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1 Coordenadas rectangulares en el plano Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que llamaremos eje x y eje y El punto de intersección 0 se llama.

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1 1 Coordenadas rectangulares en el plano Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que llamaremos eje x y eje y El punto de intersección 0 se llama origen de coordenadas. II I III IV 0 El plano queda dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes

2 2 Representación de los números sobre cada eje

3 3 Coordenadas de un punto A un punto P del plano le asociamos dos números de la siguiente manera Decimos que P tiene coordenadas (Q,R) La primera se llama abscisa y la segunda ordenada de P. Recíprocamente, dado un par de números (Q,R) hay un número P del plano del cual son las coordenadas.

4 4 Ejemplo Representación de los puntos P=(1/2,1) y P´=(-3,2)

5 5 Ejemplo 2 Conjunto de puntos P=(x,y) cuyas coordenadas verifican x>2 e y -1 A={(x,y) : x>2 ; y -1} Representación

6 6 Ejercicio 1 Representar en el plano los siguientes pares ordenados y decir a qué cuadrante pertenecen (2, -1) ; (-1/2,3) ; (5/3, -2) ; (-1, -2)

7 7 Ejercicio 2 A.¿Qué signo tienen las coordenadas de un punto del segundo (respectivamente cuarto) cuadrante? B.Sombrear la parte del plano que corresponde a los puntos de abscisa negativa. C.Sombrear la parte del plano cuya abscisa es positiva y cuya ordenada es negativa.

8 8 Ejercicio 3 A.Representar el triángulo de vértices A=(0,0), B=(3,0) y C=(2,3) y evaluar su área. B.Hacer lo mismo para A=(1,0), B=1,3) y C=(0,1)

9 9 Ejercicio 4: Representar gráficamente A = { (x,y) : x > 1 } B = { (x,y) : y 0 } C = { (x,y) : x. y = 0 } D = { (x,y) : 1 x 2, y > 0 } E = { (x,y) : x = y } F = { (x,y) : x. y < 0 }

10 10 Ejercicio 5 Definir mediante condiciones los siguientes subconjuntos del plano

11 11 Ejercicio 5 (cont) Definir mediante condiciones los siguientes subconjuntos del plano

12 12 Rectas en el plano Ejemplo : El conjunto de ptos.de plano de abscisa 3. L = { (x,y) : x = 3 }

13 13 Rectas en el plano Ejemplo : El conjunto de puntos cuya abscisa coincide con la ordenada. L = { (x,y) : x = y }

14 14 Rectas en el plano Ejemplo : La recta horizontal (paralela al eje x) que pasa por P 0 =(1,2) L = { (x,y) : y = 2 }

15 15 Rectas en el plano Sea L la recta que pasa por P 1 =(1,2) y P 2 =(3,5) Operando 2y – 3x = 1

16 16 Ecuación de la recta Si L es vertical, tiene ecuación x=c L = { (x,y) : x = c } Si L es horizontal, tiene ecuación y=c L = { (x,y) : y = c }

17 17 Ecuación de la recta Si L no es ni horizontal ni vertical y pasa por los puntos P 1 =(a 1,b 1 ), P 2 =(a 2,b 2 ) tiene ecuación que operando se escribe de la forma Ax + By = C

18 18 Ejercicio 7 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados: A.(2,3) ; (4,5) B.(5,-1) ; (-5,-1) C.(½, ½) ; (0,0) D.(1,-1) ; (-1,1)

19 19 Ejercicio 8 Sea L la recta que pasa por P 1 =(-1, 0), P 2 =(5, 1) a)Hallar la ecuación de L y comprobarla. b)Mostrar otros dos puntos de L. c)¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a L? Q 1 = (3, ½ ) ; Q 2 = (10,2) ; Q 3 = (-7, -1)

20 20 Ejercicio 9 Hallar el valor de k para el cual los puntos (-1,2) ; (3,1) ; (2, -k+1) están alineados

21 21 Ecuación de la recta Dada una ecuación de la forma Ax + By = C {A 0 o B 0} veremos que los puntos P=(x,y) que la verifican forman una recta.

22 22 Ecuación de la recta Dada una ecuación de la forma Ax + By = C CASO 1 : A = 0, la ecuación se escribe es una recta horizontal

23 23 Ecuación de la recta Dada una ecuación de la forma Ax + By = C CASO 2 : B = 0, la ecuación se escribe es una recta vertical

24 24 Ecuación de la recta CASO 3 : A 0 y B 0 La ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 = (0, a) y P 2 = ( 1, a+b) es Los puntos que verifican esta ecuación forman la recta que pasa por P 1 y P 2.

25 25 Ejemplo Si queremos representar en el plano el conjunto de puntos {(x,y) : 2x – y = -1} Sabemos que se trata de una recta determinada por dos puntos. Ej : P 1 = (0,1) ; P 2 = (1,3)

26 26 Ejercicio 10 Representar gráficamente A) 5x + y = 3 B) x – 2 = 0 C) 4x – 3y = 6 D) y = 0

27 27 Posición Relativa de dos rectas Transversales ParalelasCoincidentes

28 28 Sistema de Ecuaciones Dadas dos rectas, cada una de ellas está representada por una ecuación lineal. Los puntos de intersección deben verificar ambas ecuaciones A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2

29 29 Sistema de Ecuaciones Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución. Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución. Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

30 30 Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 2x – y = -1 L 2 : x – y = 2 El sistema admite una única solución Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

31 31 Ejemplo 1

32 32 Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 2x – y = – 3 L 2 : – 6x + 3y = – 6 Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos un sistema equivalente 6x – 3y = – 9 6x – 3y = – 6 Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

33 33 Ejemplo 2

34 34 Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L 1 : 4x – 8y = -12 L 2 : – x + 2y = 3 Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

35 35 Distancia entre dos puntos del plano Dados dos puntos del plano P1 y P2 Podemos calcular la distancia entre ellos por el teorema de Pitágoras

36 36 Ejemplo Calcular la distancia entre P 1 =(3,2) y P 2 =(1,-4)


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