HOMOLOGÍA Y ÁRBOLES RECUBRIDORES Jose Manuel Falces Sánchez Belén Romero Rodríguez.

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1 HOMOLOGÍA Y ÁRBOLES RECUBRIDORES Jose Manuel Falces Sánchez Belén Romero Rodríguez

2 ÍNDICE Introducción Conceptos Básicos Nuestra Aportación Problemas Abiertos Aplicaciones Conclusiones Bibliografía

3 INTRODUCCIÓN Para empezar… Topología es el estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.

4 INTRODUCCIÓN

5 Homología mide el grado de conexión de una figura en función de sus agujeros.

6 CONCEPTOS BÁSICOS Representación basada en Complejos Transformaciones Algoritmo Incremental Árbol Recubridor

7 REPRESENTACIÓN BASADA EN COMPLEJOS Complejo Simplicial Espacio topológico que se define por sus vértices y símplices, siendo símplice un conjunto de n+1 vértices.

8 NUESTRA REPRESENTACIÓN 0-Celda: Punto que representa el centro de un píxel negro. 1-Celda: Arista que une dos puntos negros adyacentes.

9 NUESTRA REPRESENTACIÓN 2-Celda: Celdas compuestas por 1-Celdas, serán triángulos o cuadrados. Representan la situación de tres o cuatro píxeles negros adyacentes unidos por sus respectivas aristas.

10 TRANSFORMACIONES Las transformaciones consisten en una forma de adelgazamiento basada en la contracción de 1-Celdas y 2- Celdas. Una componente conexa se transforma en un punto y un agujero en una arista.

11 TRANSFORMACIONES El resultado de las transformaciones viene dado por: 1 + ∂Φ + Φ∂ Donde: 1 es la Identidad ∂ representa el borde Φ representa la transformación aplicable

12 EJEMPLO Dada la 2-Celda y las siguientes transformaciones: Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3) Φ(4) = (3, 4)

13 EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

14 EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

15 EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

16 EJEMPLO Φ(1, 4) = (1, 2, 3, 4) Φ(4) = (3, 4) Φ(1) = (1, 2) Φ(2) = (2, 3)

17 EJEMPLO

18 ALGORITMO INCREMENTAL Calcula el conjunto H (conjunto homológico) a medida que se añaden píxeles negros a la imagen.

19 ALGORITMO INCREMENTAL

20 ÁRBOL RECUBRIDOR Se trata de un subgrafo sin ciclos que permite interconectar todos los vértices.

21 NUESTRA APORTACIÓN

22 ¿Qué transformaciones aplicamos y en qué orden?

23 NUESTRA APORTACIÓN Φ(15) = (0 1), (1 2), (2 3), (3 7), (7 11), (11 15) Φ(14) = (0 4), (4 8), (8 12), (12 13), (13 14) …

24 NUESTRA APORTACIÓN Φ(15) = (0 1), (1 2), (2 3), (3 7), (7 11), (11 15) Φ(14) = (0 4), (4 8), (8 12), (12 13), (13 14) … Árbol 0-1

25 NUESTRA APORTACIÓN Φ(10, 11) = ((6 7) (6 10) (7 11) (10 11)), ((2 3) (2 6) (3 7) (6 7)) Φ(8, 9) = ((4 5) (4 8) (5 9) (8 9)), ((0 1) (0 4) (1 5) (4 5)) … Árbol 1-2: 2 posibles recorridos Árbol 1-2

26 NUESTRA APORTACIÓN Resultado Árbol 0-1 por cada componente conexa. Recorrido de árbol 1-2 que termine en 1-Celda indica agujero.

27 NUESTRA APORTACIÓN Además: Φ(9) = (5 9) Φ(13) = (8 12), (5 8), (12 13)

28 NUESTRA APORTACIÓN Influencia de la entrada en el árbol resultante Estudios previos Tiempo de ejecución Pero influye en el árbol Puede tener aplicaciones prácticas Usamos varios recorridos: Éstandar, Espiral, Éstandar Inverso, Zig-Zag Horizontal, Zig-Zag Horizontal Inverso, Zig-Zag Vertical, Punto Creciente y Centro de Masas

29 NUESTRA APORTACIÓN Ejemplos Recorrido Éstandar

30 NUESTRA APORTACIÓN Ejemplos Recorrido Espiral

31 NUESTRA APORTACIÓN Ejemplos Recorrido Punto Creciente Cero Celda Inicial: 0

32 NUESTRA APORTACIÓN Pasamos a lo más importante: Algoritmo Incremental Homología Árbol recubridor ?

33 NUESTRA APORTACIÓN Motivación Algoritmo IncrementalO (n 3 ) Algoritmo de árboles recubridores Orden lineal Árboles recubridores tienen más funcionalidad

34 NUESTRA APORTACIÓN

35 PROBLEMAS ABIERTOS Generalización a 3D Profundizar en el uso práctico de la influencia de los recorridos Profundización en el estudio del uso de árboles recubridores para Homología Árboles a partir de Homología

36 APLICACIONES Método de Elementos Finitos Robótica Sistemas CAD/CAM

37 CONCLUSIONES Relación entre Árboles recubridores y Homología Uso de cualquier algoritmo de Árboles recubridores para obtener Homología (menor complejidad, mayor versatilidad). ¿Por qué no tratar de obtener los árboles recubridores a partir de la Homología?

38 BIBLIOGRAFÍA González Díaz, Rocío, Medrano, Belén, Sánchez Peláez, Javier, Real, Pedro, “Simplicial Perturbation Techniques and Effective Homology”. In CASC 2006. Vol LNSC 4194, pp. 166-177. González Díaz, Rocío, Jiménez, Mª José, Medrano, Belén, Molina-Abril, Helena, Real, Pedro, “Integral Operators for Computing Homology Generators at any Dimension”. Real, Pedro, Molina-Abril, Helena, “Cell AT-Models for Digital Volumes”. 7th IAPR -TC-15 GbR 2009, May 26-28 2009, Venice (Italy). Real, P., Molina-Abril, H. and Kropatsch W., “Homological tree-based strategies for image analysis”.

39 APLICACIÓN