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Tema 9 La minimización de los costes. 2 Introducción Nuestro supuesto básico es que las empresas quieren obtener el máximo beneficio posible En este capítulo.

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1 Tema 9 La minimización de los costes

2 2 Introducción Nuestro supuesto básico es que las empresas quieren obtener el máximo beneficio posible En este capítulo estudiamos cuál es la forma de producir una cantidad dada con el mínimo coste posible Más adelante, la empresa decidirá el nivel de producción que maximiza el beneficio

3 3 Minimización de costes Una empresa usa los factores x 1 y x 2, cuyos precios son w 1 y w 2 Si quiere producir y, ¿cuál es la forma más barata de hacerlo? Para resolver este problema necesitamos la función de producción del capítulo anterior

4 4 Ejemplo Supongamos que una empresa quiere producir y = 24 unidades Puede hacerlo con tres combinaciones posibles de factores x 1, x 2 Las combinaciones son (1, 12), (2, 6) y (3, 4) Los precios de los factores son w 1 = 2 y w 2 = 5. ¿Cuál es la combinación de factores óptima?

5 5 Ejemplo Con (1, 12) el coste de producir y = 24 es: 2×1+ 5×12 = 62 Con (2, 6) el coste es 34, mientras que con (3, 4) es 26. Por lo tanto, la combinación óptima es (3, 4) Si los precios de los factores fuesen w 1 = 4 y w 2 = 1, la combinación óptima sería (2, 6)

6 6 Minimización de costes La empresa escogerá la combinación (x 1,x 2 ) que resuelve: min w 1 x 1 +w 2 x 2 sujeto a f (x 1,x 2 ) = y La solución dependerá de w 1, w 2 e y La escribimos c(w 1,w 2,y) y la llamamos función de costes Antes, c(w 1 = 2, w 2 = 5, y = 24) = 26, etc.

7 7 Rectas isocoste La recta que representa todas las combinaciones de factores cuyo coste es el mismo es la recta isocoste Por ejemplo, para w 1 y w 2, la recta isocoste asociada a un coste de 100 es la que cumple: w 1 x 1 +w 2 x 2 = 100

8 8 Rectas isocoste En general, para w 1 y w 2, la recta isocoste asociada a un coste C es: w 1 x 1 +w 2 x 2 = C Despejando x 2 : x 2 = (C/w 2 )-(w 1 /w 2 )x 1 La pendiente es -(w 1 /w 2 )

9 9 Rectas isocoste c w 1 x 1 +w 2 x 2 c < c x1x1 x2x2

10 10 Rectas isocoste c w 1 x 1 +w 2 x 2 c < c x1x1 x2x2 Pendiente= -w 1 /w 2

11 11 Isocuantas x1x1 x2x2 Queremos producir y. Estas son todas las combinaciones de factores con las que producimos y unidades f(x 1,x 2 ) y

12 12 Minimización de costes x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) y ¿Cuál es la más barata?

13 13 Minimización de costes x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) y

14 14 Minimización de costes x1x1 x2x2 f(x 1,x 2 ) y x1*x1* x2*x2* La situada en la recta isocoste más baja posible

15 15 Minimización de costes x1x1 x2x2 x1*x1* x2*x2* Cumple dos condiciones: (1) Tangencia: Pendiente isocuanta = Pendiente isocoste (2) Pertenece isocuanta

16 16 Ejemplo Supongamos que w 1 = 10 y w 2 = 5 Elegimos una combinación de factores en la que PM 1 = 20 y PM 2 = 15 Vemos que -(w 1 /w 2 ) = -2 no coincide con -(PM 1 /PM 2 ) = -4/3 Reduciendo x 1 en 1 unidad y aumentando x 2 en 4/3 de unidades producimos la misma cantidad. Pero el coste se reduce

17 17 Demandas condicionadas Las cantidades óptimas elegidas de los diferentes factores dependen de los valores particulares de w 1, w 2 e y La solución óptima la escribimos como x 1 (w 1,w 2,y) y x 2 (w 1,w 2,y) Estas son las demandas condicionadas de factores

18 18 Ejemplo: Complementarios La función de producción es: f(x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 } Los precios de los factores son w 1 y w 2. ¿Cuál es la forma más barata de producir y? ¿Cuáles son las funciones de demanda condicionadas? ¿Cuál es la función de costes?

19 19 Ejemplo: Complementarios x1x1 x2x2 min{x 1,x 2 } y x 1 = x 2

20 20 Ejemplo: Complementarios x1x1 x2x2 min{x 1,x 2 } y ¿Qué combinación minimiza el coste total de producir y?

21 21 Ejemplo: Complementarios x1x1 x2x2 x 1 * = y x 2 * = y x 1 = x 2 min{x 1,x 2 } y

22 22 Ejemplo: Complementarios Si quiero producir y = 3, usaré x 1 = x 2 = 3, ya que es la combinación de menor coste El coste será w 1 3+w 2 3 = (w 1 +w 2 )3 En general, la forma más barata de producir y unidades es usando y unidades de x 1 e y unidades de x 2

23 23 Ejemplo: Complementarios Por lo tanto, la función de costes es: c(w 1,w 2,y) = w 1 x 1 +w 2 x 2 = = (w 1 +w 2 )y Las demandas condicionadas son x 1 (w 1,w 2,y) = y, x 2 (w 1,w 2,y) = y

24 24 Complementarios Supongamos ahora que la función de producción es: f(x 1,x 2 ) = min{ax 1, bx 2 } Las demandas condicionadas son x 1 (w 1,w 2,y) = y/a, x 2 (w 1,w 2,y) = y/b La función de costes es: c(w 1,w 2,y) = w 1 (y/a) +w 2 (y/b)

25 25 Ejemplo: Sustitutos La función de producción es: f(x 1,x 2 ) = x 1 +x 2 Como x 1 y x 2 son sustitutos perfectos, la empresa utilizará sólo el más barato Si w 1 < w 2, usará sólo x 1. Usará x 1 = y, x 2 = 0. Le cuesta w 1 y Si w 1 > w 2, usará x 2 = y, x 1 = 0. Le cuesta w 2 y

26 26 Ejemplo: Sustitutos Por lo tanto, el coste será el menor entre w 1 y e w 2 y La función de costes será: c(w 1,w 2,y) = min{w 1 y,w 2 y} = = min{w 1,w 2 }y

27 27 Ejemplo: Cobb-Douglas La función de producción es (hacemos A = 1 para simplificar): f(x 1,x 2 ) = x 1 a x 2 b Usamos la condición de tangencia: -PM 1 /PM 2 = -w 1 /w 2 Sabíamos ya que: -PM 1 /PM 2 = - a x 2 / b x 1 Además y = x 1 a x 2 b

28 28 Ejemplo: Cobb-Douglas Usando y = x 1 a x 2 b junto a la condición de tangencia: aw 2 x 2 = bw 1 x 1 Despejamos x 2 : x 2 = (bw 1 x 1 /aw 2 ) Sustituimos en la función de producción y despejando….

29 29 Ejemplo: Cobb-Douglas Obtenemos: La demanda de x 2 es similar Finalmente, la función de costes es:

30 30 Rendimientos de escala y costes En el caso de rendimientos constantes, supongamos que hemos resuelto el problema de minimización de costes para producir una unidad El coste resultante es c(w 1,w 2,1) El coste mínimo para producir y unidades será c(w 1,w 2,y) = c(w 1,w 2,1) y ¿Por qué?

31 31 Rendimientos de escala y costes Con rendimientos crecientes, si queremos producir el doble, necesitamos menos del doble de factores Esto significa que los costes aumentan menos del doble La función de costes aumenta menos que proporcionalmente en relación con y Usamos el coste medio

32 32 Coste medio La función de coste medio nos dice cuál es el coste por unidad cuando producimos y unidades (para ahorrar notación no indicamos que depende de w 1 y w 2 ) CMe(y) = c(w 1,w 2,y) / y Con rendimientos constantes: CMe(y) = c(w 1,w 2,1)y / y = = c(w 1,w 2,1)

33 33 Coste medio Con rendimientos crecientes, los costes aumentan menos que proporcionalmente con la producción Por lo tanto, los costes medios son decrecientes con y Por el contrario, con rendimientos decrecientes, los costes medios son crecientes

34 34 Costes a largo y corto plazo A largo plazo una empresa puede variar las cantidades de todos los factores A corto plazo hay algún factor cuya cantidad no podemos cambiar La función de costes a corto plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, ajustando sólo los factores variables

35 35 Costes a largo y corto plazo La función de costes a largo plazo nos dice cuál es el coste mínimo de producción, cuando podemos ajustar todos los factores Supongamos que, a corto plazo, la cantidad del segundo factor es fija, en concreto x 2 = x 2

36 36 Costes a largo y corto plazo La función de costes a corto plazo es la solución de: min w 1 x 1 +w 2 x 2 sujeto a f(x 1, x 2 ) = y La llamamos c CP (y, x 2 ). En general el coste mínimo dependerá de x 2 También podríamos definir las demandas a corto plazo de los factores

37 37 Costes a largo y corto plazo Las demandas serían: x 1 =x 1 CP (w 1,w 2, x 2,y) y x 2 = x 2 Usando la función de costes a corto plazo, se debe cumplir: c CP (y, x 2 ) = w 1 x 1 CP (w 1,w 2, x 2,y) +w 2 x 2 Por otro lado, la función de costes a largo plazo, sale del problema de minimización del comienzo del tema

38 38 Costes a largo y corto plazo A largo plazo ya no tenemos la restricción x 2 = x 2. Podemos elegir también la cantidad de x 2 Las demandas de factores a largo plazo son x 1 (w 1,w 2,y) y x 2 (w 1,w 2,y) La función de costes a largo plazo es: c(y) = w 1 x 1 (w 1,w 2,y)+w 2 x 2 (w 1,w 2,y) Vamos a ver la relación que hay entre costes a corto y a largo plazo

39 39 Costes a largo y corto plazo Suponemos que los precios de los factores son fijos (nos olvidamos de ellos por ahora) Las demandas de factores a largo plazo son x 1 (y) y x 2 (y) La función de costes a largo plazo cumple: c(y) = c CP (y, x 2 (y)) ¿Qué significa esto?

40 40 Costes a largo y corto plazo Que el coste mínimo a largo plazo de producir y coincide con el coste mínimo a corto plazo cuando el factor 2 es fijo, pero su valor coincide con el nivel que minimiza los costes a largo plazo Por lo tanto, la demanda a largo plazo del factor 1 cumple: x 1 (w 1,w 2,y) = x 1 CP (w 1,w 2, x 2 (y),y)

41 41 Costes a largo y corto plazo De nuevo, esto quiere decir que la cantidad del factor 1 (factor variable) que minimiza los costes a largo plazo es la misma que la empresa elegiría, a corto plazo, si la cantidad del factor 2 (factor fijo) fuese igual que la que minimiza los costes a largo plazo


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