Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica

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1 Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica
Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas Curso propedéutico, Física moderna 2008

2 Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semana 3 3. Principios de mecánica cuántica. 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética. 3.3.- Aspectos ondulatorios de la materia: onda de de’Broglie, difracción electrónica, microscopía electrónica. 3.4.- Principio de incertidumbre. 3.5.- Conceptos de mecánica cuántica, ecuación de Schrödinger. 3.6.- Resultados sencillos: Partícula en un pozo, barreras de potencial, etc. Curso propedéutico, Física moderna 2008

3 3.1.-radiación de cuerpo negro
Estado de la física a finales del siglo XIX: Las leyes de la mecánica estaban establecidas de manera formal y Rigurosa por Hamilton y Laplace b) La teoría de calor estaba sólidamente establecida desde 1822 con los Trabajos de Fourier d) Maxwell había establecido ya sus celebradas ecuaciones que explicaban La familia de fenómenos de la electrodinámica. Este acopio de herramientas físicas crearon en la comunidad de físicos La sensación de que no habría problema físico que no pudiera atacarse De manera analítica y rigurosa…. Curso propedéutico, Física moderna 2008

4 3.1.-radiación de cuerpo negro
Radiación de cuerpo negro: Cómo empezó todo Los cuerpos que nos rodean emiten radiación en distintas frecuencias y con Distintas intensidades. A la distribución de intensidades como función de la Frecuencia a temperatura constante de un cuerpo se le conoce como distribución Espectral. El problema de derivar la forma funcional de la distribución espectral ( o radiación De cuerpo negro se antojó como un problema importante que seguramente podría Explicarse con la poderosa maquinaria física con la que se contaba en esos tiempos Veamos con detalle el problema: Curso propedéutico, Física moderna 2008

5 3.1.-radiación de cuerpo negro
Radiación de cuerpo negro: Cómo empezó todo Los cuerpos que nos rodean emiten radiación en distintas frecuencias y con Distintas intensidades. A la distribución de intensidades como función de la Frecuencia a temperatura constante de un cuerpo se le conoce como distribución Espectral. El problema de derivar la forma funcional de la distribución espectral ( o radiación De cuerpo negro se antojó como un problema importante que seguramente podría Explicarse con la poderosa maquinaria física con la que se contaba en esos tiempos Veamos con detalle el problema: Curso propedéutico, Física moderna 2008

6 3.1.- Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética
Idealización de un cuerpo negro: aquel que absorbe con eficiencia 1 todas las longitudes de onda de la radiación que recibe, y radia con igual eficiencia todas las longitudes de onda Un horno con un pequeño agujero es un buen Cuerpo negro. Para el siglo 19 se tenía una idea experimental bastante clara de cual era la distribución espectral de emisión De un cuerpo a una temperatura dada, T, en equilibrio. Curso propedéutico, Física moderna 2008

7 3.1.-radiación de cuerpo negro
Para el siglo 19 se tenía una idea experimental bastante clara de cual era la distribución espectral de emisión De un cuerpo a una temperatura dada, T ( esto se puede obtener experimentalmente usando espectrómetros ópticos: Curso propedéutico, Física moderna 2008

8 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Experimentalmente se sabía que: La potencia total radiada ( área bajo la curva) de el espectro de cuerpo Negro obedecía la ley de de radiación de Steffan Por pura ociosidad, calculen la potencia total que disipan un cuerpo humano con 1.5 m2 d área y 306 grados kelvin R: alrededor de 745 watts !! En este cuarto estamos disipando alrededor de 7500 watts de potencia! Curso propedéutico, Física moderna 2008

9 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Otro aspecto interesante e incluso intuitivo es que los cuerpos más Calientes emiten luz más azul o violeta ( Ley de desplazamiento de Wien) En particular: hfmax=2.82kT Un modelo mecanicista de la materia permite representar a un cuerpo negro Como un conjunto de osciladores armónicos acoplados, que pueden absorber Y emitir radiación a sus frecuencias caracterísiticas

10 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Un modelo mecanicista de la materia permite representar a un cuerpo negro Como una cavidad en la que se encuentran presentes varias ondas estacionarias de distintas frecuencias, limitadas por las condiciones de frontera, y que Intercambian energía con el material del cuerpo negro, que puede idealizarse como Un conjunto de osciladores armónicos: Corte de ondas estacionarias en nuestra caja. Estas ondas están presentes en los 3 planos. Curso propedéutico, Física moderna 2008

11 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Un modelo mecanicista de la materia permite representar a un cuerpo negro Como una cavidad en la que se encuentran presentes varias ondas estacionarias de distintas frecuencias, limitadas por las condiciones de frontera: Es relativamente sencillo de ver ( ver apéndice 1 en las notas) que el número de modos normales de vibración en un intervalo de frecuencias centrado en f y de ancho df es. : V es el volumen del cuerp negro, f la frecuencia y c la velocidad de la luz. Curso propedéutico, Física moderna 2008

12 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Dado que ese es el número de grados de libertad en un cuerpo, y dado que a cada grado de libertad está asociado, por el teorema de equipartición de la energía una unidad de energía kt ( con k la constante de boltzmann) El problema de la fórmula anterior es que , a frecuencias mayores de oscilación Se pueden acomodar más grados de libertad. Esto implica a su vez que el cuerpo negro debería emitir cantidades crecientes De energía a longitudes de onda crecientes, lo cual no se observa. Curso propedéutico, Física moderna 2008

13 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Dado que ese es el número de grados de libertad en un cuerpo, y dado que a cada grado de libertad se le puede asociar por el teorema de equipartición de la energía una unidad de energía kt ( con k la constante de boltzmann) El problema de la fórmula anterior es que , a frecuencias mayores de oscilación Se pueden acomodar más grados de libertad. Esto implica a su vez que el cuerpo negro debería emitir cantidades crecientes De energía a longitudes de onda crecientes, lo cual no se observa. Curso propedéutico, Física moderna 2008

14 3.1.- Aspectos ondulatorios de la materia:
Es decir, la poderosa herramienta disponible en el siglo XIX no era capaz de Predecir el espectro de emisión de un carbón caliente. El gozo se fue al pozo…. Curso propedéutico, Física moderna 2008

15 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Como resultado de las incongruencias entre lo que predecían las sacrosantas leyes de la física tal y como se conocían y la realidad experimental, se tuvo la Necesidad de reevaluar toda la física tal y como se conocía. Esto no ocurrió de la noche a la mañana. El primer paso importante, sin embargo Se dio cuando Planck quizo remendar el análisis de emisión de cuerpo negro Postulando lo siguiente: “para excitar con energía E modos de vibración de frecuencias f , es necesario emplear energía proporcionalmente creciente a la cavidad. En otras palabras: E= h f donde h era una constante que podía extraerse del ajuste experimental de la curva de cuerpo negro. Curso propedéutico, Física moderna 2008

16 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Como resultado de las incongruencias entre lo que predecían las sacrosantas leyes de la física tal y como se conocían y la realidad experimental, se tuvo la Necesidad de reevaluar toda la física tal y como se conocía. Esto no ocurrió de la noche a la mañana. El primer paso importante, sin embargo Se dio cuando Planck quizo remendar el análisis de emisión de cuerpo negro Postulando lo siguiente: “para excitar con energía E modos de vibración de frecuencias f , es necesario emplear energía proporcionalmente creciente a la cavidad. 1) En otras palabras: E= h f donde h era una constante que podía extraerse del ajuste experimental de la curva de cuerpo negro. 2) Más aún, para evitarse divergencias en la energía, sugirió que los osciladores Que componían la cavidad no podían absorber un continuo de energías, sino Valores discretos ( Es más fácil hacer converger una sumatoria infinita que una Integral infinita) Curso propedéutico, Física moderna 2008

17 3.1.- Radiación de cuerpo negro y fotón
Históricamente se sabe que Planck planteó ( sin ningun modelo) la célebre Ecuación de cuerpo negro: Posteriormente a esto, justificó plenamente la fórmula emplenado el postulado De que a frecuencias mayores corresponde mayor energía. Planck murió creyendo que su postulado era un parche poco elegante a las Elegantes teorías clásicas y que más tarde se descubriría la manera apropiada De explicar lo observado empleando las leyes clásicas. Paradójicamente el iniciador de la mecánica cuántica nunca creyó en ella. Curso propedéutico, Física moderna 2008

18 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
El resto de la plática consistirá en contarles el resto del derrumbe de la Bellísima catedral de la mecánica clásica, y el surgimiento de una estructura Abstracta y extraña llamada mecánica cuántica. Uno de las predicciones más dramáticas de la teoría electromagnética De Maxwell fue la de la propagación de la luz en el vacío. Debido a esto, y puesto que estaba de moda, los experimentales Trataron de idear modos de detectar la luz. Curso propedéutico, Física moderna 2008

19 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
El resto de la plática consistirá en contarles el resto del derrumbe de la Bellísima catedral de la mecánica clásica, y el surgimiento de una estructura Abstracta y extraña llamada mecánica cuántica. Uno de las predicciones más dramáticas de la teoría electromagnética De Maxwell fue la de la propagación de la luz en el vacío. Debido a esto, y puesto que estaba de moda, los experimentales Trataron de idear modos de detectar la luz. Curso propedéutico, Física moderna 2008

20 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
La primera prueba exitosa de la detección de ondas correspondió a Hertz Que, empleando el circuito descrito abajo fue el primer ser humano en Producir y detectar ondas electromagnéticas. Curso propedéutico, Física moderna 2008

21 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
En una serie célebre de experimentos deteminó que la radiación podía ser Enfocada, polarzada , reflejada y refractada. Pero descubrió algo más: Citando directamente a Hertz: (el emisor es A, el receptor B): "I occasionally enclosed the spark B in a dark case so as to more easily make the observations; and in so doing I observed that the maximum spark-length became decidedly smaller in the case than it was before. On removing in succession the various parts of the case, it was seen that the only portion of it which exercised this prejudicial effect was that which screened the spark B from the spark A. The partition on that side exhibited this effect, not only when it was in the immediate neighbourhood of the spark B, but also when it was interposed at greater distances from B between A and B. A phenomenon so remarkable called for closer investigation. Curso propedéutico, Física moderna 2008

22 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
La cosa que requería “ a closer examination” era ni más ni menos que el efecto fotoeléctrico. La detección en el anillo “B” (ahora sabemos) se mejoraba debido al efecto fotoelectrico inducido en el anillo B por la radiación UV emitida en la chispa inicial Del anillo A. La observación de Hertz inició una serie de experimentos , entre ellos los de El físico aleman Wilhelm Hallwachs, en Dresden, que descargaba electrodos de placa iluminandolos con luz UV. Curso propedéutico, Física moderna 2008

23 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
El tipo de experimentos que llevados a cabo por Hertz y Hallwachs abrieron El camino para el trabajo de J.J. Thompson, quien descubrió que lo que se desprendía De los electrodos con la luz UV eran electrones. En 1902 el Físico Húngaro Germano Phillipe Lenard ( premio nobel y al mismo Tiempo admirador de la doctrina Nazi) realizó el siguiente experimento: Curso propedéutico, Física moderna 2008

24 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
Lenard tenía la capacidad de variar la longitud de onda de su fuente, y descubrió Que el potencial de retardo necesario para inhibir la corriente en su arreglo era Proporcional NO a la intensidad de la luz, como sugería Maxwell sino que dependía De la frecuencia. A mayor frecuencia, mayor energía. . ¿Les suena conocida la frase. ? Curso propedéutico, Física moderna 2008

25 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
La explicación del efecto fotoeléctrico cayó en Einstein, quien ganó el Premio Nobel simplemente afirmando que. 1.- Los electrones son desprendidos por una partícula que denominó fotón y que carga consigo una energía proporcional a su energía, con una constante h. 2.- que los electrones eran desprendidos con una energía que era igual a la energía de sus fotones y una cantidad, dependiente del material del que Estuviesen hechos los electrodos, denominada “función de trabajo”. E = hf - W La propuesta de Eistein trató de ser violenta y tenazmente rebatida por el físico Norteamericano Robert Millikan, quien solo logro corroborar la explicación de Eistein y de paso ganarse el premio nobel Entre otras cosas Millikan midió h con una precisión de 0.5% Curso propedéutico, Física moderna 2008

26 3.2.- . Aspectos corpusculares de la radiación electromagnética.
Resumiendo: el experimento de Einstein probó que la luz consiste en partículas que llevan consigo una energía proporcional a su frecuencia, que poseen momento ( otro ejemplo de esto es el efecto Compton) Sin embargo… ( naturaleza ondulatoria de la luz. ) Curso propedéutico, Física moderna 2008

27 3.2.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
El fenómeno de la difracción de la luz, debido a la interferencia de ondas coherentes es una característica fundamental de las ondas. Punto de Poisson Poisson dedujo esto. Arago Lo comprobó experimentalmente Un ejemplo dramático del efecto de la interferencia lo proporciona la difracción de Una onda plana al incidir contra un círculo sólido ¿alguien ha visto el patrón de Interferencia de una moneda? Curso propedéutico, Física moderna 2008

28 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
El fenómeno de la difracción de la luz, debido a la interferencia de ondas coherentes es una característica fundamental de las ondas. Punto de Poisson Poisson dedujo esto. Arago Lo comprobó experimentalmente Un ejemplo dramático del efecto de la interferencia lo proporciona la difracción de Una onda plana al incidir contra un círculo sólido ¿alguien ha visto el patrón de Interferencia de una moneda? Curso propedéutico, Física moderna 2008

29 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
La historia de la tesis de doctorado que ganó un premio Nobel Recherches sur la théorie des quanta Éste es el título de la tesis doctoral que, en 1922 Luis de Broglie presentó En la Sorbonne, en Paris. El argumento más importante en su tesis fue que, “se puede asociar a cualquier cuerpo material una onda que es inversamente Proporcional al momento del cuerpo. “ Curso propedéutico, Física moderna 2008

30 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
A Luis de Broglié ciertamente no se le ocurrió la idea de la nada. Su hipóteis Estaba motivada por los trabajos de Planck, Einstein y Bohr. Si recordamos de relatividad las relaciones de momentum, y recordamos la Fórmula de Eistein, relacionada con el efecto fotoeléctrico, podemos acercarnos a la manera en la que, probablemente de Broglie tuvo la inspiración para Proponer su hipótesis: Curso propedéutico, Física moderna 2008

31 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
Lo impactante de la hipótesis de de Broglie es que, 3 años después de Publicar su tesis doctoral, en los laboratorios Bell, y motivados por la hipótesis De de Broglie, Clinton Davisson y Lester Germer hicieron un experimento Impresionante (iniciado por accidende, no explícitamente buscando probar a de Broglie Phys. Rev. 30, 705 (issue of December 1927) Curso propedéutico, Física moderna 2008

32 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
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33 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
Curso propedéutico, Física moderna 2008

34 3.3.- . Aspectos Ondulatorios de la radiación electromagnética.
Los máximos de intensidad de dispersión de electrones sólo pudo explicarse apelando a la Difracción de Bragg, y considerando que los electrones tenían una longitud de onda asociada. Curso propedéutico, Física moderna 2008

35 Curso propedéutico, Física moderna 2008
Mecánica cuántica. Sumario: Radiación de cuerpo negro: La mecánica clásica no puede predecirlo Efecto fotoeléctrico: las ecuaciones de Maxwell no pueden predecirlo e indica que el fotón tiene naturaleza corpuscular Ondas de de Broglie: La materia presenta naturaleza ondulatoria Todo lo anterior indicaba que hacía falta un nuevo paradigma científico y Motivó el origen de la mecánica cuántica. Principio de Incertidumbre Partícula en un pozo Curso propedéutico, Física moderna 2008

36 3.5 Notas finales 1.- Las soluciones de la tarea anterior están ya en la red, puden revisarlas para ver en donde fallaron. 2.- La tarea 3 estará en la red a partir de las 5 de la tarde. Bájenla, imprímanla y deberán entregarla sin falta al Dr Trujillo, de acuerdo al calendario al inicio de la próxima clase. 3.- Al inicio de la próxima clase se hace examen diagnóstico De este tema. Asegúrense de hacer los problemas de la tarea. El Examen será a ese nivel.