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1 4. Soluciones de ecuaciones lineales en series de potencias (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

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1 1 4. Soluciones de ecuaciones lineales en series de potencias (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2 2 Repaso de Series de Potencias Recuerda de cálculo que una serie de potencias en (x – a) es una serie de la forma Se dice que es una serie de potencias centrada en a.

3 3 La serie converge si existe el siguiente límite de las sumas parciales: Intervalo de convergencia Es el conjunto de números reales x o intervalo para los que la serie converge. Radio de convergencia Si R es el radio de convergencia, la serie de potencias converge para |x – a| R. Si R = 0 la serie converge solo para x = a. Y si la serie converge para todo x, entonces escribimos R =.

4 Ch5_4 Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. Es decir, la siguiente serie converge: Prueba de convergencia (criterio del cociente) Suponiendo c n 0 para todo n, y Si L 1, la serie diverge; y si L = 1, el criterio no es concluyente.

5 5 Función analítica en un punto Una función f(x) es analítica en un punto a, si se puede representar mediante una serie de potencias en (x – a) con un radio de convergencia positivo. Por ejemplo: Una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie, donde es continua, derivable e integrable:

6 6 Aritmética de series de potencias Las series de potencias se pueden combinar mediante operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

7 Ch5_7 Escribir como una sola serie de potencias (i.e., bajo el mismo sumatorio). Solución Primero, buscamos que ambos sumatorios comiencen por la misma potencia: Ahora cuando sustituimos el primer valor de n en ambos sumatorios, las series comienzan potencias x 1. Haciendo los cambios de índice k = n – 2 para la primera serie y k = n + 1 para la segunda serie:

8 8 Supongamos la ED lineal que podemos escribir como Se dice que un punto x 0 es un punto ordinario o regular de la ED si P(x) y Q(x) son analíticas en x 0 ; es decir si admiten desarrollos en serie de potencias alrededor de x 0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular. DEFINICIÓN Si P(x) y Q(x) son cocientes de polinomios: P(x) = a 1 (x)/a 2 (x), Q(x) = a 0 (x)/a 2 (x), entonces x = x 0 es un punto ordinario de nuestra ecuación simplemente si a 2 (x 0 ) 0.

9 9 Cada una de las dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias convergerá por lo menos dentro del intervalo definido por |x – x 0 | < R, donde R es la distancia desde x 0 hasta el punto singular más próximo de la EDO. Si x = x 0 es un punto ordinario o regular, siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en x 0 : TEOREMA Existencia de soluciones en series de potencias Soluciones respecto a puntos ordinarios

10 10 Resolver Solución No tenemos puntos singulares. Podemos buscar solución en serie alrededor de cualquier punto porque todos son regulares. En particular, lo haremos para x = 0. y Sustituyendo en la ED obtenemos: P(x) = 0, Q(x) = x

11 11 Obtuvimos esta suma de series en el ejercicio anterior Para que la identidad se cumpla es necesario que todos los coeficientes sean cero: 2c 2 = 0; c 2 = 0 y Puesto que (k + 1)(k + 2) 0, obtenemos la siguiente relación de recurrencia:

12 12 Tomando valores de k y recordando que c 2 = 0: (....) Observa que todos los coeficientes dependen o de c 0, o de c 1. De hecho, si c 0 y c 1 no quedan indeterminados es que hemos metido la gamba en algún sitio.

13 13 Entonces las dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias son: Nuestra solución era:

14 14 Observa que si hacemos primero c 0 = 1 y c 1 = 0, (recordando que en este caso particular además c 2 = 0), obtenemos directamente los coeficientes del desarrollo de y 0 (x). Y haciendo c 0 = 0 y c 1 = 1, obtenemos directamente los coeficientes del desarrollo de y 1 (x). Repite el cálculo anterior desde el principio, utilizando esta estrategia. Hay una manera algo menos trabajosa de realizar el cálculo anterior para encontrar los coeficientes en la relación de recurrencia:

15 15 Si hacemos primero c 0 = 1 y c 1 = 0, (con c 2 = 0): (...)

16 16 Si hacemos ahora c 0 = 0 y c 1 = 1, obtenemos: (....)

17 17 Resolver Solución Puesto que x = 0, x = i, i son puntos singulares, la solución en serie de potencias centrada en 0 convergerá al menos para |x| < 1. Usando la solución en forma en serie de potencia de y, y e y:

18 18 Primero hacemos que todos los sumatorios comiencen por la potencia más alta, que en este caso es x 2, y separamos los términos "sobrantes": Ahora reindexamos:

19 19 De lo anterior, tenemos 2c 2 c 0 = 0, 6c 3 = 0, y Así que c 2 = c 0 /2, c 3 = 0, c k+2 = (1 – k)c k /(k + 2). Luego:

20 20... y así sucesivamente.

21 21 Si se busca una solución en serie de potencias y(x) centrada en cero para obtenemos c 2 = c 0 /2 y la siguiente relación de recurrencia: Examinando la fórmula se ve que c 3, c 4, c 5, … se expresan en términos de c 1 y c 2. Eligiendo primero c 0 0, c 1 = 0, tenemos: y

22 22 Ahora elegimos c 0 = 0, c 1 0, y entonces y así sucesivamente... Etc.

23 23 Finalmente, la solución será: y = c 0 y 0 + c 1 y 1, donde que convergen para todo x.

24 Ch5_24 Resolver Solución Observemos que en este caso Q(x) no es un polinómio. x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. Usando la serie de Maclaurin para cos x, y empleando como solución:

25 25 De ahí deducimos que c 2 = 1/2c 0, c 3 = 1/6c 1, c 4 = 1/12c 0, c 5 = 1/30c 1,…. Agrupando términos llegamos a la solución general y = c 0 y 1 + c 1 y 2, con radio de convergencia |x| < :

26 26 Soluciones respecto a puntos singulares Un punto singular x 0 de una ED lineal puede ser regular o irregular. La clasificación depende de Se dice que un punto singular x 0 es un punto singular regular si p(x) = (x – x 0 )P(x) y q(x) = (x – x 0 ) 2 Q(x) son analíticas en x 0, i.e. admiten desarrollos en series de potencias centradas en x 0. Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. DEFINICIÓN Puntos singulares regulares e irregulares

27 27 Coeficintes polinomiales Si (x – x 0 ) aparece a lo sumo a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x 0 es un punto singular regular. Para resolver la EDO la multiplicaremos en forma estándar por (x – x 0 ) 2 : donde p(x) = (x – x 0 )P(x) y q(x) = (x – x 0 ) 2 Q(x) son analíticas en x = x 0. Observa que de esta manera hemos "matado" las singularidades.

28 28 Ejemplo: observemos que x = 2, x = – 2 son puntos singulares de: (x 2 – 4) 2 y + 3(x – 2)y + 5y = 0 Entonces: Para x = 2, la potencia de (x – 2) en el denominador de P(x) es 1, y la potencia de (x – 2) en el denominador de Q(x) es 2. Así que x = 2 es un punto singular regular. Para x = 2, la potencia de (x + 2) en el denominador de P(x) y Q(x) es 2. Así que x = 2 es un punto singular irregular.

29 29 Si x = x 0 es un punto singular regular, entonces existe al menos una solución de la forma donde el número r es una constante por determinar. La serie converge al menos en algún intervalo 0 < x – x 0 < R. TEOREMA Teorema de Frobenius

30 30 Ejemplo del método de Frobenius Debido a que x = 0 es un punto singular regular de trataremos de hallar una solución en serie con:

31 31

32 32 Que implica: r(3r – 2)c 0 = 0 (k + r + 1)(3k + 3r + 1)c k+1 – c k = 0, k = 0, 1, 2, … Haciendo c 0 = 1, r(3r – 2) = 0. Entonces: r = 0, 2/3. Cada valor de r nos transforma la ecuación de recurrencia en: r 1 = 2/3, k = 0, 1, 2,… r 2 = 0, k = 0, 1, 2,…

33 Ch5_33 r 1 = 2/3, k = 0, 1, 2,… r 2 = 0, k = 0, 1, 2,…

34 34 Observa que los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c 0. Si se omite este término, haciéndolo igual a,1 tenemos: que convergen para |x| < y son linealmente independientes. Así que la solución es: y(x) = C 0 y 0 (x) + C 1 y 1 (x), 0 < x <

35 35 Ecuación indicial La ecuación r (3r – 2) c 0 = 0 se llama ecuación indicial, y los valores de r se llaman raíces indiciales. Recordemos que si x 0 = 0 es un punto singular regular, entonces p(x) = x P(x) y q(x) = x 2 Q(x) son analíticas en x 0 = 0. Sus desarrollos en serie de potencia son: p(x) = xP(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2 … q(x) = x 2 Q(x) = b 0 b 1 x b 2 x 2 … que serán válidos en intervalos con ciertos radios de convergancia.

36 36 Multiplicando por x 2, tenemos Después de sustituir p(x) = xP(x) = a 0 a 1 x a 2 x 2 … q(x) = x 2 Q(x) = b 0 b 1 x b 2 x 2 … en la EDO, obtendremos la ecuación indicial: r(r – 1) + a 0 r + b 0 = 0

37 Ch5_37 Resolver Solución Sea, entonces

38 38 r (2r – 1) = 0; r 1 = ½, r 2 = 0.

39 39

40 40 Así para r 1 = ½ y para r 2 = 0 Y la solución final es y(x) = C 1 y 1 + C 2 y 2.

41 41 Resolver Solución De xP = 0, x 2 Q = x, y el hecho de que 0 y x sean sus propias series de potencias centradas en 0, se concluye a 0 = 0, b 0 = 0. De modo que la ecuación indicial r(r – 1) + a 0 r + b 0 = 0, queda: r(r – 1) = 0, r 1 = 1, r 2 = 0. Comprueba que en este caso ambas raíces producen el mismo conjunto de coeficientes. En otras palabras, que sólo obtenemos una solución en serie

42 42 ¿Cómo obtener la segunda solución? Hay que distinguir tres casos: (1) Si r 1, r 2 son distintas y la diferencia r 1 - r 2 no es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma : (2) Si r 1 – r 2 = N, donde N es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma :

43 43 (3) Si r 1 = r 2, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma: Si ya conocemos una solución y 1, la segunda puede obtenerse de la siguiente manera Veamos un ejemplo.

44 44 Hallar la solución general de Solución Habíamos hallado una solución:

45 45 Que finalmente nos proporciona como solución: Para ver más ejemplos resueltos y detalles de esta última parte, consulta los apuntes de Jose Olarrea en Soluciones_series.pdf.


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