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4. Soluciones de ecuaciones lineales en series de potencias

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Presentación del tema: "4. Soluciones de ecuaciones lineales en series de potencias"— Transcripción de la presentación:

1 4. Soluciones de ecuaciones lineales en series de potencias
(© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) 1

2 Repaso de Series de Potencias Recuerda de cálculo que una serie de potencias en (x – a) es una serie de la forma Se dice que es una serie de potencias centrada en a.

3 La serie converge si existe el siguiente límite de las sumas parciales: Intervalo de convergencia Es el conjunto de números reales x o intervalo para los que la serie converge. Radio de convergencia Si R es el radio de convergencia, la serie de potencias converge para |x – a| < R y diverge para |x – a| > R. Si R = 0 la serie converge solo para x = a. Y si la serie converge para todo x, entonces escribimos R = ∞.

4 Convergencia absoluta Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias converge absolutamente. Es decir, la siguiente serie converge: Prueba de convergencia (criterio del cociente) Suponiendo cn  0 para todo n, y Si L < 1, la serie converge absolutamente; si L > 1, la serie diverge; y si L = 1, el criterio no es concluyente.

5 Una serie de potencias define una función cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie, donde es continua, derivable e integrable: Función analítica en un punto Una función f(x) es analítica en un punto a, si se puede representar mediante una serie de potencias en (x – a) con un radio de convergencia positivo. Por ejemplo:

6 Aritmética de series de potencias Las series de potencias se pueden combinar mediante operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

7 Escribir como una sola serie de potencias (i. e
Escribir como una sola serie de potencias (i.e., bajo el mismo sumatorio). Solución Primero, buscamos que ambos sumatorios comiencen por la misma potencia: Ahora cuando sustituimos el primer valor de n en ambos sumatorios, las series comienzan potencias x1. Haciendo los cambios de índice k = n – 2 para la primera serie y k = n + 1 para la segunda serie:

8 Supongamos la ED lineal que podemos escribir como
Se dice que un punto x0 es un punto ordinario o regular de la ED si P(x) y Q(x) son analíticas en x0; es decir si admiten desarrollos en serie de potencias alrededor de x0. Un punto que no es un punto ordinario es un punto singular. DEFINICIÓN Si P(x) y Q(x) son cocientes de polinomios: P(x) = a1(x)/a2(x), Q(x) = a0(x)/a2(x), entonces x = x0 es un punto ordinario de nuestra ecuación simplemente si a2(x0)  0.

9 Soluciones respecto a puntos ordinarios
Si x = x0 es un punto ordinario o regular, siempre es posible hallar dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas en x0: TEOREMA Existencia de soluciones en series de potencias Cada una de las dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias convergerá por lo menos dentro del intervalo definido por |x – x0| < R, donde R es la distancia desde x0 hasta el punto singular más próximo de la EDO.

10 Resolver Solución No tenemos puntos singulares. Podemos buscar solución en serie alrededor de cualquier punto porque todos son regulares. En particular, lo haremos para x = 0. y Sustituyendo en la ED obtenemos: P(x) = 0, Q(x) = x

11 Obtuvimos esta suma de series en el ejercicio anterior
Para que la identidad se cumpla es necesario que todos los coeficientes sean cero: 2c2 = 0; c2 = 0 y Puesto que (k + 1)(k + 2)  0, obtenemos la siguiente relación de recurrencia:

12 Tomando valores de k y recordando que c2 = 0:
(....) Observa que todos los coeficientes dependen o de c0, o de c1. De hecho, si c0 y c1 no quedan indeterminados es que hemos metido la gamba en algún sitio.

13 Nuestra solución era: Entonces las dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias son:

14 Hay una manera algo menos trabajosa de realizar el cálculo anterior para encontrar los coeficientes en la relación de recurrencia: Observa que si hacemos primero c0 = 1 y c1 = 0, (recordando que en este caso particular además c2 = 0), obtenemos directamente los coeficientes del desarrollo de y0(x). Y haciendo c0 = 0 y c1 = 1, obtenemos directamente los coeficientes del desarrollo de y1(x). Repite el cálculo anterior desde el principio, utilizando esta estrategia.

15 Si hacemos primero c0 = 1 y c1 = 0, (con c2 = 0):
(...)

16 Si hacemos ahora c0 = 0 y c1 = 1, obtenemos:
(....)

17 Resolver Solución Puesto que x2 + 1 = 0, x = i, −i son puntos singulares, la solución en serie de potencias centrada en 0 convergerá al menos para |x| < 1. Usando la solución en forma en serie de potencia de y, y’ e y”:

18 Primero hacemos que todos los sumatorios comiencen por la potencia más
alta, que en este caso es x2, y separamos los términos "sobrantes": Ahora reindexamos:

19 De lo anterior, tenemos 2c2-c0 = 0, 6c3 = 0 , y
Así que c2 = c0/2, c3 = 0, ck+2 = (1 – k)ck/(k + 2). Luego:

20 ... y así sucesivamente.

21 Si se busca una solución en serie de potencias y(x) centrada en cero para obtenemos c2 = c0/2 y la siguiente relación de recurrencia: Examinando la fórmula se ve que c3, c4, c5, … se expresan en términos de c1 y c2. Eligiendo primero c0  0, c1 = 0, tenemos: y

22 Ahora elegimos c0 = 0, c1  0, y entonces
y así sucesivamente... Ahora elegimos c0 = 0, c1  0, y entonces Etc.

23 Finalmente, la solución será: y = c0y0 + c1y1, donde
que convergen para todo x.

24 Resolver Solución Observemos que en este caso Q(x) no es un polinómio. x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. Usando la serie de Maclaurin para cos x, y empleando como solución:

25 De ahí deducimos que c2 =-1/2c0, c3 =-1/6c1, c4 = 1/12c0, c5 = 1/30c1,…. Agrupando términos llegamos a la solución general y = c0y1 + c1y2, con radio de convergencia |x| < :

26 Soluciones respecto a puntos singulares
Un punto singular x0 de una ED lineal puede ser regular o irregular. La clasificación depende de Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular si p(x) = (x – x0)P(x) y q(x) = (x – x0)2Q(x) son analíticas en x0 , i.e. admiten desarrollos en series de potencias centradas en x0. Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación. DEFINICIÓN Puntos singulares regulares e irregulares

27 Coeficintes polinomiales
Si (x – x0) aparece a lo sumo a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda potencia en el denominador de Q(x), entonces x0 es un punto singular regular. Para resolver la EDO la multiplicaremos en forma estándar por (x – x0)2: donde p(x) = (x – x0)P(x) y q(x) = (x – x0)2Q(x) son analíticas en x = x0. Observa que de esta manera hemos "matado" las singularidades.

28 Ejemplo: observemos que x = 2, x = – 2 son puntos singulares de:
(x2 – 4)2y” + 3(x – 2)y’ + 5y = 0 Entonces: Para x = 2, la potencia de (x – 2) en el denominador de P(x) es 1, y la potencia de (x – 2) en el denominador de Q(x) es 2. Así que x = 2 es un punto singular regular. Para x = −2, la potencia de (x + 2) en el denominador de P(x) y Q(x) es 2. Así que x = − 2 es un punto singular irregular.

29 Teorema de Frobenius Si x = x0 es un punto singular regular, entonces
existe al menos una solución de la forma donde el número r es una constante por determinar. La serie converge al menos en algún intervalo 0 < x – x0 < R.

30 Ejemplo del método de Frobenius
Debido a que x = 0 es un punto singular regular de trataremos de hallar una solución en serie con:

31

32 r1 = 2/3, k = 0, 1, 2,… r2 = 0, k = 0, 1, 2,… Que implica:
r(3r – 2)c0 = 0 (k + r + 1)(3k + 3r + 1)ck+1 – ck = 0, k = 0, 1, 2, … Haciendo c0 = 1, r(3r – 2) = 0. Entonces: r = 0, 2/3. Cada valor de r nos transforma la ecuación de recurrencia en: r1 = 2/3, k = 0, 1, 2,… r2 = 0, k = 0, 1, 2,…

33 r1 = 2/3, k = 0, 1, 2,… r2 = 0, k = 0, 1, 2,…

34 Observa que los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c0
Observa que los dos conjuntos contienen el mismo múltiplo c0. Si se omite este término, haciéndolo igual a ,1 tenemos: que convergen para |x| <  y son linealmente independientes. Así que la solución es: y(x) = C0y0(x) + C1y1(x), 0 < x < 

35 Ecuación indicial La ecuación r (3r – 2) c0 = 0 se llama ecuación indicial, y los valores de r se llaman raíces indiciales. Recordemos que si x0 = 0 es un punto singular regular, entonces p(x) = x P(x) y q(x) = x2 Q(x) son analíticas en x0 = 0. Sus desarrollos en serie de potencia son: p(x) = xP(x) = a0+a1x+a2x2+… q(x) = x2Q(x) = b0+b1x+b2x2+… que serán válidos en intervalos con ciertos radios de convergancia.

36 Multiplicando por x2, tenemos
Después de sustituir p(x) = xP(x) = a0+a1x+a2x2+… q(x) = x2Q(x) = b0+b1x+b2x2+… en la EDO, obtendremos la ecuación indicial: r(r – 1) + a0r + b0 = 0

37 Resolver Solución Sea , entonces

38 r (2r – 1) = 0; r1 = ½ , r2 = 0.

39

40 Así para r1 = ½ y para r2 = 0 Y la solución final es y(x) = C1y1 + C2y2.

41 Resolver Solución De xP = 0, x2Q = x, y el hecho de que 0 y x sean sus propias series de potencias centradas en 0, se concluye a0 = 0, b0 = 0. De modo que la ecuación indicial r(r – 1) + a0r + b0 = 0, queda: r(r – 1) = 0, r1 = 1, r2 = 0. Comprueba que en este caso ambas raíces producen el mismo conjunto de coeficientes. En otras palabras, que sólo obtenemos una solución en serie

42 ¿Cómo obtener la segunda solución? Hay que distinguir tres casos:
(1) Si r1, r2 son distintas y la diferencia r1 - r2 no es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma : (2) Si r1 – r2 = N, donde N es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma :

43 (3) Si r1 = r2, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de la forma: Si ya conocemos una solución y1, la segunda puede obtenerse de la siguiente manera Veamos un ejemplo.

44 Hallar la solución general de
Solución Habíamos hallado una solución:

45 Que finalmente nos proporciona como solución:
Para ver más ejemplos resueltos y detalles de esta última parte, consulta los apuntes de Jose Olarrea en Soluciones_series.pdf.


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