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Formulación de problemas

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Presentación del tema: "Formulación de problemas"— Transcripción de la presentación:

1 Formulación de problemas
Ejemplo sencillo de producción Fábrica de muebles Dos productos: sillas modelo A y B Demanda estimada (máxima): A: B: 400 Beneficios por unidad: A: B: 3000 Requisitos de producción: A: 20 hh B: 15 hh Disponibilidad de trabajadores: 5000 hh/mes

2 Formulación de problemas
Función objetivo: beneficios max xA xB Restricciones: Capacidad de fabricación 20 xA + 15 xB  5000 Límites de demanda 0  xA  100 ,  xB  400

3 Formulación de problemas
Planteamiento: max xA xB s.a xA + 15 xB  5000 0  xA  100 0  xB  400

4 Formulación de problemas
Estimación costes generación eléctrica Obtener función cuadrática de costes c (x ) = a + b x + c x 2 Dados un conjunto de observaciones, ( xi , yi ) Encontrar la mejor función cuadrática que se ajuste a ellas Mínimo error en el ajuste

5 Formulación de problemas
Datos

6 Formulación de problemas
Planteamiento Función objetivo ( a - b c 1302 )2 + ( a - b 140 - c 1402 )2 + ( a - b c 1452 ) En formato compacto min i ( yi - a - b xi - c xi 2 )2 Función cuadrática de a, b, c

7 Formulación de problemas
Problema de transporte Descripción del problema: Atender demanda de dos productos PR1 y PR2 Para cuatro clientes C1, C2, C3 y C4 Desde tres almacenes A1, A2 y A3 Se dispone de datos sobre demandas, capacidades y costes 7

8 Formulación de problemas
Datos: Capacidades de almacenes Almacén A1 Almacén A2 Almacén A3 Demandas de clientes Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Producto PR Producto PR Coste de transporte PR1 Almacén A Almacén A Almacén A Coste de transporte PR2 Almacén A Almacén A Almacén A 8

9 Formulación de problemas
Otros datos: Espacio ocupado por los productos Producto PR1 Producto PR2 Costes fijos: Independientes de la cantidad Cada envío supone unos costes de 5000 ¿Tiempos de entrega? Se ignoran 9

10 Formulación de problemas
Planteamiento del problema: Variables: Cantidades a transportar desde cada almacén i a cada cliente j de cada producto k, xijk Función objetivo: Minimizar los costes de transporte totales minx ijk cijk xijk 10

11 Formulación de problemas
Planteamiento del problema: Función objetivo: 9x x x x x x132 + 28x x x x x221 + 27x x x Restricciones: Satisfacción de la demanda de cada cliente i xijk = djk j,k 11

12 Formulación de problemas
Restricciones: Formulación de satisfacción de demanda x111 + x211 + x311 = 1700, x112 + x212 + x312 = 750, x121 + x221 + x321 = 1200, ... Capacidad de los almacenes k ek j xijk  vi i Formulación 3(x111+x121+x131+x141) + 5 (x112+x122+x132+x142)  8500, 3(x211+x221+x231+x241) + 5 (x212+x222+x232+x242)  11500, ... 12

13 Formulación de problemas
Modelo resultante (un producto): min 9x x x x x x x x x33 + 28x x x34 s.a x11 + x21 + x31 = 1700 x12 + x22 + x32 = 1200 x13 + x23 + x33 = 1100 x14 + x24 + x34 = 1000 x11 + x12 + x13 + x14  1500 x21 + x22 + x23 + x24  2500 x31 + x32 + x33 + x34  1500 xij  0 i = 1,2,3 j = 1,2,3,4 Solución: x11 = 1500, x21 = 200, x22 = 700, x23 = 1100, x32 = 500, x34 = 1000 1 = -13, 2 = 0, 3 = -3, 1 = 22, 2 = 23, 3 = 12, 4 = 16 13

14 Formulación de problemas
Problema de transporte Formulación en AMPL set ORIG; # orígenes set DEST; # destinos param supply {ORIG} >= 0; # cantidades disponibles en orígenes param demand {DEST} >= 0; # cantidades a servir en destinos check: sum {i in ORIG} supply[i] >= sum {j in DEST} demand[j]; param cost {ORIG,DEST} >= 0; # costes de transporte por unidad var Trans {ORIG,DEST} >= 0; # número de unidades a transportar minimize total_cost: sum {i in ORIG, j in DEST} cost[i,j] * Trans[i,j]; subject to Supply {i in ORIG}: sum {j in DEST} Trans[i,j] = supply[i]; subject to Demand {j in DEST}: sum {i in ORIG} Trans[i,j] = demand[j]; 14

15 Formulación de problemas
Planteamiento del problema: Otras restricciones: Variables no pueden tomar valores negativos, xijk  0 Otras consideraciones: Costes fijos de envío: Sumar 5000 a la función objetivo por cada variable distinta de cero 15

16 Formulación de problemas
Planteamiento del problema: Costes fijos de envío: Se introducen nuevas variables, zijk Estas variables valen: 1 si se produce un envío (si xijk > 0) 0 si no se produce Término adicional en la función objetivo: ijk xijk 16

17 Formulación de problemas
Planteamiento del problema: Relación entre las variables x y z : xijk  K zijk donde K es constante suficientemente grande (mayor que cualquier valor razonable de x ) Condición sobre z : zijk  {0,1} i,j,k 17

18 Formulación de problemas
Campaña de publicidad Se quiere llevar a cabo una campaña de promoción de un nuevo producto Para ello se dispone de un presupuesto a invertir en diferentes medios publicitarios El objetivo es alcanzar la mayor audiencia posible de clientes potenciales 18

19 Formulación de problemas
Campaña de publicidad Medios disponibles: televisión, revistas, radio, periódicos, buzoneo Datos Audiencia Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo , Costes , , Recursos necesarios Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo Máximo Escritores Ilustradores Auxiliares 19

20 Formulación de problemas
Campaña de publicidad Otros datos: Presupuesto: 100 millones de Pta Campaña debe utilizar al menos tres medios Audiencia que se alcanza invirtiendo z millones de Pta. en un medio: a z 0,7 donde a constante indicada en la tabla 20

21 Formulación de problemas
Campaña de publicidad Variables: unidades de publicidad compradas a cada medio, xi Función objetivo: audiencia alcanzada, i ai xi o en el caso no lineal, i ai xi0,7 21

22 Formulación de problemas
Campaña de publicidad Restricciones Presupuesto: i ai xi  P Disponibilidad de recursos: i rij xi  dj j No negatividad: xi  0 Número mínimo de medios: i zi  3, xi  K zi , zi  {0,1} i zi  k xi ¿ valor de k ? 22

23 Formulación de problemas
Asignación de tripulaciones Determinar: Número de tripulaciones a tener disponibles durante los próximos meses Las tripulaciones pueden tomarse de una reserva, o devolverse a dicha reserva Se desea emplear el número mínimo de tripulaciones necesario 23

24 Formulación de problemas
Asignación de tripulaciones Condiciones: Se deben cubrir las horas de vuelo: Noviembre Diciembre Enero Febrero Cada tripulación puede hacer un máximo de 40 h. de vuelo al mes 24

25 Formulación de problemas
Asignación de tripulaciones Otras condiciones: Cada nueva tripulación debe ser entrenada Durante el primer mes, entrenamiento cuesta 10 h. a nueva tripulación y a una tripulación ya veterana Como máximo pueden tomarse de la reserva tres tripulaciones en un mes 25

26 Formulación de problemas
Asignación de tripulaciones Variables: Tripulaciones asignadas cada mes, xt Var. auxiliares para facilitar la formulación Número de tripulaciones a añadir at y a devolver a la reserva dt en cada mes Función objetivo: t xt 26

27 Formulación de problemas
Asignación de tripulaciones Restricciones: Cumplimiento de las horas: 40xt - 10at  ht Límite nuevas tripulaciones: at  3 Necesidades de entrenamiento: xt  at Relación entre variables: xt+1 = xt + at - dt No negatividad: xt , at , dt  0 Integralidad: xt , at , dt enteras 27

28 Formulación de problemas
Problema resultante min t xt s.a xt - 10at  ht xt+1 = xt + at - dt xt  at at  3 xt , at , dt  0 xt , at , dt enteras

29 Formulación de problemas
Optimización de carteras Dada una cantidad de dinero a invertir Determinar proporciones a invertir en distintos activos Criterios para seleccionar activos: Rentabilidad Riesgo 29

30 Formulación de problemas
Optimización de carteras Datos rentabilidades/riesgos: 30

31 Formulación de problemas
Optimización de carteras: Datos para la formulación Rentabilidades medias y objetivo: r = ( ) ,  = 5 Riesgos: matriz de covarianzas, R = 31

32 Formulación de problemas
Optimización de carteras Variables: Proporción de la cartera en activo i , xi Función objetivo: Riesgo de la cartera, medido por la varianza xTR x Restricciones: rentabilidad objetivo 32

33 Formulación de problemas
Optimización de carteras Restricciones Rentabilidad, rTx   Normalización, eTx = 1 No negatividad, x  0 33

34 Formulación de problemas
Optimización de carteras En formato menos compacto Rentabilidad, i ri xi   Normalización, i xi = 1 No negatividad, xi  0 Función objetivo, i rij xi xj

35 Formulación de problemas
Modelo resultante min xTR x s. a rTx   eTx = 1 x  0 Solución: x = ( )T

36 Formulación de problemas
Problema de producción Una empresa fabrica 3 productos: A, B y C empleando 5 equipos: I, II, III, IV y V El producto C requiere una unidad de A y 2 de B Los beneficios por unidad son: A: 20 B: 8 C: 38 Los tiempos necesarios por unidad son I II III IV V A B C El número de equipos disponibles es I: II: 5 III: IV: 4 V: 6 Cada equipo se puede operar 200 horas en un mes

37 Formulación de problemas
Problema de producción max xA + 8 xB + ( ) xC s.a xA xB  4000 0.1 xB  1000 0.5 xA xB  2000 0.1 xA xC  800 0.3 xA  1200 - xA xC  0 - xB xC  0 xA , xB , xC  0

38 Formulación de problemas
Problema en forma estándar max xA + 8 xB + ( ) xC s.a xA xB sI = 4000 0.1 xB sII = 1000 0.5 xA xB sIII = 2000 0.1 xA xC + sIV = 800 0.3 xA sV = 1200 - xA xC sA = 0 - xB xC + sB = 0 x , s  0

39 Formulación de problemas
Posibles soluciones ¿Puede ser solución fabricar las cantidades xA = 2500 , xB = 5000 , xC = 2000 ? (sI = 750, sII = 500, sIII = 0, sIV = 205, sV = 450, sA = 200, sB = 400) ¿Puede ser solución fabricar solo C? xA = 2500 , xB = 5000 , xC = (z = 95000) (sI = 750, sII = 500, sIII = 0, sIV = 175, sV = 450, sA = 0, sB = 0) III = -47.5, A = -3.75, B = 0.875 La solución es: xA = 1000 , xB = , xC = (z = ) (sI = 700, sII = 0, sIII = 0, sIV = 550, sV = 900, sA = 0, sB = 8000)

40 Formulación de problemas
Problema dual min yI + 10 yII yIII yIV yV s.a 0.8 yI yIII yIV yV - zA w1 = 20 0.25 yI yII yIII zB w2 = 8 0.15 yIV zA + 2zB - w3 = 2 y , z , w  0

41 Formulación de problemas
Planificación de generación eléctrica Se dispone de una central de generación Determinar niveles óptimos de generación Para una estimación de precios Correspondiente a 24 horas del día siguiente Beneficios Ingresos basados en precios de mercado Costes asociados a la tecnología 41

42 Formulación de problemas
Planificación de generación eléctrica Restricciones tecnológicas Límites a la generación 0  gt  400 Mínimos técnicos gt  { 0 , [100,400] } Límites en los cambios de nivel de generación De un periodo al siguiente, cambio máximo de 50 MWh 42

43 Formulación de problemas
Planificación de generación eléctrica Costes de generación Costes variables g g 2 Costes fijos Arranque: 720 , Parada: 260 Precios estimados 43

44 Formulación de problemas
Planificación de generación eléctrica Variables: niveles de generación gt Función objetivo: beneficios totales t ( pt gt gt gt2 ) Restricciones: Límites a los cambios de nivel -50  gt - gt -1  50 ¿Arranques y paradas? 44

45 Formulación de problemas
Restricciones planificación generación Valores permitidos de las variables gt = 100 zt + wt , 0  wt  300zt , zt  {0,1} Cambios en nivel de generación -50  wt - wt -1  50 Costes de arranque Cuándo se produce un arranque: yt  {0,1} Costes totales de arranque: t yt Relación con otras variables: zt - zt -1  yt 45

46 Formulación de problemas
Generación central ciclo combinado Central eléctrica: dos modos de operación Ciclo de gas Ciclo combinado (gas + carbón) Características diferentes en ambos ciclos Costes Capacidad Restricciones que ligan los ciclos

47 Formulación de problemas
Datos Costes operación: gas: cg + agx + bgx2 combinado: cc + acx + bcx2 Costes arranque: gas: sg combinado: sc Capacidades: gas: ug combinado: uc (mínimo: lc )

48 Formulación de problemas
Datos Tiempos mínimos: Entre arranque gas y arranque combinado: tc Entre apagado y arranque: ta Otros datos: Precios de mercado conocidos: pt Objetivo: Beneficios

49 Formulación de problemas
Variables Generación de energía en cada periodo: xt Ciclo de gas funcionando: yt Ciclo combinado funcionando: zt Arranque del ciclo de gas: vt Arranque del ciclo combinado: wt Función objetivo t [ pt xt - yt (cg + agx + bgx2 ) - zt (cc + acx + bcx2 - cg - agx - bgx2 ) - vt cg - wt cc ]

50 Formulación de problemas
Restricciones zt lc  xt  yt ug + zt (uc - ug ) wt  yt-t’ t’ = 0,...,tc vt  1 - yt-t’ t’ = 1,...,ta vt  yt - yt -1 wt  zt - zt -1 zt  yt yt , zt , vt , wt  { 0,1 }

51 Formulación de problemas
Ampliación de la red de transporte Estudiar la instalación de nuevas líneas para transmisión de energía eléctrica Se dispone de una red de transmisión Se estudian alternativas de líneas entre diferentes puntos (nodos) del sistema Se conocen a priori las características de las líneas a construir (y su coste)

52 Formulación de problemas
Datos Capacidades de generación, gi Capacidades máximas de las líneas, kij Coste de cada nueva línea, vij Conductancia de líneas, cij Susceptancia de líneas, ij Existencia de líneas, sij Vale 1 si la línea existe y 0 si no Límites para los ángulos de voltaje, dij

53 Formulación de problemas
Variables Energía transportada en cada línea, xij Generación en cada central, yi Construcción (o no) de una línea, zij Pérdidas en cada línea, wij Diferencia de ángulos de voltaje, ij

54 Formulación de problemas
Función objetivo: Coste de operación y construcción jj vij zij + j yi Restricciones Balance de energía - j sij xij + yi = di Pérdidas en las líneas wij = 2 cij zij (1 - cos ij ) Relación entre flujos y ángulos xij = ij zij sin ij

55 Formulación de problemas
Otras restricciones Restricciones de cota 0  xij  kij 0  yi  gi -dij  ij  dij zij  [0,1]

56 Formulación de problemas
Ejercicio formulación Frutos secos: almendras, cacahuetes, nueces Dispone de 150 Kg, 100 Kg y 50 Kg respect. Tres productos, con porcentajes A B C Beneficios esperados: 90 (A), 120 (B), 160 (C) ¿Cantidad de cada producto?

57 Formulación de problemas
Ejercicio formulación Dispones de 5 Mpta para invertir Alternativas Bonos a 1 año: 5,5 % Letras a 2 años: 12,5 % (total) Inicio del segundo año: oblig. a 3 años, 19 % Inversiones al comienzo de cada año Durante los próximos 5 años

58 Indice Ejemplo sencillo de producción
Estimación costes generación eléctrica Problema de transporte Campaña de publicidad Asignación de tripulaciones Optimización de carteras Problema de producción Planificación de generación eléctrica Generación central ciclo combinado


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