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1.Introducción al cálculo integral Gustavo Rocha 2006-1.

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1 1.Introducción al cálculo integral Gustavo Rocha

2 DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS Cada curso ANALOGÍA un platillo

3 MATEMÁTICAS EQUIVALENCIAS DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS INGENIERÍA

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7 MATEMÁTICAS CON SABOR A INGENIERÍA

8 DEL APRENDIZAJE DE NUESTROS ALUMNOS ¡OTLA VEZ ALOZ!

9 La juventud prefiere ser estimulada que instruida Johann Wolfgang Von Goethe

10 MISIÓN Y OBJETIVOS MISIÓN: Habilitar a nuestros alumnos para que sean capaces de hacer ingeniería, para que transformando los elementos de la naturaleza, puedan elevar el nivel de bienestar del ser humano. OBJETIVO TELEOLÓGICO (FIN): Que los alumnos sean capaces de enfrentar y resolver problemas de esta índole. OBJETIVO INSTRUMENTAL (MEDIO): Que los alumnos adquieran un vasto dominio de las ciencias básicas, para aplicar este conocimiento a la solución de tales problemas.

11 Uno de los males que caracterizan a nuestro tiempo es la claridad de los medios y la vaguedad de los objetivos. Se debiera tener firmeza en los objetivos y flexibilidad en los medios Albert Einstein

12 El fin principal de la educación, no es el conocimiento, sino la acción" Herbert Spencer Filósofo y sociólogo inglés

13 GABRIELA MISTRAL...todo el desorden del mundo viene de los oficios y las profesiones mal o mediocremente servidos: político mediocre, educador mediocre, médico mediocre, sacerdote mediocre, artesano mediocre, esas son nuestras calamidades verdaderas"

14 LA DIALÉCTICA DEL INGENIERO TeóricoPráctico VerdaderoÚtil ExactoOportuno AnalíticoArtístico DeductivoImaginativo RacionalIntuitivo CorrectoCreativo CientíficoSistémico

15 Entre lo teórico y lo práctico Entre lo teórico y lo práctico Entre lo verdadero y lo útil Entre lo verdadero y lo útil Entre lo exacto y lo oportuno Entre lo exacto y lo oportuno Entre lo analítico y lo artístico Entre lo analítico y lo artístico Entre lo científico y lo sistémico Entre lo científico y lo sistémico Entre lo deductivo y lo imaginativo Entre lo deductivo y lo imaginativo Entre lo racional y lo intuitivo Entre lo racional y lo intuitivo Entre lo correcto y lo creativo Entre lo correcto y lo creativo Entre lo teórico y lo práctico Entre lo teórico y lo práctico Entre lo verdadero y lo útil Entre lo verdadero y lo útil Entre lo exacto y lo oportuno Entre lo exacto y lo oportuno Entre lo analítico y lo artístico Entre lo analítico y lo artístico Entre lo científico y lo sistémico Entre lo científico y lo sistémico Entre lo deductivo y lo imaginativo Entre lo deductivo y lo imaginativo Entre lo racional y lo intuitivo Entre lo racional y lo intuitivo Entre lo correcto y lo creativo Entre lo correcto y lo creativo LA DIALÉCTICA DEL INGENIERO

16 DOS HEMISFERIOS TeóricoVerdaderoExactoAnalíticoCientíficoDeductivoRacionalCorrectoPrácticoÚtilOportunoArtísticoSistémicoImaginativoIntuitivoCreativo INGENIERO

17 Control de la mano derecha Habilidad científica LOCALIZACIÓN DE LAS CAPACIDADES EN LOS HEMISFERIOS CEREBRALES

18 SOCIO- EMOCIONAL LÓGICO- MATEMÁTICA CORPORAL INTRA- PERSONAL MUSICAL ESPACIAL LINGÜÍSTICA E = m·c² Howard Gardner

19 SOCIO- EMOCIONAL LÓGICO- MATEMÁTICA CORPORAL INTRA- PERSONAL MUSICAL ESPACIAL LINGÜÍSTICA Howard Gardner

20 ... no es posible separar los aspectos cognitivos, emocionales y sociales... Jean Piaget

21 En el mejor de los casos, el coeficiente de inteligencia contribuye con alrededor de un 20 por ciento en los factores que determinan el éxito en la vida, lo cual deja el 80 por ciento restante a otras fuerzas, fuerzas que se agrupan como inteligencia emocional. En el mejor de los casos, el coeficiente de inteligencia contribuye con alrededor de un 20 por ciento en los factores que determinan el éxito en la vida, lo cual deja el 80 por ciento restante a otras fuerzas, fuerzas que se agrupan como inteligencia emocional.

22 Objetivos de aprendizaje Para un estudiante de ingeniería, el aprendizaje del cálculo es un medio para aprender a resolver problemas reales, para aprender a ser ingeniero: –Adquiriendo destrezas y/o habilidades mentales La disciplina que estimula las habilidades del pensamiento. El lenguaje para modelar la solución de algunos problemas. La fluida manipulación del herramental matemático. –Descubriendo por si mismo Comprender la naturaleza de las situaciones. Actuando en consecuencia.

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24 Extensión superficial Extensión profunda Amplitud Necesaria y Suficiente Profundidad Necesaria y Suficiente CANTIDAD CALIDAD

25 Es más fácil desintegrar un átomo que un pre-concepto Albert Einstein

26 El problema no es nunca el como obtener pensamientos nuevos e innovadores en tu cabeza, sino como librarte de los viejos Dee Hock Fundador de VISA

27 Los exámenes escolares están basados en el principio de que toda pregunta tiene una respuesta correcta. … El enfoque de la respuesta correcta queda enraizada profundamente en nuestro pensamiento. … La vida es ambigua; existen muchas respuestas correctas, todo depende de lo que se esté buscando. Pero si piensa que solo existe una respuesta correcta, entonces dejará de buscar en cuanto encuentre una Los exámenes escolares están basados en el principio de que toda pregunta tiene una respuesta correcta. … El enfoque de la respuesta correcta queda enraizada profundamente en nuestro pensamiento. … La vida es ambigua; existen muchas respuestas correctas, todo depende de lo que se esté buscando. Pero si piensa que solo existe una respuesta correcta, entonces dejará de buscar en cuanto encuentre una La Revolución del Aprendizaje Gordon Dryden & Jeannete Vos

28 ¿De dónde vienen las buenas nuevas ideas? !Eso es sencillo! De las diferencias. La creatividad viene de yuxtaposiciones improbables. La mejor manera de aprovechar las diferencias es mezclar edades, culturas y disciplinas. Nicholas Negroponte Media lab MIT

29 Siddhartha, Hermann Hesse... Tú lo aprenderás, pero no de mí sino del río. Él fue mi maestro, y será el tuyo. Todo lo sabe el río, todo lo puede enseñar, todo.

30 ... El río está simultáneamente por doquier: en su fuente y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en el rápido, en el mar y en la montaña; en todas partes al mismo tiempo y no hay en él la menor partícula de pasado o la más breve idea de tiempo venidero, sino solamente el presente Siddhartha, Hermann Hesse

31 No es que no nos atrevamos porque las cosas son difíciles; es que las cosas son difíciles porque no nos atrevemos. Séneca De la brevedad de la vida

32 El peligro más grande en la vida es no arriesgar nada; la persona que no arriesga, no hace nada, no tiene nada, es nada. Séneca De la brevedad de la vida

33 ¿Cuál es la diferencia entre los trabajadores japoneses y los mexicanos? Creo que el trabajador mexicano es mucho mas hábil, pero las relaciones entre los obreros y la empresa son muy deficientes; parece que esto se deriva de la religión. En esencia, los dos pueblos son iguales: les gustan las peregrinaciones, las tamboras, los amuletos, los cuetes, etc., pero los mexicanos van a los templos a pedir y a esperar, mientras que los japoneses vamos a ofrecer. Los sindicatos mexicanos presentan pliego de peticiones y los sindicatos japoneses presentamos pliego de ofrecimientos, !Pequeña gran diferencia! CARLOS KASUGA OSAKA Director General de Yakult, S. A. de C. V.

34 Hacer pensar a los demás en vez de pensar por ellos es función trascendental de un buen formador". Horst Wein Profesor alemán

35 La función de un verdadero maestro es hacer que entre en acción la inteligencia del alumno Jiddu Krishnamurti

36 El cultivo de la inteligencia Sin cultivar la inteligencia, aprender una técnica e impartir esa técnica es absolutamente vano. No es aprendiendo técnicas que hemos de ser ingenieros, ingeniosos y creativos. Las técnicas nos impiden, nos limitan, nos hace pasar por alto la capacidad de descubrir por nosotros mismos. Teniendo todos los instrumentos del descubrimiento, ¿por qué nada encontramos directamente? La técnica es lo que destruye la creatividad (lo cual no significa que no debamos tener una técnica). La creatividad no es para unos pocos, ni es el don de los menos; es para todo aquel que consagre su mente y su corazón en la plena investigación del problema. El cultivo de la inteligencia le ayudará al alumno a habérselas con los problemas de la vida.

37 El alumno requiere de guía, de ayuda, pero si el que brinda la ayuda es incapaz y estrecho, es lógico que su producto sea lo que él es. El maestro necesita mucho más que el alumno que se le eduque. La educación sólo puede ser transformada educando al educador. Y educar al maestro es mucho más difícil que educar al joven, porque el maestro ya está formado, estático y condicionado. Si el maestro no hace sino impartir la instrucción y transmitir información, ni siquiera se da cuenta de que, en realidad, no le interesa el proceso del pensamiento y el cultivo de la inteligencia, y ha dejado de ser un verdadero educador. La función del educador consiste en crear nuevos valores, no en reducirse a implantar valores existentes en la mente del alumno, lo cual no hace sino condicionarlo sin despertar su inteligencia. El educador ha de consagrar todo su pensamiento, todo su esmero, todo su afecto, a crear el ambiente apropiado y la atmósfera conveniente para el cultivo de la inteligencia. Educando al educador

38 Reeducando al educador Requerimos reeducar al educador para que aprenda a estar abierto a aprender y a reaprender, dando con ello el ejemplo requerido a los discípulos. Requerimos adaptarnos a la modernidad a través de la incorporación intensiva de nuevas tecnologías de aprendizaje. Requerimos de un cambio de enfoque del personal docente, para adoptar el papel de facilitador del proceso de aprendizaje, en vez del erudito poseedor y transmisor de toda la información hacia el alumno, como pretende ser ahora, todavía.

39 La verdadera educación es la comprensión del educando tal como es y no tal como debiera ser. Si lo coloca en el armazón de un ideal, lo fuerza a seguir determinado modelo, le convenga o no; y el resultado es que el alumno o está siempre en contradicción con el ideal, o se adapta de tal modo al ideal que deja de ser él y actúa como simple autómata sin inteligencia. Cuando el educador lo considera, lo respeta, lo observa y le da la libertad para ser lo que es él, entonces lo guía, lo ayuda, no a llegar al ideal, sino a lo que es él. Hacer todo eso lleva mucho tiempo, exige paciencia, cuidado y cariño. Cuando en el educador no hay amor, requiere de un ideal y el educando ha de someterse a él. Un ideal resulta un real estorbo para la comprensión del alumno. Comprendiendo al educando

40 La función educativa consiste en producir individuos integrados, que sean capaces de habérselas con la vida inteligentemente, totalmente, no parcialmente. El individuo no puede ser integrado si sólo se guía por una norma idealista de acción. Cuando el maestro persigue un ideal, es incapaz de comprender al alumno, porque entonces el futuro, el ideal, resulta más importante que el alumno, que es el presente. Y el sacrificio del presente por el ideal del futuro no se justifica. Educar a partir de un ideal es como producir automóviles; se tiene el diseño y se hace pasar al muchacho por el molde, con el resultado de que creamos seres humanos que son meros técnicos, que no tienen relación humana con los demás y sólo campean por si mismos, por su propio beneficio. La formación integral

41 Un cambio de enfoque Basta ya de la pura exposición en el pizarrón, buscando con ello enseñar, cuando existen ya medios mucho más efectivos para aprender. Basta ya de evaluaciones arbitrarias, diseñadas para reprobar al alumno, con exámenes muy duros, generalmente departamentales, cuyos pobres resultados corroboran, una vez más, lo difícil que es la ingeniería, y, por supuesto, lo tontos o irresponsables que son los alumnos

42 Usted debe ser el cambio que desea ver en el mundo.Usted debe ser el cambio que desea ver en el mundo. Gandhi

43 El propósito del curso será estrictamente de carácter formativo: disciplina mental, que estimula el desarrollo de algunas habilidades del pensamiento. Encontraremos, juntos, los elementos para evaluar objetivamente si tal propósito se logra y en qué medida. Los contenidos informativos, serán aprendidos, no para aprobar cada examen, sino para apropiarse de lo esencial, del conocimiento fundamental para comprender y aprender a plenitud los temas de las asignaturas de ciencias básicas y ciencias de la ingeniería. Habrá que garantizar el dominio de los conceptos matemáticos fundamentales, para que la asimilación promedio, a mediano y largo plazos, sea significativa, para que esos conceptos se les quedan almacenadas en la memoria e impregnadas en las células de por vida, para ser usadas siempre, cuando lo requieran. Las destrezas en la manipulación matemática serán adquiridas a través de la ejecución de muchos ejercicios. ESTE CURSO DE CÁLCULO II

44 Se dará mucho énfasis a las aplicaciones, haciendo referencia a problemas reales; la destreza en la manipulación del herramental matemático fuera de contexto, en abstracto, no tendrá ninguna relevancia. El estudiante sabrá, con el temario, cuál será la cobertura del curso; y con el libro de texto, sabrá cuáles los capítulos y secciones que deberá estudiar y dominar, los alcances teóricos, tecnológicos y de aplicación, y el tipo de ejercicios que deberá aprender a resolver. Los temas fundamentales y la distinción de lo esencial de cada tema, serán puntualizados por el profesor, en clase. Aún cuando el curso tiene alta carga temática, cada uno de los temas será tratado a profundidad y con la pausa que resulte necesaria para el grueso del grupo.

45 El secreto de ser aburrido es decirlo todo" Voltaire

46 El alumno tendrá grandes posibilidades de aprendizaje por descubrimiento, pues el profesor actuará como facilitador en el proceso de aprendizaje, reforzando, respondiendo y orientando, y no asumirá el papel tradicional de transmisor único de toda la información hacia el alumno. Para garantizar su éxito en este curso, el alumno será el responsable de su propio aprendizaje, aplicado, autosuficiente y esforzado, como actor principal del proceso educativo. Únicamente haremos algunas definiciones formales y solo los teoremas más importantes serán demostrados con rigor. Exploraremos varias técnicas y métodos para resolver un mismo tipo de problema, aunque no para mecanizarlos, sino para compararlos entre si, e inducir al alumno a distinguir diferencias entre ellos y a descubrir otras posibilidades. ESTE CURSO DE CÁLCULO II

47 Impulsaremos el uso intensivo de material didáctico en Internet. Buscaremos aprender a manejar una calculadora graficadora y a usar algún paquete matemático, pues ambos realizan las operaciones aritméticas necesarias, con toda precisión, exactitud y a la mayor velocidad. Aprenderemos a formular problemas sencillos de ingeniería, a modelarlos matemáticamente, a interpretar correctamente los resultados de la solución y a ser capaces de darnos cuenta si tales resultados pueden corresponder o no a la realidad vivida. Buscaremos estimular a los alumnos para que se enamoren del modelado matemático y así, continúen estudiando ingeniería, induciéndolos a que, como futuros ingenieros, se habitúen a recurrir a las matemáticas, en cada estudio que emprendan. ESTE CURSO DE CÁLCULO II

48 La utilidad del cálculo El cálculo estudia algunos conceptos específicos tales como la tangente, la pendiente, el área, el volumen, la longitud de arco, la curvatura, todos ellos esenciales en ingeniería, de los que se derivan un sinnúmero de distinciones aún más importantes para el ingeniero, que explican el funcionamiento del universo y sus componentes. Es importante distinguir la diferencia entre estudiar matemáticas abstractas, lo que seguramente debe tener su encanto, para los científicos puros, y estudiar matemáticas para resolver problemas reales, que es el cometido de los ingenieros. El cálculo no es la excepción, especialmente porque su desarrollo se ha derivado de las necesidades del ser humano, de intentar comprender el cosmos y el caos. El cálculo es la matemática del movimiento, del cambio, de la velocidad y de la aceleración, del flujo, de la rotación y la traslación, del incremento y la disminución, desde una perspectiva dinámica, es decir, como la película de la ocurrencia de cada fenómeno. Otras ramas de las matemáticas, aunque también hacen o llegan a hacer referencia a esos mismos elementos, lo hacen desde un punto de vista estático, como tomando una foto instantánea del fenómeno.

49 ARITMÉTICA LA GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL CONTEXTO DE LAS MATEMÁTICAS Y LA INGENIERÍA ÁLGEBRA GEOMETRÍA TRIGONOMETRÍA GEOMETRÍA ANALÍTICA CÁLCULO MATEMÁTICAS SUPERIORES INGENIERÍA

50 Repaso histórico 1. Antigüedad: contaban con piedrecillas; en latín, calculus significa piedrecilla. 2. Egipcios y babilonios: generaron procedimientos prácticos de cálculo, relativamente evolucionados, en agrimensura, metrología y astronomía. 3. Griegos. Integraron las reglas empíricas en un sistema teórico, pero su sistema de numeración lo limitaba al uso de regla y compás. 4. Siglo XVI: Los árabes introdujeron a Europa la numeración india en plena expansión cultural renacentista, se desarrollaron el álgebra simbólica y los logaritmos. 5. Siglo XVII: Descartes creó la geometría analítica, que permitió el cálculo numérico exacto, sentando las bases del cálculo infinitesimal, creado por Newton y Leibniz, y origen del análisis matemático moderno. 6. Siglo XX: El cálculo numérico y los métodos de cálculo aproximado han recibido un nuevo impulso, soportados ahora por poderosos equipos y programas de cómputo.

51 Antecedentes del cálculo El cálculo integral tiene, al menos, unos 2,500 años de historia –Ya en el siglo VI a.C., Tales de Mileto y Pitágoras de Samos se percataron de la importancia del estudio de los números, para poder entender el mundo. –Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, considerándolos formados por un numero infinito de secciones de grosor infinitesimal. –Eudoxo y Arquímedes utilizaron el método del agotamiento para encontrar el área del círculo. –Hipócrates de Cos descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna, limitadas con arcos circulares, son iguales a la de ciertos triángulos. –Euclides dejó plasmado en los 13 libros que componen sus Elementos la mayor parte de los conocimientos matemáticos existentes en finales del siglo IV AC.

52 Antecedentes del cálculo El cálculo diferencial es, al menos 2,000 años más joven que el integral, pues se inicia apenas en el siglo XVII. –John Napier descubrió los logaritmos. –Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales. –Rene Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes. –Fermat y Barrow intuyeron que el cálculo diferencial y el integral estaban relacionados. –Newton y Leibniz demostraron que el cálculo integral es el inverso del diferencial.

53 El Cálculo El estudio de las pendientes de las tangentes -las derivadas- permite calcular las razones de cambio instantáneo de un fenómeno. Cálculo diferencial. El estudio de las áreas bajo la curva -las integrales- permite describir la forma en que se acumulan estos cambios instantáneos para producir las funciones. Cálculo integral. El cálculo infinitesimal es la unión del cálculo diferencial con el cálculo integral y ha sido el logro más poderoso del ser humano en el camino para comprender el funcionamiento del universo. El cálculo es la rama de las matemáticas dedicada a estudiar el cambio y el movimiento, tratando con cantidades que se aproximan a otras cantidades –los límites-. Límite, derivada e integral son los tres conceptos fundamental del cálculo.

54 APLICACIONES DEL CÁLCULO Explicar el movimiento de los planetas Calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales Predecir los tamaños de poblaciones Establecer la rapidez con que se elevan los precios Pronosticar los cambios meteorológicos Medir el flujo cardíaco Calcular las primas de seguros Calcular el rendimiento de una inversión Determinar la distancia del aeropuerto en que ha de iniciarse el descenso Determinar la cantidad de combustible que se ha fugado de un tanque en un período determinado Calcular la cantidad de gasolina que queda en un tanque de forma irregular, a partir de la medición del nivel con flotador

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