DIMENSIÓN FRACTAL: APARICIÓN Y CÁLCULO MEDIANTE EL MÉTODO BOX COUNTING EN DISTINTOS ÁMBITOS AUTORES: CONCEPCIÓN CARMONA CHAVERO , AMINE CHAGHIR CHIKHAOUI.

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1 DIMENSIÓN FRACTAL: APARICIÓN Y CÁLCULO MEDIANTE EL MÉTODO BOX COUNTING EN DISTINTOS ÁMBITOS
AUTORES: CONCEPCIÓN CARMONA CHAVERO , AMINE CHAGHIR CHIKHAOUI , JUAN JESÚS ESPADA CHAVERO

2 ¿QUÉ ES UN FRACTAL? En 1967, Benoît Mandelbrot publicó en Science «¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?», donde se exponen sus ideas tempranas sobre los fractales. El término fractal deriva del latín fractus que significado quebrado o fracturado. Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, esta fragmentada y es irregular.

3 ¿QUÉ ES UN FRACTAL? Según Mandelbroit los fractales mantienen siempre un mismo patrón aun aumentado la escala. Presentan las siguientes características: Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales (segmentos, circunferencias, …) Poseen detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta o aproximadamente).

4 ¿QUÉ ES UN FRACTAL? El concepto de fractal sirvió para dar nombre a ciertas estructuras matemáticas que habían surgido con anterioridad (sobre todo a finales del siglo XIX y primera mitad del siglo XX), objetos con propiedades no convencionales que guardaban ciertas similitudes en su proceso de generación: Copo de Nieve de Koch Cubo/Esponja de Menger

5 COPO DE NIEVE DE KOCH Se parte de un segmento que se divide en tres partes iguales reemplazando la parte central por otras dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados. Se obtienen cuatro segmentos, en los cuales se llevaría a cabo el mismo procedimiento del que se obtendrían 16 segmentos más pequeños. Se sigue este proceso para obtener la denominada curva de Koch. Si se realiza esa operación sobre los tres segmentos que componen un triángulo equilátero, se obtiene el denominado copo de nieve de Koch, que posee un área limitada y un perímetro infinito

6 CUBO DE MENGER Su construcción se basa en un cubo en el cual se divide cada cara en 9 cuadrados, estos se vuelven a subdividir en 27 cubos mas pequeños. Se eliminan ahora los cubos centrales de cada cara (6) y el cubo central (1) dejando solamente 20 cubos. Se repite este proceso para cada uno de los 20 cubos menores restantes dando lugar al cubo de Menger también conocida como esponja de Menger. Su superficie es ilimitada y su volumen es 0 o nulo.

7 FRACTALES EN LA NATURALEZA
La naturaleza presenta multitud de fenómenos de carácter fractal, muchos más de los que nos podemos imaginar y con propiedades tan sorprendentes como las de los objetos matemáticos que se acaban de ver: La trayectoria que sigue una partícula de polen que realiza movimiento aparentemente caótico; La forma de las cadenas montañosas; La configuración de los sistemas respiratorio, nervioso y circulatorio en vertebrados; La morfología de algunas plantas y animales…

8 DIMENSIÓN FRACTAL La dimensión fractal es un número real positivo que generaliza el concepto de dimensión ordinaria (0 para un punto, 1 para una línea, 2 para una superficie, …) para los fractales, es decir, para objetos geométricos que no permiten un estudio clásico – euclídeo del mismo. Hay múltiples métodos para calcular la dimensión de un fractal. El empleado en este trabajo es el método de Conteo de Cajas o Box Counting.

9 ¿CÓMO SE CALCULA LA DIMENSIÓN FRACTAL POR EL MÉTODO BOX COUNTING?
Se traza sobre un fractal plano una malla formada por cuadrados de tamaño r para seguidamente contar cuántos de estos cuadrados son necesarios para cubrir el fractal estudiado. Se denota N(r) a dicho número de cuadrados, que evidentemente depende del tamaño r. A continuación, se reitera el proceso con una malla cada vez más fina, es decir, con cuadrados cuyo lado r sea cada vez más pequeño.

10 ¿CÓMO SE CALCULA LA DIMENSIÓN FRACTAL POR EL MÉTODO BOX COUNTING?
La dimensión box counting de este fractal se calcula de la siguiente forma: siendo ese logaritmo de base decimal (o de cualquier base).

11 AYUDÁNDONOS DE LA RECTA DE REGRESIÓN
Ahora bien, como en la práctica es imposible realizar ese cálculo, se debe recurrir a aproximarlo de la mejor manera posible. Para ello, se actúa de la siguiente manera: Tras realizar varias mediciones con mallas tan estrechas como sea posible, se representa en una gráfica de ejes coordenados, cada una de estas como un punto: x = log(1/r) y = log(N(r)) De forma que se pueda elaborar un gráfico como el siguiente:

12 AYUDÁNDONOS DE LA RECTA DE REGRESIÓN
A medida que la malla cada vez se hace más fina, los puntos aparecen se alinean cada vez más y la dimensión box counting se puede calcular como la pendiente de la recta que los une. Calculada la recta de regresión (la recta que mejor se aproxima) y eliminando si es necesario los primeros puntos de la gráfica, se puede tomar su pendiente como valor aproximado.

13 NECESIDAD DE HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS
A la hora de realizar en la práctica todos los pasos necesarios para el cálculo de la dimensión box counting de un fractal, es necesario utilizar herramientas informáticas. Que permitan el correcto tratamiento de la imagen (división en celdas y recuento de las celdas seleccionadas) FRACKOUT Que permitan realizar todos los cálculos involucrados (logaritmos, diseño de gráficas, recta de regresión, pendiente de esta,…) HOJA DE CÁLCULO EXCEL

14 FRACKOUT Tras abrir la imagen con el programa FrackOut, inicialmente el programa emplea una sola celda para toda la imagen como se puede observar a continuación: Con la función “Fill Cell” se irán añadiendo cuadrículas nuevas en las que las celdas serán cada vez de menor tamaño. A la derecha, se va generando una tabla en la que se detalla el tamaño (en píxeles) de las celdas empleadas en cada cuadrícula y el número de estas que se han seleccionado por formar parte del contorno.

15 FRACKOUT Posteriormente va aumentando (125 celdas)
Inicialmente el programa emplea una única celda: Paso 7 con 255 celdas Último paso 1325

16 HOJA DE CÁLCULO EXCEL Una vez tratada la imagen, los datos son plasmados en una hoja de cálculo Excel:

17 HOJA DE CÁLCULO EXCEL Una vez completada la tabla, se ha generado el diagrama de dispersión que involucra a las dos últimas columnas, así como la recta de regresión y el ajuste (𝑹^𝟐) que esta tiene sobre los puntos dibujados, para finalmente aproximar la dimensión fractal box counting como la pendiente de esta recta. 1ª aprox: dimensión 1,2316 2ª aprox: dimensión 1,1166

18 FRACTALIDAD DE LOS EMBALSES DE LAS COMARCAS DE LA SERENA Y LA SIBERIA EXTREMEÑA

19 La Serena: Nuestro embalse más fractal Dimensión Box Counting 1’446
FRACTALIDAD DE LOS EMBALSES DE LAS COMARCAS DE LA SERENA Y LA SIBERIA EXTREMEÑA . La Serena: Nuestro embalse más fractal Dimensión Box Counting 1’446

20 FRACTALIDAD DE LAS COMUNIDADES AUTÓNOMAS DE ESPAÑA
COMUNIDAD AUTÓNOMA PRIMERA APROXIMACIÓN SEGUNDA APROXIMACIÓN Nº PASOS DIM R2 ANDALUCÍA 9 1.241 0.993 7 1.139 0.998 ARAGÓN 10 1.200 0.992 8 1.117 0.999 ASTURIAS 1.275 1.176 BALEARES 1.252 1.225 CANARIAS 1.245 6 1.236 CANTABRIA 1.248 1.183 CASTILLA Y LEÓN 1.316 0.991 CASTILLA – LA MANCHA 1.272 1.194 CATALUÑA 0.985 1.077 COMUNIDAD VALENCIANA 1.222 1.097

21 FRACTALIDAD DE LAS COMUNIDADES AUTÓNOMAS DE ESPAÑA
COMUNIDAD AUTÓNOMA PRIMERA APROXIMACIÓN SEGUNDA APROXIMACIÓN Nº PASOS DIM R2 EXTREMADURA 9 1.231 0.989 7 1.116 0.999 GALICIA 1.416 0.996 8 1.361 MADRID 10 1.235 0.991 1.138 MURCIA 1.220 0.983 1.060 NAVARRA 1.214 0.988 1.064 PAÍS VASCO 1.248 0.993 1.183 LA RIOJA 1.268 0.992 1.173 CEUTA 1.294 1.218 MELILLA 1.279 0.998

22 FRACTALIDAD DE LAS COMUNIDADES AUTÓNOMAS DE ESPAÑA
La comunidad con mas dimensión fractal es Galicia (1´36), le siguen Canarias y Baleares (1´236 y 1´225 respectivamente). La comunidad con menor dimensión fractal es Murcia (1´060), seguida de Navarra (1´064) y Cataluña (1´077) Galicia (1´361) Murcia (1´060)

23 JACKSON POLLOCK Jackson Pollock ( ), fue un influyente pintor estadounidense y una importante figura en el movimiento del expresionismo abstracto. Era reconocido por su estilo único de salpicar pintura. Pollock utilizaba pinceles endurecidos, varas, y jeringas para aplicar la pintura sobre un lienzo horizontal. La técnica de Pollock de verter y salpicar pintura (drip-and-splash) es reconocida como uno de los orígenes del action painting (pintura de acción). Con esta técnica, la pintura fluía literalmente desde la herramienta de su elección hacía el lienzo. En 1956 la revista Time apodó a Pollock "Jack, the dripper" (el salpicador), debido a su estilo al pintar.

24 FRACTALIDAD EN LA OBRA DE JACKSON POLLOCK
En 1999, un grupo de matemáticos dirigidos por Richard Taylor analizó las pinturas de Pollock y descubrió que la técnica que este utilizaba crea formas fractales. La idea de dimensión fractal puede aplicarse incluso al análisis, verificación de autenticidad y datación de la obra de Pollock. Pollock comenzó a crear pinturas con fractales en Sus primeras pinturas poseían una dimensión fractal de 1,45, pero al ir desarrollando su técnica la dimensión fractal aumentó, sus pinturas se iban haciendo más complejas. Una de las últimas pinturas de Pollock a base de gotas, conocida como Polos Azules, le costó seis meses de trabajo, con una dimensión fractal de 1,72.

25 FRACTALIDAD EN LA OBRA DE JACKSON POLLOCK
UN OBJETIVO: Constatar la presencia de fractalidad en las obras realizadas con las técnicas pictóricas de Jackson Pollock y medir la dimensión fractal de uno de sus cuadros. UN PROBLEMA: No contamos con ningún lienzo de Jackson Pollock. LA SOLUCIÓN: Hemos decido elaborar nuestro propio cuadro tipo Pollock con el fin de calcular su dimensión fractal. Para esta osadía se ha contado con la colaboración de nuestro profesor de arte Dionisio Moreno.

26 NUESTRO POLLOCK – PROCESO CREATIVO

27 NUESTRO POLLOCK YA TERMINADO

28 TRATAMIENTO DIGITAL DEL CUADRO CON FRACKOUT
Tras la elaboración del cuadro procedimos al cálculo de la dimensión fractal del mismo: Debido a las dificultades que supone el tratamiento minucioso de una imagen tan grande, se ha optado en los últimos pasos que se han podido realizar, tratar solamente una parte suficientemente representativa del cuadro elaborado y extrapolar proporcionalmente el resultado obtenido al tamaño real del cuadro. Veámoslo con un ejemplo: En el 10º paso, el número de cuadros totales sería de 49 = Sin embargo, se han realizado los cálculos en una región de 43 × 45 = 1075 cuadros, seleccionando 884 de estos. Extrapolando: 𝟖𝟖𝟒 𝟏𝟎𝟕𝟓 𝒅𝒆 𝟐𝟔𝟐𝟏𝟒𝟒=𝟐𝟏𝟓𝟓𝟔𝟕,𝟕𝟏𝟕≈𝟐𝟏𝟓𝟓𝟔𝟖

29 RESULTADOS OBTENIDOS r 1/r N(r) log(1/r) log(N(r)) 2551 0,000392003 1
-3, 1275,5 0, 4 -3, 0, 637,75 0, 16 -2, 1, 318,875 0, 64 -2, 1, 159,438 0, 256 -2, 2, 79,7188 0, 1024 -1, 3, 39,8594 0, 4096 -1, 3, 19,9297 0, 15916 -1, 4, 9,96484 0, 53599 -0, 4, 4,98242 0, 215568 -0, 5, 2,49121 0, 632747 -0, 5,

30 RESULTADOS OBTENIDOS En primera aproximación se ha obtenido 1´947, lo que supone una cota demasiado alta, por lo que se ha decidido eliminar los primeros siete pasos ya que en ellos se escogían la totalidad de celdas que se generaban. En la siguiente tabla se muestra como se reduce esta dimensión hasta valores más razonables al ir eliminando dichos pasos: Nº PASOS DIMENSIÓN 11 1,948 10 1,939 9 1,927 8 1,912 7 1,891 6 1,865 5 1,830 4 1,794 3 1,780 2 1,553 Eliminando los primeros siete pasos y descartando la última aproximación (basada tan solo en dos observaciones), se ha obtenido un valor entre 1,794 y 1,780, por lo que se ha decidido tomar finalmente la siguiente aproximación: 𝒅 𝒃𝒐𝒙 =𝟏,𝟕𝟖𝟔

31 CONCLUSIONES Y DIFICULTADES OBSERVADAS
A diferencia de los cálculos que se han hecho para fractales que se limitaban a un contorno o una silueta como eran los casos de embalses y comunidades autónomas, resulta difícil detallar cuál es la dimensión fractal de este cuadro. Esa dificultad aparece ya en propio proceso de conteo de cajas, ya que para tratar una imagen como la de este cuadro, se ha debido revisar celda a celda, lo que ha hecho que este trabajo resulte difícil y tedioso. Además, los últimos pasos que ha podido realizar el programa, cuyos cálculos no son más que extrapolaciones realizadas desde el estudio de una región del cuadro y que son, precisamente, los únicos valores tenidos en cuenta para hallar la dimensión box counting de este, no se hayan realizado con todo el cuidado que el estudio requería. De todas formas, e incluso tomando el menor de los valores obtenidos, una dimensión box counting de 1,55 parece una buena dosis de fractalidad la conseguida para unos drippers principiantes como nosotros.