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1 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) Probabilidad Condicional Probabilidad Total Teorema de Bayes.

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2 1 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) Probabilidad Condicional Probabilidad Total Teorema de Bayes

3 2 [...] Quiero decir, para empezar: ¿a quién le importa si saco una bola blanca o una bola negra de una urna? Y segundo: si tan preocupado estás por el color de la bola que sacas, no lo dejes en manos del azar: ¡mira en la maldita urna y saca la bola del color que quieras! Stephanie Plum, después (suponemos) de pasar por un curso de probabilidad y estadística. Probabilidad condicional

4 3 Cuatro tipos de probabilidad Marginal La probabilidad de que ocurra X Unión La probabilidad de que ocurra X o Y Conjunta La probabilidad de que ocurra X e Y Condicional La probabilidad de que ocurra X sabiendo que ha ocurrido Y Y X Y X Y X

5 4 Lanzamos dos dados, uno rojo y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3? x x

6 5 Supongamos que hemos lanzado ya el dado rojo y ha salido un 1. ¿Cuál es ahora la probabilidad de que sumen 3? x

7 6 sexoedad B.RH18 C.CM19 C.GH19 G.PM20 M.PM21 J.LH20 L.A.M21 N.DM21 V.CH22 V.F.H19 L.L.H18 J.N.M21 J.P.M21 U.PM18 Sucesos A = ser hombre (H) B = edad 20 AAcAc B BcBc Probabilidades P(A) = /14 = 0.43 P(B) = 6/14 = 0.43 P(A B) = 4/14 = 0.29 P(A B) = 6/14 + 6/14 - 4/14 = = 0.57 P(A B) = 4/6 = 0.67 P(A) + P(B) - P(A B)

8 7 Intuir la probabilidad condicional A P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A B) = 0,10 A ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=1 P(A|B)=0,8 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A B) = 0,08 B B

9 8 Intuir la probabilidad condicional A B A B ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,05 P(A|B)=0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A B) = 0

10 9 Intuir la probabilidad condicional Interpretación frecuencial :

11 10 Probabilidad condicional Espacio probabilístico A,B F P(B) 0 Probabilidad de un suceso A sabiendo que se ha producido un suceso B:

12 11 Probabilidad condicional Es una auténtica probabilidad (tres axiomas): (1) No negatividad: 0 P(A/B) (2) Normalización: P( ) = P( )/ P( ) =1 (3) Aditividad:P(A C / B) = P(A/B) + P(C/B) si A C = Ø incompatibles (excluyentes) (donde Ø es el conjunto vacío)

13 12 Probabilidad condicional: Propiedades Una vez A ha ocurrido, ya es seguro: Cuando A y B son excluyentes, una vez ha ocurrido A, B es imposible: Si B A => P(A / B) = 1

14 13 Espacio restringido Negro Color Palo Rojo Total As 224 No-As Total ¿Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja? ¿Y la probabilidad de que una carta escogida al azar sea roja sabiendo que es un as?

15 14 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) (Probabilidad Condicional) Probabilidad Total Teorema de Bayes Teorema de la multiplicación

16 15 Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A3A3 A4A4 Se trata de una colección de sucesos A 1, A 2, A 3, A 4 … tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A1A1 A2A2 Divide y vencerás: Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. B = (B A 1 ) U (B A 2 ) U ( B A 3 ) U ( B A 4 )

17 16 Partición de un espacio muestral A3A3 A4A4 A1A1 A2A2 B = (B A 1 ) U (B A 2 ) U ( B A 3 ) U ( B A 4 ) Espacio probabilístico ligado a un espacio muestral A 1, A 2, A 3, A n F {A 1, A 2, A 3, A n } es una partición de si y solo si: B

18 17 Teorema de la probabilidad total A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma: P(B) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) + P( B A 3 ) + P( B A 4 ) P(B) = P(B|A 1 )P(A 1 ) + P(B|A 2 )P(A 2 ) + P(B|A 3 )P(A 3 ) + P(B|A 4 )P(A 4 )

19 18 Espacio probabilístico Si A 1, A 2,...,A n son una partición de, es decir que los sucesos son mútuamente excluyentes entre sí (A i A j = para todo par) y su unión es entonces; para cualquier suceso B F Teorema de la probabilidad total A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B

20 19 Demostración Teorema de la probabilidad total A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B

21 20 Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son hombres. De ellos el 10% son fumadores. El 20% de las mujeres son fumadoras. ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? Mujeres Hombres Fumadores Podemos aplicar la ley de la probabilidad total: Hombres y mujeres forman un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos.

22 21 Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 Mujer P(F) = P(FH) + P(FM) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,13

23 22 Ejemplo: Un sistema de transmisión puede enviar mensajes de una letra A,B ó C, codificadas en binario. Los mensajes no son equiprobables P(A) = 1/2 P(B)=1/4 P(C)=1/4 Códigos de las letras: A -> bit b 1, b 2, b 3 B -> b 4, b 5, b 6 C -> b 7, b 8, b 9 Calcular la probabilidad de que escogiendo un símbolo (biT) al azar de un mensaje sea un 1

24 23 Ejemplo: Un sistema de transmisión puede enviar mensajes de una letra A,B ó C, codificadas en P(A) = 1/2 P(B)=1/4 P(C)=1/4 A -> bit b 1, b 2, b 3 B -> b 4, b 5, b 6 C -> b 7, b 8, b 9 b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6, b 7, b 8, b 9 Partición de {A,B,B} A={b 1, b 2, b 3 }, B={b 4, b 5, b 6 }, C={b 7, b 8, b 9 } S={escoger un 1}={b 1, b 4, b 5, b 7, b 8, b 9 } P(S/A)=1/3 P(S/B)=2/3 P(S/C)=1 P(S)=P(S/A)P(A)+P(S/B)P(B)+P(S/C)P(C)= 7/12

25 24 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) (Probabilidad Condicional) (Probabilidad Total) Teorema de Bayes Teorema de la multiplicación

26 25 Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es: "Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".

27 26 Teorema de Bayes A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los n componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada A i, (i = 1, 2,..., n): donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

28 27 Teorema de Bayes A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 B Espacio probabilístico { A 1, A 2,...,A n }partición de, B F

29 28 Teorema de Bayes

30 29 Ejemplo: Un sistema de transmisión puede enviar mensajes de una letra A,B ó C, codificadas en P(A) = 1/2 P(B)=1/4 P(C)=1/4 P(S)=P(S/A)P(A)+P(S/B)P(B)+P(S/C)P(C)= 7/12 Si se obtiene un 1 ¿Cuál es el mensaje que con mayor probabilidad se ha enviado?

31 30 Ejemplo: Un sistema de transmisión puede enviar mensajes de una letra A,B ó C, codificadas en P(A) = 3/5 P(B)=1/3 P(C)=1/15 P(S)=P(S/A)P(A)+P(S/B)P(B)+P(S/C)P(C)= 22/45 Si se obtiene un 1 ¿Cuál es el mensaje que con mayor probabilidad se ha enviado?

32 31 P(M) = 0,3, P(F) = 0,13 P(M|F) = P(F M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0,46 Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0,7 0,1 0,2 0,3 0,8 0,9 Mujer En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

33 32 Ejemplo: Pruebas diagnósticas Las pruebas o tests de diagnóstico se evalúan con anterioridad sobre dos grupos de individuos: sanos y enfermos. De modo frecuentista se estima: –Sensibilidad (verdaderos +) = Tasa de acierto sobre enfermos. –Especificidad (verdaderos -) = Tasa de acierto sobre sanos. A partir de lo anterior y usando el teorema de Bayes, podemos calcular las probabilidades a posteriori (en función de los resultados del test) de los llamados índices predictivos: –P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo –P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo

34 33 La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad (la tasa de aciertos sobre enfermos) es de 0,3 y la especificidad (tasa de aciertos sobre sanos) de 0,99. Calcular los índices predictivos ( P(Enfermo | Test +) = Índice predictivo positivo y P(Sano | Test -) = Índice predictivo negativo). Individuo Enfermo Sano T- T+ T- T+ 0, ,99 = 0, ,3 = 0,7 0,99 0, ,2 = 0,8

35 34 Los índices predictivos son: la probabilidad de que, sabiendo que el test sea positivo, el paciente sea diabético y la probabilidad de que, sabiendo que el test es negativo, el paciente está sano. Individuo Enfermo Sano T- T+ T- T+ 0,3 0,01 0,7 0,99 0,2 0,8

36 35 Individuo Enfermo Sano T- T+ T- T+ 0,3 0,01 0,7 0,99 0,2 0,8

37 36 Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad. A continuación se le pasa una prueba diagnóstica que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no. En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. –Nuestra opinión a priori ha sido modificada por el resultado de un experimento. -¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo? - En principio un 20%. Le haremos unas pruebas. - Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es del 88%.

38 37 La probabilidad de que una mujer con edad comprendida entre los tenga cáncer de mama es 0.8%. Si una mujer tiene cáncer de mama, la probabilidad de positivo en test = 90%. Si una mujer no tiene cáncer de mama, la probabilidad de positivo en test = 7%. Supongamos que una paciente da positivo en un test. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga cáncer de mama? 1000 mujeres 8: enfermas 992: no enfermas 7: positivos 1: negativo 69: positivos 923: negativos p(enferma | positivo) = 7 / (7+69) = 0.09

39 38 En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde? (b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde? (c) ¿Y azul? Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2).

40 39

41 40 Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

42 41 Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:

43 42 Supongamos que la incidencia del consumo de drogas en la población es del 5%. Hacemos una prueba de drogas, que tiene una fiabilidad del 95%, a un sujeto escogido al azar y el resultado es positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma drogas?

44 43 The Monty Hall Problem Lets Make a Deal fue un famoso concurso en las décadas de la televisión de EEUU presentado por Monty Hall y Carol Merril.

45 44 ¡Bienvenidos al show de Monty Hall! Detrás de una de estas puertas hay un coche. Y detrás de las dos restantes hay una cabra.

46 45 ABC Elijo la puerta A Nuestro concursante seleccionará una puerta...

47 46 A BC PUERTA SELECCIONADA C Monty Hall (que conoce dónde está el coche) abre la puerta C. Ahora sabemos que el coche está o bien en A o bien en B. Monty Hall nos permite cambiar de elección si queremos … ¿Es más probable ganar el coche si cambiamos de puerta? (En este caso de A a B).

48 47 B C A A C CA B B C A B C A B C A Si el concursante CAMBIA su elección original PierdeGana Pierde Gana

49 48 Si el concursante CAMBIA su elección original gana 6 veces de las 9: su probabilidad de ganar es 6/9 = 2/3. Si no cambia, su probabilidad de ganar es de 3/9 = 1/3. ¡Tiene el doble de posibilidades de ganar si cambia de puerta! Pierde Gana Pierde Gana Juega y compruébalo estadísticamente en

50 49 Existe una manera intuitiva de comprender este resultado anti-intuitivo: Cuando elijo la puerta, en promedio, dos de cada tres veces detrás de la puerta habrá una cabra. O sea, la mayor parte de las veces habré elegido una puerta con cabra. Después Monthy me enseña una puerta con cabra. Así que es razonable cambiar mi elección previa...

51 50 En el problema de Monthy Hall, si nosotros escogemos la puerta A y Monthy abre la puerta B, por ejemplo, la pregunta que nos estamos haciendo es: ¿Cuál es la probabilidad de ganar si cambio a la puerta C, teniendo la información adicional de que el coche no está en la B? Lo dejamos como ejercicio. Podemos probar este resultado sin hacer una lista de todos los casos. Usando la noción de probabilidad condicional & Bayes. Recuerda que la probabilidad condicional nos muestra cómo la ocurrencia de un suceso afecta a la probabilidad de otro.

52 51 Probabilidad Conjunta y Condicional (Probabilidad Conjunta) (Probabilidad Condicional) (Probabilidad Total) (Teorema de Bayes) Teorema de la multiplicación

53 52 Teorema de la Multiplicación Uso con hipótesis de dependecia sólo de los n sucesos anteriores en n-gramáticas: Ejemplo: bi-gramática –Análisis de Texto –Reconocimiento de habla –Cadenas ADN

54 53 Sucesos Independientes

55 54 Los sucesos A y B serán independientes si la ocurrencia de B no influye en la probabilidad de A y al revés. Es decir, si: Independencia Como: Entonces:

56 55 Cuando se da la independencia...simplifica mucho.. No confundir sucesos independientes A B Ø con disjuntos o excluyentes A B = Ø Es condición necesaria y suficiente, luego puede servir como prueba de independencia Discusión: Independencia física e Independencia matemática Relaciones causa-efecto – Redes Bayesianas Independencia

57 56 Vamos a verificar la independencia de los dados. Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1. Independencia Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A = que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C?

58 57 Vamos a verificar la independencia de los dados. Sea A = dado rojo sale 1 y B = dado blanco sale 1. Independencia Sea C = suma de los dos dados es 3. ¿Afecta A = que el dado rojo salga 1 a la probabilidad de C?

59 58 Independencia de m sucesos Similarmente, m sucesos A 1...., A m se llaman independientes si: P(A 1... A m ) = P(A 1 )... · P(A m ) y además para cada posible subconjunto de k sucesos: P(A j+1... A j+k ) = P(A j+1 )... · P(A j+k ) donde j+k < m. De modo que, p. ej. tres sucesos A, B y C son independientes si: P(A B) = P(A) P(B) P(B C) = P(B) P(C) P(A B) = P(A) P(B) P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

60 59 Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo. Consideremos los sucesos: A: Primera bola no-roja B: Segunda bola no-roja P(A) = 7/10 Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda elección es idéntica que para la primera, y P(B) = 7/10. Los sucesos son independientes y la respuesta es: P(A B) = P(A) P(B) = = 0.49 Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas. Así: P(B|A) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es: P(A B) = P(A)P(B|A) = (7/10) (2/3) 0.47

61 60 Experimentos compuestos (combinados)

62 61 Experimentos compuestos (combinados) 1 Lanzamiento de un dado y observación de la puntuación Espacio muestral P 1 ({i})=1/6 1=< i =<6 2 Lanzamiento de una moneda y observación del resultado C,X P 2 ({C})= P 2 ({X})= 1/2 1=< i =<6 Probabilidad de 1 en el dado y C en la moneda = 1/6 * 1/2 = 1/12 x C),(1,X),(2,C),(2,X)......(6,C),(6,X) Ligado a 1 x 2 : realización de 1 y 2 {cara}={(1,C),(2,C)...(6,C)} = x {C} P({cara})= P 2 ({C}) {uno} = {(1,C),(1,X)}={1} x P({uno})= P 1 ({1})

63 62 Experimentos compuestos (combinados) Formalización: Experimento Producto espacio probabilístico ligado a 1 espacio probabilístico ligado a 2 = 1 x 2 : realizar 1 y 2 espacio probabilístico ligado a x 2 ={( i j i j AxB F A F 1 y B F 2 F contiene, además, todos los sucesos que puedan formarse mediante operaciones de unión, intersección o sean contrarios de los AxB

64 63 Experimentos compuestos (combinados) Ejemplo = {1,2} = {a,b,c} x 2 = {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)} {(1,a),(1,b),(2,a)} AxB con A F 1 y B F 2 P(Ax 2 ) = P 1 (A) P( xB) = P 2 (B) No es posible especificar las probabilidaders de todos los sucesos del álgebra F

65 64 Experimentos compuestos (combinados) Experimentos INDEPENDIENTES 1 y 2 son independientes si y sólo si A x y B x son independientes A F 1 y B F 2 P[(A x B x P[(A x P[(B x P (A P (B) Generalización Dados n experimentos: ligado a i i=1,2.....n = 1 x 2 x x n realización de todos los experimentos x 2 x n A 1 x A A n F A i F i i =1,2.....n Si los i son independientes: P(A 1 x A A n ) P (A 1 P (A 2 P n (A n

66 65 Experimento Suma espacio probabilístico ligado a 1 espacio probabilístico ligado a 2 = : realizar 1 ó 2 espacio probabilístico ligado a (+) 2 A B F A F 1 y B F 2, P( i ) probabilidad de realizar i i =1, 2 Para i =1, 2 A i F i P(A i / i )=P i (A i ) En F P(A i )= P(A i / i ) P( i )=P i (A i ) P( i ) A F A = A ( 2 )= A (A 2 )=A A A 2 F 1 y A 2 F 2 A A P(A)= P(A 1 )+P(A 2 ) Para determinar P es suficiente conocer, P 1, P 2, P( 1 ) y P( 2 )

67 66 Ensayos de Bernoulli

68 67 Ensayos de Bernoulli (I) Experimentos en el que se realizan varias pruebas y en cada prueba sólo son posibles dos resultados: Lanzar una moneda Ganar o Perder Detectar o No-Detectar un blanco Radar, sensor, evento, mensaje, alarma,... Acertar o Equivocarse: diagnóstico médico, reconocimiento de habla, locutor Estableceremos: Repetiremos el experimento N veces –en las misma condiciones-, suponiendo que los sucesos elementales son estadísticamente independientes.

69 68 Ensayos de Bernoulli (II) Repetimos el experimento N veces : sucesos independientes.

70 69 Recordar.... Probabilidad clásica (III-cont) A pesar de los inconvenientes la Regla de Laplace puede ser muy útil para asignar probabilidades a los sucesos (ajuste del modelo) Si no se cumple que los sucesos elementales sean equiprobables: Definir un experimento aleatorio ficticio añadiendo aspectos quizás no observables Pero: para manejarse en este espacio mayor (quizás) con elementos equiprobables es necesario saber contar -> Combinatoria

71 70 Saber Contar Regla de Laplace (Definición clásica) Ejemplo: Espacio muestral discreto y finito, con n sucesos simples: ¿cúantos subconjuntos (sucesos compuestos?) pueden formarse?

72 71 Principio multiplicativo (ilustración gráfica) El primer elemento puede escogerse de dos formas distintas: a 1 y a 2. El segundo de tres maneras distintas: b 1, b 2 y b 3. El tercer elemento puede escogerse en dos modos distintos: c 1 y c 2. El total de posibilidades será: = 12 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 c1c1 c2c2 b1b1 b2b2 b3b3 b1b1 b3b3 b2b2 a1a1 a2a2

73 72 = {a,b,c} Espacio muestral discreto y finito, con n=3 sucesos simples Sucesos compuestos: Principio multiplicativo El total de subconjuntos posibles será: = 8 para n elementos : 2 n b no-b a no_a b no-b c no-c c c c {a,b,c} {a,b} {a,c} {a} {b,c} {b} {c} {Ø}

74 73 Alfabeto Braille ¿Cuántos símbolos distintos pueden representarse?

75 74 La combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden organizarse de una determinada forma. Introducción a la combinatoria Ian Anderson Combinatoria El arte de contar

76 75 Combinatoria-I (simple) Número de formas de colocar n objetos distintos en una fila de r posiciones (...o extraer r elementos de un conjunto de n objetos) Ejemplo: colocar tres objetos {a,b,c} (n=3) en r=2 posiciones Permutaciones/Variaciones: El orden importa ab es distinto a ba Combinaciones: El orden no importa ab se considera igual a ba Tanto las Permutación, Variaciones como las Combinaciones pueden o no considerar la repetición (o reposición) de los objetos o elementos: aa bb Permutaciones/Variaciones/Combinaciones con/sin repetición

77 76 Combinatoria-II (simple) Variaciones: El orden importa Variaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden. Para escoger el primer elemento hay (n) posibilidades, para el segundo (n-1),.... para el elemento r (n-r+1) = n(n-1).....(n-r+1) {a,b,c} escoger r=2 de n=3 {ab,ba,ac,ca,bc,cb} 3!/(3-2)!=6 {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ba,ac,ca,bc,cb,aa,bb,cc} 3 2 =9 Variaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden, y pudiendo repetirse. Ahora hay n posibilidades para escoger cada uno de los r elementos

78 77 Combinatoria-III (simple) Permutaciones sin repetición (recordad 0! = 1): Permutaciones con repetición: {a,b,c} Permutaciones sin repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba} 3!=6 {a,b,c} Permutaciones con repetición {abc,acb,bac,bca,cab,cba,aaa,bbb,ccc,aab,aba,baa,aac,aca,caa,bba,bab,abb,bbc,bcb,cbb,cca,cac,acc,ccb,cbc,bcc} 3 3 =27 Permutaciones con n=r : (Permutaciones/Variaciones)

79 78 Combinatoria-IV (simple) Combinaciones: El orden no importa Combinaciones sin repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden {a,b,c} escoger r=2 de n=3 –sin que importe el orden- {ab,ac,bc} 3!/2!(3-2)!=3 En las Combinaciones, al no importar el orden, el número de Variaciones se reduce en un factor igual al número de ordenaciones de los r elementos:

80 79 Combinatoria-V (simple) Combinaciones: El orden no importa {a,b,c} r=2 de n=3 con repetición {ab,ac,bc,aa,bb,cc} 4!/(2!.2!)=6 Combinaciones con repetición: escoger r elementos distintos de entre un total de n sin que importe el orden, y pudiendo repetirse.

81 80 Ejemplos

82 81 Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? (Sucesos equiprobables) Nº casos posibles: El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen n n maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n accidentes en n días, un accidente cada día....

83 82 Si se producen aleatoriamente n accidentes de coche en n días, ¿cuál es la probabilidad de que cada día se produzca un accidente? Para siete accidentes de tráfico en una semana: p(7) = 7! / 7 7 = (anti-intuitivamente baja) Nº casos posibles: n n El accidente 1 puede ocurrir en n posibles días. El accidente 2 en n días, idem el 3, etc... De modo que existen n n maneras posibles de que sucedan n accidentes en n días (casos posibles). Nº casos favorables: Número de formas de colocar n bolas en n celdas, una bola por celda.... Permutaciones sin repetición de n-elementos tomados de n en n: n!

84 83 ¿Cuál es el número de posibles ordenaciones de una baraja de póker de 52 cartas? El resultado es 52!, que es aproximadamente 8 × Observa que a partir de una simple baraja obtenemos un número enorme, superior, por ejemplo, al cuadrado del número de Avogadro: 6,02 × Explosión combinatoria Nota: 0! = 1

85 84 Fórmula de Stirling La demostración de la fórmula de Stirling puede encontrarse en la mayoría de textos de análisis. Vamos a verificar la bondad de la aproximación usando el programa StirlingApproximations, queStirlingApproximations imprime: (a) n!, (b) la aproximación de Stirling y (c) el cociente de ambos valores. Observemos como ese cociente se acerca a 1 a medida que n crece. Se dice entonces que la aproximación es asintótica. A veces, al resolver un problema de combinatoria, es mejor encontrar una aproximación asintótica formada por funciones cuyo comportamiento es fácil de comprender que la solución exacta, cuyo comportamiento escapa a nuestra intuición. James Stirling presentó su fórmula en Methodus Differentialis publicado en 1730.

86 85 Un ascensor sube con 7 pasajeros y se detiene al cabo de 10 pisos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos pasajeros no bajen en el mismo piso? (Supongamos que todas las posibles maneras de descender son igualmente probables). Casos posibles: VR 10,7 = 10 7 Casos favorables: V 10,7 = n objetos : 10 pisos escogidos de 7 en 7 El orden importa – Variaciones Favorables: Dos no en el mismo piso -> no repetición

87 86 Algunas Propiedades El binomio de Newton (a + b) 2 = (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aa, ab, ba, bb. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. (a + b) 3 = (a + b) (a + b) (a + b). Todos los posibles productos son: aaa, aab, aba, baa, abb, bab, bba, bbb. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. C(4,0) = 1; C(4,1) = 4; C(4,2) = 6; C(4,3) = 4; C(4,4) = 1

88 87 Teorema del binomio Demostrar:

89 88 Ejemplo de Peyton & Peebles...paso a la variable aleatoria.... Probabilidad 0 de suceso posible y 1 de uno que puede no darse.....

90 89

91 90

92 91

93 92

94 93

95 94

96 95

97 96 Problemas propuestos

98 97

99 98

100 99

101 100

102 101 Problemas resueltos

103 102

104 103

105 104

106 105

107 106

108 107

109 108 2/ Se lanza una moneda si sale cara se saca una canica de la caja I que contiene 3 rojas y 2 azules, si sale cruz se saca una canica de la caja II que contiene 2 rojas y 8 azules. a) Determinar la probabilidad de que se saque una canica roja. b) Habiendo sacado bola roja, ¿cuál es la probabilidad de que haya salido cara? Caja I Caja II a) b)

110 109 8/ Un ladrón es perseguido por un coche de policía y al llegar a un determinado cruce se encuentra tres posibles calles por las que huir (A, B y C), de tal manera que las dos ultimas son tan estrechas que por ellas no cabe el coche de policía, de lo cual el ladrón no se da cuenta Si huye por la calle A le atrapan seguro puesto que la final de la misma hay otra patrulla de policía. Si huye por la calle C se escapa seguro puesto que no está vigilada. Si huye por la calle B se encontrará que esta se bifurca en dos callejuelas: la BA, que conduce a A y la BC que conduce a C- a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ladrón sea atrapado? b) Sabiendo que escapó, ¿cuál es la probabilidad de que huyera por la C entrando por la B y llegando a C por la callejuela BC? Ladrón A B C Policía BA BC Policía Vía libre ABCABC BA BC a) Atrapado Escapa

111 110 b)

112 111

113 112

114 113

115 114

116 115

117 116

118 117

119 118 Sean tres urnas con las siguientes posiciones de bolas blancas y negras: U1: (3 blancas y 2 negras) U2: (4 blancas y 2 negras) U3: (1 blanca y 4 negras) Calcúlese: a)Probabilidad de extraer bola blanca b)Probabilidad de que una bola negra que se ha extraído proceda de la segunda urna. SOLUCIÓN: a)Suponemos que las tres urnas son equiprobables: P(U1) = P(U2) = P(U3) = 1/3. Por el teorema de la probabilidad total: P(blanca) = P(blanca/U1) P(U1) + P(blanca/U2) P(U2) + P(blanca/U3) P(U3) = 3/5 x 1/3+ 4/6 x 1/3 +1/5 x 1/3 = 22/45 = 0,48888 b) P (U2/negra) = P (negra/ U2)P (U2)/P(negra) = = (P(negra/U2) P(U2)/(P(negra/U1)P(U1)+P(negra/ U2) P ( U2)+P(negra/U3) P/U3) = También se podría haber obtenido con la probabilidad del complementario: P (negra) = 1 – P (blanca) = 1 – 22/45 = 23/45


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