Euklides – Elementuak (K. a. 300)

Presentación del tema: "Euklides – Elementuak (K. a. 300)"— Transcripción de la presentación:

1 Euklides – Elementuak (K. a. 300)
Patxi Angulo Martin Por lo general, las personas encargadas de realizar una presentación deben proporcionar material técnico a una audiencia que no suele estar familiarizada con el tema o el vocabulario. Este material suele ser complejo y excesivamente detallado. Para presentar material técnico de forma eficaz, tenga en cuenta las siguientes directrices de Dale Carnegie Training®. Evalúe la cantidad de tiempo disponible y organice el material. Limite el área del tema que va a tratar en la presentación. Divida la presentación en segmentos definidos. Siga una progresión lógica sin desviarse del tema principal. Concluya la presentación con un resumen, repitiendo los pasos importantes o elaborando una conclusión lógica. Tenga siempre en mente a la audiencia. Por ejemplo, asegúrese de que los datos son claros y la información es relevante. Intente que el vocabulario y los detalles sean adecuados para la audiencia. Utilice pruebas para respaldar los puntos o procesos clave. Preste atención a las necesidades de los oyentes y conseguirá una audiencia más receptiva. Portugesezko lehenengo bertsioa, 1768.

2 Testuinguru politikoa
K. a : Alexandro Handia 11 urtetan Indiaraino heldu zen. “Greziera batua” herrien arteko hizkuntza izatera heldu zen. K. a. 323: jeneralek inperioa banatu zuten; Ptolomeo I.a Soter Egipton ezarri zen. Ptolomeo I.a Soterek Museoa eta Biblioteka eraiki zituen Alexandrian. En la introducción, exponga la importancia del tema para la audiencia. Ofrezca un breve adelanto de la presentación y demuestre el valor que puede tener para los oyentes. Tenga en cuenta el interés y la experiencia de la audiencia en el tema a la hora de elegir el vocabulario, los ejemplos y las ilustraciones que va a utilizar. Céntrese en la importancia que tiene el tema para la audiencia y conseguirá que los oyentes estén más atentos.

3 Testuinguru matematikoa
Mesopotamian eta Egipton matematika erabilera praktikoei lotuta zegoen. Greziarrek matematika bera gaitzat hartu zuten. Greziarrek frogabidearen beharra ezarri zuten. Aristotelesek (K. a ) zientzia guztiak axiomatizatu behar zirela zioen. Si tiene que exponer varios puntos, pasos o ideas importantes, utilice varias diapositivas. Considere si la audiencia va a poder comprender una nueva idea, aprender un proceso o recibir información más detallada de un concepto familiar. Respalde cada punto con una explicación adecuada. Cuando sea necesario, complete la presentación con datos técnicos en papel o en disco, por correo electrónico o a través de Internet. Desarrolle cada punto de forma que pueda establecer una comunicación con la audiencia.

4 Elementuak Hamahiru liburuk osatzen dute.
I.-IV. eta VI. liburuetan planoko geometriaz idatzi zuen. V. liburuan magnitudeak eta proportzioak landu zituen. VII.-IX. liburuetan zenbaki-teoria garatu zuen. X. liburuan zenbaki irrazionalak sailkatu zituen. XI.-XIII. liburuetan espazioko geometriaz aritu zen. Elija la mejor conclusión para la audiencia y la presentación. Termine con un resumen, una oferta de opciones, una recomendación de una estrategia o un plan, o con el establecimiento de un objetivo. Intente no desviarse del tema principal durante la presentación y tendrá más posibilidades de alcanzar su objetivo.

5 Byrne-ren edizioaren I. liburuaren 1. proposizioa, 1847
Elementu batzuk Byrne-ren edizioaren I. liburuaren 1. proposizioa, 1847

6 Definizioak Izendapen hutsak (I) 1. Puntu bat zatirik ez duena da.
Postulatuen beharra dutenak (I) 15. Zirkulu bat [] lerro batek eratutako irudi lau bat da, non irudiaren barnean dauden puntuetako batetik [] erortzen diren zuzen guztiak elkarren berdinak diren. [3. post.] Existentzia frogatzekoak (I) 22. Lau aldeko irudien artean, karratu bat ekilateroa eta angeluzuzena dena da... [I, 46] Eraikitzaileak (XI) 14. Zirkuluerdi baten diametroa finko edukiz, zirkuluerdia birarazten denean eta mugitzen hasi zen posizio berera berriro itzultzen denean, eratutako irudia esfera bat da

7 Postulatuak Geometriari dagozkionak Postula bitez:
Lerro zuzen bat marraztea edozein puntutatik edozein puntutara. Zuzen finitu bat etengabe luzatzea lerro zuzenean. Zirkulu bat egitea edozein zentro eta distantzia hartuz. Angelu zuzen guztiak elkarren berdinak izatea. 5. Zuzen batek bi zuzen ebakitzean alde bereko barne-angeluak bi angelu zuzen baino txikiagoak egiten baditu, bi zuzenek, mugagabeki luzaturik, elkarrekin topo egingo dute bi angelu zuzen baino txikiagoak diren angeluen aldean.

8 Nozio komunak Zientzia guztien egia komunak
1. Gauza beraren berdinak diren gauzak elkarren berdinak ere badira. Gauza berdinei gauza berdinak eransten bazaizkie, guztizkoak ere berdinak dira. Gauza berdinei gauza berdinak kentzen bazaizkie, hondarrak ere berdinak dira. Elkarrekin bat datozen gauzak elkarren berdinak dira. 5. Osoa zatia baino handiagoa [da].

9 Proposizioen egitura Enuntziatua: problemetan, eraiki behar den objektua edo, teoremetan, ezarri behar den ezaugarria proposatzen da. Irudia: frogabide guztiek irudien laguntza dute. Azalpena: enuntziatua kasu batean zehazten da eta letrak erabiltzen dira elementuak izendatzeko. Zehaztapena: frogabidearen helburua kasuari egokitzen zaio, problemetan “ ... egin behar da” esamoldearekin eta Q. E. F. bukaerarekin eta teoremetan “Nik diot ezen ...” esamoldearekin eta Q. E. D. bukaerarekin. Prestatzea: frogabiderako behar diren objektuak edo erlazioak sortzen dira emandako datuetatik. Frogabidea: dedukzio-kate bat da, definizio, postulatu edo nozio komunak erabiliz zein aurreko emaitzak erabiliz. Ondorioa: baieztatzen da objektua eraiki dela, problemen kasuan, eta ezaugarria ezarri dela, teoremen kasuan.

10 Enuntziatua Prestatzea Irudia Frogabidea Ondorioa (IX) 20. proposizioa
Zenbaki lehenak gehiago dira zenbaki lehenen edozein kopuru proposatu baino. Enuntziatua Izan bitez A, B, C proposaturiko zenbaki lehenak. Azalpena Nik diot ezen zenbaki lehenak A, B, C baino gehiago direla. Zehaztapena Bada, har bedi A, B, C zenbakiek neurtutako zenbaki txikiena, eta izan bedi DE; eta erants bekio DEri DF unitatea. Prestatzea Frogabidea Orduan, EF edo lehena da, edo ez da. Izan bedi lehena, lehendabizi; orduan, A, B, C, EF zenbaki lehenak aurkitu dira, A, B, C baino gehiago direnak. Baina, orain, ez bedi izan EF lehena; orduan, zenbaki lehenen batek neurtua da [VII, 31]. Izan bedi G zenbaki lehenak neurtua. Nik diot ezen G ez dela A, B, C zenbakietako bat bera ere. Bada, ahal balitz, izan bedi horrela. Baina A, B, C zenbakiek DE neurtzen dute; orduan, Gk ere DE neurtuko du. Baina EF ere neurtzen du. Eta Gk, zenbaki bat izanik, gainerako DF unitatea ere neurtuko du; eta hori absurdoa da. Beraz, G ez da A, B, C zenbakietako bat bera ere. Eta suposatu da lehena dela. Irudia Ondorioa Ondorioz, A, B, C, G zenbaki lehenak aurkitu dira, A, B, C zenbakien kopuru proposatua baino gehiago direnak. Q. E. D.

11 Kasuz kasuko azterketa
Frogabide-metodoak Kasuz kasuko azterketa Lehendabizi, izan bedi handiagoa; eta eraiki bedi BAE angelua, ABD angeluaren berdina, BA zuzenean eta horren A puntuan; eta luza bedi DB Eraino, eta marraz bedi EC. Bada, ABE angelua BAE angeluaren berdina denez, EB zuzena ere EAren berdina da [I, 6]. Eta, AD DCren berdina denez, eta DE komuna denez, orduan AD, DE bi aldeak CD, DE bi aldeen berdinak dira, hurrenez hurren; eta ADE angelua CDE angeluaren berdina da, bakoitza zuzena delako; hortaz, AE oinarria CE oinarriaren berdina da. Baina frogatu da AE BEren berdina dela; hortaz, BE CEren berdina da; beraz, AE, EB, EC hiru zuzenak elkarren berdinak dira. Bada, zentrotzat E eta distantziatzat AE, EB, EC zuzenetako bat hartuz egindako zirkulua gainerako puntuetatik ere pasako da eta marrazketa osatua izango da [III, 9]. Hortaz, emandako zirkulu-segmentuari dagokion zirkulua osatu da. Eta bistakoa da ABC segmentua zirkuluerdia baino txikiagoa dela, E zentroa hortik kanpo dagoelako. Antzeko eran, ABD angelua BAD angeluaren berdina bada, AD BD, DC bakoitzaren berdina izatean, DA, DB, DC hirurak elkarren berdinak dira, eta D izango da zirkulu osatuaren zentroa, eta, jakina, ABC zirkuluerdi bat izango da. Baina, ABD angelua BAD angelua baino txikiagoa bada, eta BA zuzenean eta horren A puntuan ABD angeluaren berdina den angelu bat eraikitzen badugu, zentroa DB zuzenaren gainean eroriko da ABC segmentuaren barnean, eta ABC segmentua zirkuluerdia baino handiagoa izango da argiro. Ondorioz, zirkulu-segmentu bat emanik, zirkulu osoa egin da. Q. E. F. (III) 25. proposizioa Zirkulu-segmentu bat emanik, osatu segmentuari dagokion zirkulua. Izan bedi ABC emandako zirkulu-segmentua. Bada, ABC segmentuari dagokion zirkulua osatu behar da. Erdibitu bedi, bada, AC D puntuan, eta marraz bedi DB ACrekin angelu zuzenak eratuz D puntutik, eta marraz bedi AB. Orduan, ABD angelua BAD angelua baino handiagoa, edo berdina, edo txikiagoa da.

12 Absurdora eramateko metodoa
Frogabide-metodoak Absurdora eramateko metodoa (I) 6. proposizioa Triangelu baten bi angelu elkarren berdinak badira, angelu berdinen aurkako aldeak ere elkarren berdinak izango dira. Izan bedi ABC triangelu bat, ABC angelua ACB angeluaren berdina duena. Nik diot ezen AB aldea ere AC aldearen berdina dela. Bada, AB ACren berdina ez bada, horietako bat handiagoa da. Izan bedi AB handiena. Eta ken bekio AB handienari AC txikienaren berdina den DB, eta marraz bedi DC. Baina, DB ACren berdina denez, eta BC komuna denez, orduan DB, BC bi aldeak ere AC, CB bi aldeen berdinak dira, hurrenez hurren, eta DBC angelua ACB angeluaren berdina da. Hortaz, DC oinarria AB oinarriaren berdina da, eta DBC triangelua ACB triangeluaren berdina izango da, txikiena handienaren berdina; eta hori absurdoa da. Orduan, AB ez da ACren desberdina; beraz, berdinak dira. Ondorioz, triangelu baten bi angelu elkarren berdinak badira, angelu berdinen aurkako aldeak ere elkarren berdinak izango dira. Q. E. D.

13 Frogabide-metodoak Exhauzio-metodoa (X) 1. proposizioa
Bi magnitude desberdin emanik, handienari bere erdia baino handiagoa den magnitudea kentzen bazaio, eta geratzen denari bere erdia baino handiagoa den magnitudea, eta horrela ondoz ondo, emandako magnitude txikiena baino txikiagoa izango den magnitude bat geratuko da. Izan bitez AB, C bi magnitude desberdin, zeinetatik AB handiena den. Nik diot ezen ABri bere erdia baino handiagoa den magnitudea kentzen bazaio, eta gainerakoari bere erdia baino handiagoa den magnitudea, eta horrela ondoz ondo, C magnitudea baino txikiagoa izango den magnitude bat geratuko dela. Izan ere, C, biderkaturik, AB baino handiagoa izango da noizbait [V, 4. def.]. Biderka bedi eta izan bedi DE AB baino handiagoa den Cren multiploa; zatitu bedi DE Cren berdinak diren DF, FG, GE zatietan; ken bekio ABri bere erdia baino handiagoa den BH, eta AHri bere erdia baino handiagoa den HK, eta horrela ondoz ondo ABren zatiketak, kopuruan, DEren zatiketen berdinak izan arte. Izan bitez, bada, AK, KH, HB zatiak, DF, FG, GE zatien berdinak kopuruan. Baina, DE AB baino handiagoa denez, eta DEri bere erdia baino txikiagoa den EG kendu zaionez, eta ABri bere erdia baino handiagoa den BH, orduan gainerako GD magnitudea gainerako HA baino handiagoa da. Eta, GD HA baino handiagoa denez, eta GDri GF bere erdia kendu zaionez, eta HAri bere erdia baino handiagoa den HK, orduan gainerako DF gainerako AK baino handiagoa da. Baina DF Cren berdina da; beraz, C ere AK baino handiagoa da. Hortaz, AK C baino txikiagoa da. Ondorioz, AB magnitudetik emandako C magnitudea baino txikiagoa den AK magnitudea geratzen da. Q. E. D.

14 Euklidesen ekarpenak Frogabideei irudiak lotu zizkien.
Objektuak letren bidez izendatu zituen. Terminologia finkatu zuen. Frogabide-metodo desberdinak erabili zituen. Geometriaren axiomatizazioa.

15 Itzulpenaren zailtasunak
Liburua: dibulgazioa vs ikerketa Itzulpena: hitzez hitzekoa vs moldatua Lanaren luzera Terminologia Irudiak Esamoldeak X. liburua

16 Terminologia gehiegitza, diferentzia
angeluberdinak / elkarren angeluberdinak hiruki, lauki, laukizuzen vs triangelu, karratu, errektangelu batezbestekoa zatia izan / zatiak izan (luzeran) elkarrekin neurgarriak / (luzeran) elkarrekin neurtezinak karratuan elkarrekin neurgarriak / karratuan elkarrekin neurtezinak arrazionalak / irrazionalak exhauzio apotoma, medial, majore, bimedial lehena... ...

17 Irudiak Bertsio desberdinetan irudi desberdinak
Proposizioen esanahia ulertzeko (VI) 28. proposizioa Gainezarri emandako zuzen bati emandako irudi lerrozuzen baten berdina den paralelogramo bat, emandako baten antzekoa den irudi paralelogramiko batean txikiagoa dena; baina beharrezkoa da emandako irudi lerrozuzena ez izatea handiagoa zuzenaren erditik eraikitako eta diferentziaren antzekoa den paralelogramoa baino.

18 Esamoldeak (I) 26. proposizioa
Baldin bi triangeluk bataren bi angelu bestearen bi angeluren berdinak badituzte, hurrenez hurren, eta bataren alde bat bestearen alde baten berdina, dela angelu berdinei dagokiena, dela angelu berdinetako baten aurkakoa, bataren gainerako aldeak bestearen gainerako aldeen berdinak ere izango dituzte, eta bataren gainerako angelua bestearen gainerako angeluaren berdina. (II) 10. proposizioa Zuzen bat erdibitzen bada eta lerro zuzenean beste zuzen bat eransten bazaio, osoaren eta erantsitakoaren karratua eta erantsitakoaren karratua, batera harturik, erdiaren karratua gehi erdiaz eta erantsitakoaz konposatutako zuzenetik, zuzen bakar bezala harturik, eraikitako karratuaren bikoitza dira. (II) 12. proposizioa Triangelu kamutsetan, angelu kamutsaren aurkako aldearen karratua angelu kamutsa eratzen duten aldeen karratuak baino handiagoa da, angelu kamutsaren aldeetako batek, perpendikularra erortzen den horrek, eta perpendikularrak angelu kamutseraino moztutako kanpoko zuzenak eratutako errektangeluaren bikoitzean. (V) 17. definizioa Arrazoi bat berdintasunez gertatzen da, zenbait magnitude egonik, eta horien kopuru berdinean beste batzuk ere egonik, zeinek binaka harturik arrazoi bera duten, lehenengo magnitudeen artean lehenengoa azkenarekiko den bezalakoa denean lehenengoa azkenarekiko bigarren magnitudeen artean. Edo, bestela esanda, muturrak hartzean datza, erdikariak kontuan hartu gabe.

19 (V) 15. proposizioa (frogabidean)
hortaz, E Grekiko nolako, halako da F Hrekiko [V, 5. def.]. (V) 15. proposizioa (frogabidean) Bada, AB Cren multiploa denez, DE Fren multiplo bera, orduan zenbat magnitude dauden ABn Cren berdinak, beste hainbat egongo dira DEn Fren berdinak. (VII) 6. proposizioa Zenbaki bat zenbaki baten zatiak bada, eta beste bat beste baten zati berak bada, batura ere baturaren zatiak izango da, bata bestearena den zati berak. (VIII) 18. proposizioa Bi zenbaki lau antzekoren artean batezbesteko proportzionala den zenbaki bat dago; eta zenbaki lauak zenbaki lauarekin du aldeak dagokion aldearekin duenaren arrazoi bikoiztua. (X) 40. proposizioa Karratuan elkarrekin neurtezinak diren bi zuzen batzen badira, horien karratuen batura mediala eta horiek eratutako errektangelua arrazionala egiten dituztenak, zuzen osoa irrazionala da; dei bekio azalera arrazional baten eta azalera medial baten baturaren baliokidea den karratuaren aldea.

20 X. liburua = 21. proposizioa
Arrazionalak eta karratuan soilik elkarrekin neurgarriak diren zuzenek eratutako errektangelua irrazionala da, eta horren berdina den karratuaren aldea ere irrazionala da; dei bekio azkenari mediala. Izan bedi, bada, AC errektangelua arrazionalak eta karratuan soilik elkarrekin neurgarriak diren AB, BC zuzenek eratutakoa. Nik diot ezen AC irrazionala dela, eta horren berdina den karratuaren aldea ere irrazionala dela, eta dei bekio azkenari mediala. AB = r mediala = = BC = irrazionala

21 Eskerrak Yosu Yurramendi: jardunaldi hau antolatzeagatik
Lola Figueiredo: letrak eta enuntziatuak zuzentzen eta azala diseinatzen lagundu didana Idoia Larrañaga: frontoiaren egilea Javier Alonso eta Cristina Lasa: grezierazko hitzak zuzentzen lagundu didatenak Xabier Artola: denbora osoan alboan izan dudalako Agustin Arrieta: ideiaren sortzailea eta hitzaurrearen egilea Joserra Etxebarria: itzulpena zuzendu eta “euskaldundu” duena Elhuyar fundazioko langileak: nire “erokeriak” aurrera eraman dituztelako Yosu Yurramendi: jardunaldi hau antolatzeagatik

22 Jose Ramon Etxebarria Udako Euskal Unibertsitatekoa.

23 1 Zuzenketa-lanaren zenbait adibide 1. Terminologia “klasikoagoa” erabiltzea I. lib. 20. def. Hiru aldeko irudien artean, triangelu alde-berdin bat bere hiru alde berdinak dituena da; triangelu isoszele bat bere aldeetako bi bakarrik berdin dituena, eta triangelu eskaleno bat bere hiru aldeak desberdinak dituena. Alde-berdin/aldeberdin ekilateroa Hiru aldeko irudien artean, triangelu ekilateroa bere hiru alde berdinak dituena da; triangelu isoszelea bere aldeetako bi bakarrik berdin dituena, eta triangelu eskalenoa bere hiru aldeak desberdinak dituena.

24 2. Kontzeptuak eta esamoldeak zehazkiago adieraztea
I. lib. 1. post. Lerro zuzen bat marraztea puntu orotarik puntu orotara. Lerro zuzen bat marraztea edozein puntutatik edozein puntutara.

25 3. Hitzen ordena aldatzea
I. lib. 4. prop. Bi triangeluk baldin badituzte bataren bi alde bestearen bi alderen berdinak, eta zuzen berdinek eratzen dituzten angeluak berdinak badituzte, dagozkien oinarriak era berdinak izango dituzte. Baldin bi triangeluk bataren bi alde bestearen bi alderen berdinak badituzte, eta zuzen berdinek eratzen dituzten angeluak berdinak badituzte, dagozkien oinarriak era berdinak izango dituzte.

26 Hitzen ordena aldatzea-2 (errepikapena)
4 Hitzen ordena aldatzea-2 (errepikapena) I. lib. 8. prop. Bi triangeluk baldin badituzte bataren bi alde bestearen bi alderen berdinak, hurrenez hurren, eta dagozkien oinarriak ere berdinak badituzte, zuzen berdinek eratzen dituzten angeluak ere berdinak izango dituzte. Baldin bi triangeluk bataren bi alde bestearen bi alderen berdinak badituzte, hurrenez hurren, eta dagozkien oinarriak ere berdinak badituzte, zuzen berdinek eratzen dituzten angeluak ere berdinak izango dituzte.

27 Hitzen ordena aldatzea-3
5 Hitzen ordena aldatzea-3 I. lib. 5. prop. testu barruan AF zuzen osoa AG zuzen osoaren berdina denez, AB eta AC zatiak berdinak izanik, BF gainerako zatia CG gainerako zatiaren berdina da. AF zuzen osoa ag zuzen osoaren berdina denez, AB eta AC zatiak berdinak izanik, gainerako BF zatia gainerako CG zatiaren berdina da

28 Hitzen ordena aldatzea-4
6 Hitzen ordena aldatzea-4 I. lib. 6. prop. testu barruan Bada, AB ez bada ACren berdina, horietako bat handiagoa da. Bada, AB ACren berdina ez bada, horietako bat handiagoa da.

29 Hitzen ordena aldatzea-5
7 Hitzen ordena aldatzea-5 I. lib. 6. prop. testu barruan Altuera beraren azpian dauden triangeluak eta paralelogramoak dira elkarren artean beren oinarriak bezala. Altuera beraren azpian dauden triangeluak eta paralelogramoak beren oinarriak bezalakoak dira elkarrekiko.

30 4. Esamolde eginak, egitura errepikakor berekoak, erabakitzea-1
8 4. Esamolde eginak, egitura errepikakor berekoak, erabakitzea-1 Hori da egin behar zena. Q. E. F. Quod erat faciendum Hori da frogatu behar zena. Q. E. D. Quod erat demonstrandum Nik diot ezen AB aldea ere AC aldearen berdina dela. 1. lib. 1. prop. 1. lib. 5. prop. 1. lib. 6. prop.

31 Esamolde eginak, egitura errepikakor berekoak, erabakitzea-2
9 Esamolde eginak, egitura errepikakor berekoak, erabakitzea-2 VI/VII. lib. A Brekiko den bezalakoa, horrelakoa da D Erekiko. II. lib. 11. prop. Zatitu emandako zuzen bat halako moldez non osoak eta segmentuetako batek eratutako errektangelua gainerako segmentuaren karratuaren berdina den.

32 Esamolde eginak, zenbait definizio eta proposiziotan
10 Esamolde eginak, zenbait definizio eta proposiziotan III. 1. def. Zirkulu berdinak dira diametro berdinak dituztenak edo erradio berdinak dituztenak. V. lib. 9. prop. Magnitude berarekin arrazoi bera duten magnitudeak elkarren berdinak dira; eta magnitude batek (beste) magnitude batzuekin arrazoi bera badu, (beste) magnitude horiek (elkarren) berdinak dira.

33 5. Aposizioa erabiltzea letra arteko nahasteak ekiditeko
11 5. Aposizioa erabiltzea letra arteko nahasteak ekiditeko I. lib. 6. prop. testuan Nik diot ezen AB ere ACren berdina dela. Nik diot ezen AB aldea ere AC aldearen berdina dela. II. lib. 10. prop. testuan Baina, ECren karratua CAren karratuaren berdina denez, EC, CAren karratuak CAren karratuaren bikoitza dira. Baina, ECren karratua CAren karratuaren berdina denez, EC, CA zuzenen karratuak CAren karratuaren bikoitza dira.

34 12 6. Beste zenbait arazo – Letrakera bertsala erabiltzearen praktikotasuna. – Eta lokailu kopulatiboa ez erabiltzea. – Deklinabide-marka kasu guztietan jarri ala ez. – …