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Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy) José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Departamento de Ing. Electrónica Universidad de Antioquia.

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1 Fundamentos de Lógica Difusa (Fuzzy) José Edinson Aedo Cobo, Msc. Phd. Departamento de Ing. Electrónica Universidad de Antioquia

2 2 Lógica clásica ( una revisión rápida) En lógica clásica una proposición p puede tener dos valores: ser verdadera (v) ser Falsa (f) También se definen varios conectivos tales como: Y o entonces si solo si negación p q p q p q p q p q ~ p T T T T T T F T F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T

3 3 Para el estudio de la lógica utilizaremos el siguiente principio: Entre la lógica proposional y la teoría de conjuntos existe un isomorfismo considerando una apropiada correspondencia entre los componentes de esos dos sistemas matemáticos. Un ejemplo de operaciones: teoría de conjuntos lógica lógica boleana. Un ejemplo de este principio: Haciendo que A corresponda p y B corresponda q. teoría de conjuntos lógica lógica boleana A B = B A p q q p x. y = y. x

4 4 Debido a la existencia del isomorfismo entre la lógica, la teoría de conjuntos y la lógica booleana, algunas equivalencias matemáticas simples serían: teoría de conjuntos lógica lógica boleana x + ( ) ~ ´ Usando estas equivalencias: lógica teoría de conjuntos ~ [p ( ~ q)] p q = r donde p y q son conjuntos y r es el conjunto resultante: o sea: μ r (x,y)= 1 - min(μ p (x), 1- μ q (y))

5 5 Usando estas equivalencias: lógica teoría de conjuntos (p q ) ~ [p ( ~ q)] μ p q (x, y) =1 – μ p q (x,y) =1 - min(μ p (x), 1- μ q (y)) La función de pertenencia del conjunto resultante

6 6 Usando estas equivalencias: lógica teoría de conjuntos (p q ) ( ~p) q μ p q (x, y) = μ p q (x,y) = max(1 - μ p (x), μ q (y)) Otras equivalencias son: μ p q (x, y) = 1- μ p (x)(1- μ q (y)) μ p q (x, y) = min[1, (1 - μ p (x)) + μ q (y)], se utiliza el operador S(a,b) = 1 (a + b) ( S(a,b)= min(1, a+b), suma limitada)

7 7 Tautología: Es una proposición formada por la combinación de de otras proposiciones (p, q, r,...) que siempre es verdadera independiente de la verdad o falsedad de la proposiciones que la componen p, q, r,... Ejemplo: (p q ) ~ [p ( ~ q)] (realizar la tabla de verdad para verificar esta tautología) También: (p q ) ( ~p) q Ejercicio: muestre que las equivalencias anteriores son tautologías.

8 8 En la lógica clásica hay 2 reglas importantes para la inferencia: Modus Ponens: premisa 1: x es A (verdadera) premisa 2: Si x es A entonces y es B (verda.) consecuencia: y es B En términos lógicos se expresa: (p (p q )) q (la cual es una tautología)

9 9 Modus Tollens: premisa 1: y es no B (verdadera) premisa 2: Si x es A entonces y es B (verda.) Consecuencia: x es no A En términos lógicos se expresa: ( ~ q (p q )) ~ p

10 10 Nos interesa sobre todo el concepto de inferencia, para aplicarlo a proceso de evaluación de un conjunto de reglas. Como se podría interpretar p -> q ?. Un método sería utilizar las propiedades de la lógica clásica: Por ejemplo: μ p q (x, y) = μ p q (x,y) = max(1 - μ p (x), μ q (y))

11 11 Como se interpreta una regla difusa: Regla Si...entonces: Es una proposición que tiene la forma: Variables lingüísticas Si x es A entonces y es B Son términos lingüísticos asociados con las variables x e y (definidos dentro de los conjuntos universo X e Y respectivamente) Ejemplo: Si la corriente es alta entonces la fuga es alta Notación: Regla: A B (donde A y B son los terminos lingüísticos) Una regla Si.. entonces, establece una relación definida en XxY.

12 12 El principal componente de los sistemas basados en lógica difusa son las reglas difusas: Si x es A entonces y e B donde x X e y Y son variables lingüísticas. Interpretación de un regla difusa: Una regla difusa como la anterior establece una relación definida en XxY. O sea debe existir μ A->B (x,y) (que es la función de pertenencia de la relación) donde x X e y Y

13 13 Razonamiento difuso Modus Ponens Generalizado (MPG): Premisa 1(V): x es A *, Premisa 2(V): Si x es A entonces y es B, Consecuencia: y es B * Donde A * es próximo o similar a A y B * es próximo o similar a B. Donde A *, A, B * y B son términos definidos por conjuntos difusos en universos apropiados. El uso del MPG da origen al razonamiento difuso

14 14 Ejemplos del Razonamiento difuso Ejemplo 1 Premisa 1(V): La manzana está un poco roja, Premisa 2(V): Si manzana esta roja entonces está madura, Consecuencia: ? Ejemplo 2 Premisa 1(V): El color es medio café Premisa 2(V): Si el color es café entonces la resistencia es alta, Consecuencia: ?

15 15 Si x es A Entonces y es B μ A B (x, y) x es A* μ A* (x) y es B* μ B* (y) Matemáticamente se interpreta como un proceso de composición: μ B* (y) = SUP x A* [μ A* (x) * μ A B (x, y) ]

16 16 Relación establecida por la Regla Si...entonces: Podría ser obtenida a través de entidades derivadas de teoría clásica, por ejemplo: A B A B La función de pertenencia asociada sería: μ A B (u,w) = μ A B (u,w) Luego: μ A B (u,w) = max(1- μ A (u), μ B (w)) Pero este tipo de operadores no funciona en ingeniería.

17 17 Relaciones establecidas por reglas Si., entonces: Una regla si...entonces, establece una relación cuya función de pertenencia es definida por: μ A B (u,w) = μ A (u) * μ B (w) Donde * puede ser el operador min o producto. Cada operador da origen a una función de pertenencia asociada con la relación que establece la regla, o sea: μ A B (u,w) = min(μ A (u), μ B (w)) μ A B (u,w) = μ A (u). μ B (w)

18 18 Regla composicional de inferencia: Dada una relación R definida en UxW y un conjunto difuso A definido en U, entonces es posible obtener un conjunto B en W, relacionado con A, mediente la operación de composición: B = A R Esto permite evaluar las reglas si... Entonces: Sean A y A* dos conjuntos difusos definidos U y B un conjunto difuso definido en W. Si A B es una regla definida como una relación difusa en UxW. Entonces el conjunto difuso B* inferido de: u es A* y si u es A entonces w es B es determinado por: B* = A* (A B ) = A* R

19 19 El conjunto de salida es: B* = A* (A B )= A* R La función de pertenencia es: μ B* (w) = μ A* (u) μ A B (u,w) = μ A* (u) μ R (u,w) Aplicando la definición de composición: μ B* (w) = Sup u A* ( {μ A* (u) μ A B (u,w) } Donde Sup es el operador Max y el operador es el operador Min o producto. composición

20 20 Ejemplo : Sea A* un singleton (un conjunto difuso definido en un solo punto), o sea: μ A* (x) 1 para x = x´ μ A* (x) = 0 para x x´ Usando el min o el producto para la inferencia: μ A B (x,y)= min(μ A (x), μ B (y)) o μ A B (x,y)= μ A (x) x μ B (y) Calcular B*, si las siguientes afirmaciones son verdaderas: Premisa 1(V): x es A*, Premisa 2(V): Si x es A entonces y es B, Consecuencia: y es B* x´x 1

21 21 Ejemplo (continuación): Vamos a asumir que A y B son términos lingüísticos los cuales se tienen asociados los siguientes conjuntos difusos: La pertenencia del conjunto de salida sería: μ B* (y) = Sup x A* {μ A* (x) μ A B (x,y) } = MAX x A* {min(μ A* (x), μ A B (x,y)) } = min(μ A* (x´), μ A B (x´,y)) = min(1, μ A B (x´,y)) = μ A B (x´,y) = min(μ A (x´), μ B (y)) = min(w 1, μ B (y)) x´x 1 μ A* (x) μ A (x) w1w1 y 1 μ B (y)

22 22 Ejemplo (continuación): gráficamente A μ A (x´) x=x´ 1 B Si x es A entonces y es B como min como producto B* (conjunto de salida) X X Y Y Y Operador: min producto w1w1 w1w1

23 23 Ejercicio: Sean los términos A* = un poco alta, A = alta, definidos para la variable lingüística temperatura(t), y el término lingüístico B = baja, definido para la variable lingüística presión (p), con la interpretación mostrada en la figura siguiente x 1 μ A* (x) μ A (x) w1w1 y 1 μ B (x) Calcular el resultado de las afirmaciones: Premisa 1(V): La temperatura es un poco alta, Premisa 2(V): Si t es alta entonces la presión es baja,

24 24 La regla composicional de inferencia (notación): Si x es A* y Si x es A entonces y es B Lo podriamos escribir el resultado: B* = A* © (A =>B) = A* © R Matemáticamente: µ B* (y) = max x min[µ A* (x), µ A B (x,y) ] µ B* (y) = x [µ A* (x) µ A B (x,y) ] Operador de la unión (max)Operador de la intersección (min)

25 25 Si x es A* y Si x es A entonces y es B Matemáticamente (en la notación introducida): El resultado sería: µ B* (y) = x [µ A* (y) µ A B (x,y) ] Usando como operador de inferencia ( el min o producto): µ A B (x,y) =µ A (x) µ B (y) µ B* (y) = x [µ A* (x) (µ A (x) µ B (y)) ] = x [(µ A* (x) µ A (x)) µ B (y)] = x [(µ A* (x) µ A (x))] µ B (y) = w µ B (y) ( w es el grado de activación de la regla) w= x [(µ A* (x) µ A (x))]

26 26 Continuación: µ B* (y) = w µ B (y) ( w es el grado de activación de la regla) siendo w = x [(µ A* (x) µ A (x))] Asumiendo: como max como min µ B* (y) =min ([max x min(µ A* (x), µ A (x))], µ B (y)) Como interpretamos: max x min(µ A* (x), µ A (x)) ?

27 27 X 1 Se debe calcular para todo x, el min(µ A* (x), µ A (x)) y luego se calcula el máximo X 1 min(µ A* (x), µ A (x)) Valor máximo Continuación (asumiendo que A y A* tienen asociados los siguientes conjuntos difusos): µ A*( x) µ A (x)

28 28 Si tenemos reglas con múltiples entradas así: Premisa 1: x 1 es I 1 ´ y x 2 es I 2 ´ premisa 2: si x 1 es I 1 y x 2 es I 2 entonces w es B Consecuecia: w es B* Donde x 1 X 1 y x 2 X 2 (conjuntos universales) La función de pertenencia de B* sería: μ B* (w) = Sup x1,x2 {[μ I1´ (x 1 ) μ I2´ (x 2 )] μ I1xI2 B (x 1,x 2,w)} = Sup x1,x2 {[μ I1´ (x 1 ) μ I2´ (x 2 )] (μ I1 (x 1 ) μ I2 (x 2 ) μ B (w)) }

29 29 (Continuación) μ B* (w) = Sup x1 {μ I1´ (x 1 ) μ I1 (x 1 )} Sup x2 { μ I2´ (x 2 ) μ I2 (x 2 )} μ B (w) usando max para Sup y min para, se tiene: μ B* (w) = min { max x1 [min(μ I1´ (x 1 ),μ I1 (x 1 ))], max x2 [min(μ I2´ (x 2 ), μ I2 (x 2 )], μ B (w) } μ B* (w) = min {w 1, w 2, μ B (w)} w1 w1 w2 w2

30 30 μ I1 (x 1 ) μ I1´ (x 1 ) ´ 1 B Gráficamente x 1 es I 1 ´ y x 2 es I 2 ´ Si x 1 es I 1 y x 2 es I 2 entonces w es B X1X1 W μ I2 (x 2 ) μ I2´ (x 2 ) X2X2 ´ min(w 1,w 2 ) Valor de activación w1w1 w2w2 μ I1´ (x 1 ) μ I2´ (x 2 ) X1X1 X2X2 B*

31 31 Nota: El caso anterior se puede extender fácilmente para reglas con más de dos entradas. Caso especial Si los conjuntos I 1 ´ y I 2 ´ son singletons tal que: 1 en x 2 = b 1 en x 1 = a μ I2´ (x 2 ) = μ I1´ (x 1 )= 0 para x 2 b 0 para x 1 a Entonces: w1 = max x1 [min(μ I1´ (x 1 ),μ I1 (x 1 ))] = μ I1 (a) w2 = max x2 [min(μ I2´ (x 2 ), μ I2 (x 2 )] = μ I2 (b)

32 32 Otro método de cálculo: Teorema: Método de descomposción para calcular B* B* = (I 1 ´ x I 2 ´) © (I 1 x I 2 B ) = [I 1 ´ © (I 1 B)] [I 2 ´ © (I 2 B )] Ejercicio: demostrar el teorema

33 33 Si tenemos varias reglas simultáneas: P1: x 1 es I 1 ´ y x 2 es I 2 ´ P2: si x 1 es I 1 1 y x 2 es I 1 2 entonces w es B 1 P3: si x 1 es I 2 1 y x 2 es I 2 2 entonces w es B 2 C: w es B* Múltiples reglas se evalúan realizando la agregación de las relaciones asociadas a cada regla: (regla 1) (regla 2)

34 34 ( Continuación) P1: x 1 es I 1 ´ y x 2 es I 2 ´ P2: si x 1 es I 1 1 y x 2 es I 1 2 entonces w es B 1 P3: si x 1 es I 2 1 y x 2 es I 2 2 entonces w es B 2 C: w es B* En términos de las funciones de pertenencia: (regla 1) (regla 2)

35 35 Usando Max para Sup, y min para * (Continuación) Para la primera regla:

36 36 Usando Max para Sup, y min para * (Continuación) Para la segunda regla:

37 37 (continuación) Agregando las dos reglas (usando el max para la agregación): Regla 1 Regla 2 Este resultado se puede extender a un número arbitrario de reglas

38 38 Resumen: En el caso de tener múltiples reglas:. P1: x 1 es I 1 ´ y x 2 es I 2 ´ P2: si x 1 es y x 2 es entonces w es B 1(regla 1) P3: si x 1 es y x 2 es entonces w es B 2(regla 2) C: w es B* Múltiples reglas se evalúan realizando la unión de las relaciones asociadas a cada regla:

39 39 Caso especial Si los conjuntos I 1 ´ y I 2 ´ son singletons tal que: 1 en x 1 = a 1 en x 2 = b μ I1´ (x 1 ) = μ I2´ (x 2 )= 0 para x 1 a 0 para x 2 b Entonces: Para la primera regla:

40 40 Continuación del Caso especial Si los conjuntos I 1 ´ y I 2 ´ son singletons tal que: 1 en x 1 = a 1 en x 2 = b μ I1´ (x 1 ) = μ I2´ (x 2 )= 0 para x 1 a 0 para x 2 b Entonces: Para la segunda regla:

41 41 (continuación) La evaluación de las reglas: Regla 1 Regla 2 Nota: Este resultado se puede extender a un número arbitrario de reglas Agregación de las reglas

42 42 Regla 1 Regla 2 Regla 2: Regla 1: Gráficamente: grado de min B agregación Resultado de la Entrada 1Entrada 2 evaluación de las reglas activación

43 43 Estructura de un modelo difuso o sistema de inferencia difusa o Sistema difuso: ¨Fuzificador¨ Mecanismo inferencia ¨Defuzificador¨ Reglas x U n Vector de entradasalida y Sistema Difuso Y= f(x)

44 44 Las reglas y el mecanismo de inferencia constituyen el corazón de los sistemas difusos: definen la dinámica del sistema difuso Mecanismo inferencia Reglas Entrada conjuntos difusos Salida conjuntos difusos Lo que hemos estudiado hasta aquí nos permite evaluar un conjunto de reglas.

45 45 Fuzificador: es una interfaz entre el mundo real y el espacio de conjuntos difusos. De esta forma mapea puntos de un espacio real x=(x 1,x 2,…,x n ) en un conjunto difuso. Existen dos clases: 1. Fuzificador tipo singleton 2.fuzificador tipo no singleton. x=(x 1,x 2,…,x n ) ¨Fuzificador¨

46 46 Fuzificador tipo singleton Mapea un número real (entero) en conjunto difuso tipo singleton. Espacio real x x=a Conjunto difuso singleton

47 47 Fuzificador no singleton Mapea un número real (entero) en conjunto difuso con una Función de pertenencia (normal) definida. Espacio real x x=a Conjunto difuso triangular

48 48 Defuzificador: es una interfaz que convierte conjuntos difusos en un valor real. Espacio real x Valor resultante x=c Cómo se calcula c ? Conjunto difuso ¨Defuzificador¨ x=c Conjunto difuso Métodos de defuzificación

49 49 Métodos de Defuzificación: 1. Método del centro de gravedad Si A (x) corresponde a el conjunto difuso que se va defuzificar el resultado de este método consiste en calcular: x COA

50 50 Métodos de Defuzificación: 2. Método del centro del área del conjunto difuso Si A (x) corresponde a el conjunto difuso que se va defuzificar el resultado de este método consiste en calcular x BOA tal que: x BOA Donde =min{x/ x X} y = max{x/x X}

51 51 Métodos de Defuzificación: 3. Método del medio de los máximos Si A (x) corresponde a el conjunto difuso que se va defuzificar el resultado de este método consiste en calcular x MOA tal que: x MOA Donde X={x/ A (x)=*}, con * el valor máximo de A (x) X´

52 52 Métodos de Defuzificación: 4. Método del medio de los máximos: casos especiales: Si existe un solo máximo Si los máximos forman una región cuadrada x MOA Donde: X MOA =[x right +x left ]/2 x MOA x left x right

53 53 Métodos de Defuzificación: 5. Métodos: el más pequeño de los máximos (x SON ) y el más grade de los máximos (x LON ): x LOA x SOA


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