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SEÑALES Y SISTEMAS Profesora: Ing. Yesenia Restrepo Chaustre.

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1 SEÑALES Y SISTEMAS Profesora: Ing. Yesenia Restrepo Chaustre

2 UNIDAD 1. Definición de señal Definición de sistema Ejemplo de sistemas Clasificación de las señales Operaciones básicas de las señales Señales elementales Propiedades de los sistemas

3 Cualquier fenómeno físico que varíe en el tiempo y que se pretende usar para transmitir información constituye una señal. [2] Definición de señal (1) Una señal se define formalmente como la función de una o más variables, que transportan información acerca de la naturaleza de un fenómeno físico. [1] Ejemplo: La voz humana, código Morse, señales de transito

4 Cuando la función depende de una sola variable, se dice que la señal es unidimensional; Ejemplo: la voz humana. [1] Definición de señal (2) Cuando la función depende de dos o más variables, se dice que la señal es multidimensional; Ejemplo: Una imagen. [1]

5 Las señales se procesan u operan por medio de sistemas. Cuando una o más señales de excitación se aplican a una o más entradas del sistema, éste produce una o más señales de respuesta en sus salidas.[2] Definición de sistema(1) Un sistema se define formalmente como una entidad que manipula una o más señales para llevar a cabo una función, produciendo de ese modo nuevas señales. [1]

6 Ejemplos: Sistema de reconocimiento de voz. Sistema de comunicación. Sistema de aterrizaje de un avión. Definición de sistema (2) SISTEMA EntradaSalida Representación en diagramas de bloques de un sistema.

7 Ejemplos de sistema (1) TRANSMISOR Señal del mensaje Estimación de la señal del mensaje Elementos de un sistema de comunicación. Sistemas de Comunicación.[1] CANALRECEPTOR Señal transmitida Señal recibida

8 Ejemplos de sistema (2) Sistemas de Control.[1] El control de sistemas físicos se emplea extensivamente en la aplicación de señales y sistemas en nuestra sociedad industrial. CONTROLADORPLANTA SENSORES e(t) v(t) Σ Perturbación v(t) Σ Entrada Ref x(t) r(t) y(t)

9 Respuesta: El proceso de mantener la salida de la planta cerca de la entrada de referencia se conoce como regulación. Robustez: El sistema de control es robusto si exhibe una buena regulación, a pesar de la presencia de perturbaciones externas y ante los cambios en los parámetros de la planta. Ejemplos de sistema (3) Sistemas de Control.[1]

10 Clasificación de señales(1) 1. Señales en tiempo continuo y discreto.[1] Las señales en tiempo continuo surgen naturalmente cuando una forma de onda física tal como una onda acústica o una onda luminosa se convierten en una señal eléctrica.

11 Clasificación de señales(2) 1. Señales en tiempo continuo y discreto.[1] Las señales en tiempo discreto se definen sólo en instantes de tiempo discreto. De tal modo, en este caso la variable independiente tiene únicamente valores discretos, los cuales suelen estar espacidos de manera uniforme.

12 Clasificación de señales(3) 2. Señales pares e impares. [1] Señal PAR: Señal IMPAR:

13 Clasificación de señales(4) 2. Señales pares e impares. [1] En el caso de una señal de valor complejo, es posible hablar de simetría conjugada. Una señal de valor complejo x(t) se dice que será conjugada simétrica si satisface la condición:

14 Clasificación de señales(5) 2. Señales pares e impares. [1] Ejemplo 1:

15 Clasificación de señales(6) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1] Una señal periódica x(t) es una función que satisface la condición: El valor más pequeño de T que cumple la ecuación (1) se llama periodo fundamental de x(t). (1) El periodo fundamental T define la duración de un ciclo completo de x(t) EN TIEMPO CONTINUO

16 Clasificación de señales(7) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1] El periodo fundamental T define la duración de un ciclo completo de x(t) La frecuencia fundamental f describe con que frecuencia la misma señal periódica x(t) se repite, (Hz). La frecuencia angular medida en radianes por segundo:

17 Clasificación de señales(8) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1] Cualquier señal x(t) para la cual no hay valor de T que cumpla la condición de la ecuación (1), recibe el nombre de señal aperiódica o no periódica.

18 Clasificación de señales(9) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1] EJEMPLO 2: EJEMPLO 3: obtener la frecuencia fundamental (Hz ó rad/s).

19 Clasificación de señales(10) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1] EN TIEMPO DISCRETO Una señal en tiempo discreto x[n] se dice que será periódica si satisface la condición: (2) N: Entero positivo El valor más pequeño que satisface (2), recibe el nombre de período fundamental en tiempo discreto x[n] : Frecuencia angular fundamental (frecuencia fundamental-rad) de x[n]:

20 Clasificación de señales(11) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1]

21 Clasificación de señales(12) 3. Señales periódicas, señales no periódicas. [1] EJEMPLO 4: Cuál es la frecuencia fundamental de la onda cuadrada en tiempo discreto que se muestra en la siguiente figura:

22 Clasificación de señales(13) 4. Señales deterministas, señales aleatorias. [1] Una señal determinista: Es aquella en torno a la cual no hay incertidumbre con respecto a su valor en cualquier tiempo. En consecuencia, encontramos que las señales deterministas pueden modelarse como funciones de tiempo completamente especificadas.

23 Clasificación de señales(14) 4. Señales deterministas, señales aleatorias. [1] Una señal aleatoria: Es aquella en la que hay incertidumbre antes de su ocurrencia real. Tal señal debe verse como todo un grupo de señales, con cada señal en el grupo con diferente forma de onda. El agrupamiento de tales señales se conoce como un proceso aleatorio, Ej: Ruido.

24 Clasificación de señales(15) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] En análisis de señales es costumbre definir la potencia en términos de un resistor de 1 Ohm, por lo que puede expresarse la potencia instantánea de la señal como: La energía total de la señal en tiempo continuo x(t) como:

25 Clasificación de señales(16) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] La potencia promedio de una señal periódica x(t) de período fundamental T está determinada por: La raíz cuadrad de la potencia promedio P recibe el nombre de valor medio cuadrático (rms) de la señal x(t)

26 Clasificación de señales(17) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] Para una señal en tiempo discreto x[n]: La energía total de una señal x[n], se define por medio de: La potencia promedio en una señal periódica x[n] con período fundamental N está dado por:

27 Clasificación de señales(18) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] Señal de energía Señal de potencia Una señal de energía tiene potencia promedio cero, en tanto que una señal de potencia tiene energía infinita. Las señales periódicas y las señales aleatorias suelen verse como señales de potencia. Las señales que son deterministas como no periódicas son señales de energía.

28 Clasificación de señales(19) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] EJERCICIO 1: a) ¿Cuál es la energía total del pulso rectangular que se muestra en la siguiente figura? b) ¿Cuál es potencia promedio de la onda cuadrada que se muestra en la siguiente figura?

29 Clasificación de señales(20) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] EJERCICIO 2: ¿Cuál es la energía total de la señal en tiempo discreto que se muestra en la siguiente figura?

30 Clasificación de señales(21) 5. Señales de energía, señales de potencia. [1] EJERCICIO 3: ¿Cuál es la potencia promedio de la señal en tiempo discreto que se muestra en la siguiente figura?

31 Operaciones básicas sobre señales(1) Un aspecto de fundamental importancia en el estudio de señales y sistemas es el uso de sistemas para procesar o manipular señales. Es posible identificar dos clases de operaciones: 1.Operaciones efectuadas sobre variables dependientes 2.Operaciones efectuadas sobre la variable independiente.

32 Operaciones básicas sobre señales(2) 1. Operaciones efectuadas sobre variables dependientes. [1] Escalamiento de amplitud Suma Multiplicación Diferenciación Integración

33 Operaciones básicas sobre señales(3) 1. Operaciones efectuadas sobre variables dependientes. [1] Escalamiento de amplitud: Un ejemplo de un dispositivo que realiza escalamiento de amplitud es un amplificador electrónico En tiempo discreto:

34 Operaciones básicas sobre señales(4) 1. Operaciones efectuadas sobre variables dependientes. [1] Suma: Un ejemplo de un dispositivo que suma señales es un mezclador de audio, el cual combina señales de música y de voz. En tiempo discreto:

35 Operaciones básicas sobre señales(5) 1. Operaciones efectuadas sobre variables dependientes. [1] En tiempo discreto:

36 Operaciones básicas sobre señales(6) 1. Operaciones efectuadas sobre variables dependientes. [1] Diferenciación: Sea x(t) una señal en tiempo continuo. La derivada de x(t) con respecto al tiempo se define como: Ejemplo:

37 Operaciones básicas sobre señales(7) Integración: Sea x(t) una señal en tiempo continuo. La integral de x(t) con respecto al tiempo t se define por medio de: Ƭ es la variable de integración. Ejemplo: 1. Operaciones efectuadas sobre variables dependientes. [1]

38 Operaciones básicas sobre señales(8) Escalamiento de tiempo Reflexión Corrimiento en tiempo 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1]

39 Operaciones básicas sobre señales(9) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Escalamiento de tiempo: La señal y(t) obtenida por el escalamiento de la variable independiente, tiempo t, por un facto a se define como:

40 Operaciones básicas sobre señales(10) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] a > 1: Es una versión comprimida 0 1: Es una versión expandida Escalamiento de tiempo

41 Operaciones básicas sobre señales(11) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Escalamiento de tiempo: En el tiempo discreto La cual se define sólo para valores enteros de k. Si k>1, entonces algunos valores de la señal en tiempo discreto y[n], se pierden.

42 Operaciones básicas sobre señales(12) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Escalamiento de tiempo: En el tiempo discreto Efecto del escalamiento de tiempo en una señal en tiempo discreto, en la que se observan algunos valores perdidos de la señal x[n] como resultado de la compresión.

43 Operaciones básicas sobre señales(13) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Reflexión: Sea x(t) una señal en tiempo continuo, sea y(t) la señal obtenida al sustituir el tiempo t por -t. y(t) la señal reflejada de x(t) en torno a la amplitud

44 Operaciones básicas sobre señales(14) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Reflexión: Casos de interés: Señales pares: Es la misma que su versión reflejada. Señales impares: Es el negativo de su versión reflejada. Se aplican condiciones similares en tiempo discreto.

45 Operaciones básicas sobre señales(15) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Reflexión: EJERCICIO: Encontrar la versión reflejada de x(t) alrededor del eje de la amplitud

46 Operaciones básicas sobre señales(16) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Corrimiento en tiempo: Sea x(t) una señal en tiempo continuo. La versión recorrida en el tiempo de x(t) se define como: t 0 es el corrimiento en el tiempo: t 0 > 0, la forma de onda que representa x(t) se corre intacta a la derecha, con respecto al eje de tiempo. t 0 < 0, se corre a la izquierda.

47 Operaciones básicas sobre señales(17) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Corrimiento en tiempo: EJEMPLO: La figura muestra un pulso rectangular x(t) de amplitud y duración unitarias. Encuentre y=x(t-2)

48 Operaciones básicas sobre señales(18) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Corrimiento en tiempo en tiempo discreto: El corrimiento m debe ser un entero; puede ser positivo o negativo

49 Operaciones básicas sobre señales(19) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] Corrimiento en tiempo en tiempo discreto: Encuentre la señal recorrida en el tiempo y[n]=x[n+3]

50 Operaciones básicas sobre señales(20) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO Sea y(t) una señal en tiempo continuo que se obtiene de otra señal en tiempo continuo x(t) por medio de una combinación de corrimiento en el tiempo y de escalamiento de tiempo:

51 Operaciones básicas sobre señales(21) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO 1. La operación de corrimiento se efectúa primero sobre x(t): Ha sustituido t en x(t) por t-b 2. La operación de escalamiento efectúa sobre v(t):

52 Operaciones básicas sobre señales(22) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO EJERCICIO: Considere el pulso rectangular x(t) de amplitud unitaria y duración de dos unidades de tiempo descrito en la figura. Encuentre y(t) = x(2t+3)

53 Operaciones básicas sobre señales(23) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO Respuesta correcta:

54 Operaciones básicas sobre señales(24) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO Respuesta incorrecta:

55 Operaciones básicas sobre señales(25) 2. Operaciones efectuadas sobre variable independiente. [1] REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO

56 Operaciones básicas sobre señales(26) REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO Paso 1: Señal x[n]Paso 2: Señal con corrimiento v[n]

57 REGLA DE PRECEDENCIA PARA EL CORRIMIENTO EN EL TIEMPO Y ESCALAMIENTO DE TIEMPO Operaciones básicas sobre señales(27) Paso 3: Respuesta, señal y[n]=x[2n+3]

58 Señales elementales (1) Señales exponenciales. Señales senoidales. Relación entre señales senoidales y señales exponenciales complejas. Señales senoidales amortiguadas exponencialmente. Función escalón. Función de impulso. Función de rampa. Hay varias señales elementales que sobresalen en el estudio

59 Señales elementales (2) SEÑALES EXPONENCIALES La señal exponencial real, en su forma general se escribe como: B y a: Son reales Decaimiento exponencial: a < 0 Crecimiento exponencial: a > 0

60 Señales elementales (3) SEÑALES EXPONENCIALES a=-6 y B=5a=5 y B=1

61 Señales elementales (4) SEÑALES EXPONENCIALES Como ejemplo físico de una señal exponencial, considere el capacitor aislado

62 Señales elementales (5) SEÑALES EXPONENCIALES En tiempo discreto: Donde:

63 Señales elementales (6) SEÑALES EXPONENCIALES En tiempo discreto: 0 < r < 1 r > 1

64 Señales elementales (7) SEÑALES EXPONENCIALES

65 Señales elementales (8) SEÑALES SENOIDALES

66 Señales elementales (9) SEÑALES SENOIDALES Como ejemplo físico de una señal senoidal, considere el circuito formado por un inductor y capacitor conectado en paralelo.

67 Señales elementales (10) En tiempo discreto: Una señal senoidal escrita como: : Frecuencia angular Donde el período se mide en muestras (N); debe satisfacer la condición de periodicidad: SEÑALES SENOIDALES

68 Señales elementales (11) SEÑALES SENOIDALES

69 Señales elementales (12) SEÑALES SENOIDALES En tiempo discreto: A = 1 ɸ = 0 N = 12

70 Señales elementales (13) RELACION ENTRE SEÑALES SENOIDALES Y SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS Señal exponencial compleja Empleando la identidad de Euler Este resultado indica que puede expresarse la señal senoidal en tiempo como la parte real de la señal exponencial compleja.

71 Señales elementales (14) RELACION ENTRE SEÑALES SENOIDALES Y SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS Señal exponencial compleja Donde:

72 Señales elementales (15) RELACION ENTRE SEÑALES SENOIDALES Y SEÑALES EXPONENCIALES COMPLEJAS En tiempo discreto

73 Señales elementales (16) SEÑALES SENOIDALES AMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE La multiplicación de una señal senoidal por una señal exponencial decreciente de valor real produce una nueva señal conocida como una señal senoidal amortiguada exponencialmente.

74 Señales elementales (17) SEÑALES SENOIDALES AMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE

75 Señales elementales (18) SEÑALES SENOIDALES AMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE

76 Señales elementales (19) SEÑALES SENOIDALES AMORTIGUADAS EXPONENCIALMENTE En tiempo discreto

77 Señales elementales (20) FUNCION ESCALON En tiempo continuo Exhibe una discontinuidad en t=0, puesto que el valor u(t) cambia de manera instantánea de 0 a 1 cuando t=0.

78 En tiempo discreto Señales elementales (21) FUNCION ESCALON

79 Señales elementales (22) FUNCION ESCALON APLICACIÓN: Es una batería o fuente dc en t=0 cerrando un interruptor. Como señal de prueba es útil, debido a que la salida de un sistema producto de una entrada escalón revela en gran medida qué tan rápido el sistema responde a un cambio abrupto en la señal de entrada.

80 Señales elementales (23) FUNCION IMPULSO En tiempo discreto

81 Señales elementales (24) FUNCION IMPULSO En tiempo continuo

82 Señales elementales (25) FUNCION IMPULSO a) Evolución de un pulso rectangular de área unitaria en un impulso de intensidad unitaria. b) Símbolo gráfico para un impulso de peso a.

83 Señales elementales (26) FUNCION RAMPA De modo equivalente:

84 Señales elementales (27) FUNCION RAMPA La función rampa nos permite evaluar cómo un sistema en tiempo continuo respondería a una señal que aumenta linealmente con el tiempo. En términos mecánicos se puede representar como el desplazamiento angular de un eje, entonces la ración de velocidad constante del eje brinda una representación de la función rampa.

85 Señales elementales (28) FUNCION RAMPA En tiempo discreto De modo equivalente:

86 PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS SISTEMAS VISTOS COMO INTERCONEXIONES DE OPERACIONES

87

88 BIBLIOGRAFIA [1]Haykin Simon, Van Veen Barry. Señales y Sistemas. Limusa Wiley [2]MJ Roberts. Señales y Sistemas. Mc Graw Hill.


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