 representa el promedio de los pesos de 20 niños y X2 es el promedio de los pesos de una muestra de25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos delos 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas. Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

21 Ejercicios Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres. Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

22 Ejercicio Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

23 Muestras Dependientes
Permiten controlar evolución de la aplicación de un tratamiento a una Población. Son útiles para establecer grupos de control dentro de un experimento Se basan en el estadístico D, dela diferencia a priori y a posteriori Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

24 Fórmula Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá

25 Ejercicio Se selecciona un grupo de cajeros a nivel nacional, a los cuales se ofreció un entrenamiento en técnicas eficientes de operaciones bancarias. Se tomaron los resultados antes y después del entrenamiento logrando una diferencia que en promedio fue de 11.3 segundos, con una desviación estándar de Se puede afirmar que el entrenamiento reduce el tiempo promedio de ejecución de sus tareas en 5 segundos?

26 Ejercicio Se desea comparar la calidad de dos nuevas clases de trigo. Para ello, se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas ambas clases de trigo. La producción en las 10 fincas fue la siguiente: Asumiendo que las variables de origen son normales. ¿Qué se puede mencionar sobre la conjetura de que la clase A produce en promedio 4 unidades más que la clase B?

27 Actividades Investigar sobre el uso del factor de corrección para pruebas finitas y muestreos sin reemplazo. Factor de Corrección Aproximación Distribución Binomial a Normal Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá