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1 Formulación de problemas Ejemplo sencillo de producción Fábrica de muebles Dos productos: sillas modelo A y B Demanda estimada (máxima): A: 100 B: 400.

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1 1 Formulación de problemas Ejemplo sencillo de producción Fábrica de muebles Dos productos: sillas modelo A y B Demanda estimada (máxima): A: 100 B: 400 Beneficios por unidad: A: 6000 B: 3000 Requisitos de producción: A: 20 hh B: 15 hh Disponibilidad de trabajadores: 5000 hh/mes

2 2 Formulación de problemas Función objetivo: beneficios max 6000 x A x B Restricciones: Capacidad de fabricación 20 x A + 15 x B 5000 Límites de demanda 0 x A 100, 0 x B 400

3 3 Formulación de problemas Planteamiento: max 6000 x A x B s.a 20 x A + 15 x B x A x B 400

4 4 Formulación de problemas Estimación costes generación eléctrica Obtener función cuadrática de costes c (x ) = a + b x + c x 2 Dados un conjunto de observaciones, ( x i, y i ) Encontrar la mejor función cuadrática que se ajuste a ellas Mínimo error en el ajuste

5 5 Formulación de problemas Datos

6 6 Formulación de problemas Planteamiento Función objetivo ( a - b c ) 2 + ( a - b c ) 2 + ( a - b c ) En formato compacto min i ( y i - a - b x i - c x i 2 ) 2 Función cuadrática de a, b, c

7 Formulación de problemas Problema de transporte Descripción del problema: Atender demanda de dos productos PR1 y PR2 Para cuatro clientes C1, C2, C3 y C4 Desde tres almacenes A1, A2 y A3 Se dispone de datos sobre demandas, capacidades y costes 7

8 Formulación de problemas Datos: Capacidades de almacenes Almacén A1 Almacén A2 Almacén A Demandas de clientes Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Producto PR Producto PR Coste de transporte PR1 Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Almacén A Almacén A Almacén A Coste de transporte PR2 Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4 Almacén A Almacén A Almacén A

9 Formulación de problemas Otros datos: Espacio ocupado por los productos Producto PR1 Producto PR2 3 5 Costes fijos: Independientes de la cantidad Cada envío supone unos costes de 5000 ¿Tiempos de entrega? Se ignoran 9

10 Formulación de problemas Planteamiento del problema: Variables: Cantidades a transportar desde cada almacén i a cada cliente j de cada producto k, x ijk Función objetivo: Minimizar los costes de transporte totales min x ijk c ijk x ijk 10

11 Formulación de problemas Planteamiento del problema: Función objetivo: 9x x x x x x x x x x x x x x Restricciones: Satisfacción de la demanda de cada cliente i x ijk = d jk j,k 11

12 Formulación de problemas Restricciones: Formulación de satisfacción de demanda x x x 311 = 1700, x x x 312 = 750, x x x 321 = 1200,... Capacidad de los almacenes k e k j x ijk v i i Formulación 3(x 111 +x 121 +x 131 +x 141 ) + 5 (x 112 +x 122 +x 132 +x 142 ) 8500, 3(x 211 +x 221 +x 231 +x 241 ) + 5 (x 212 +x 222 +x 232 +x 242 ) 11500,... 12

13 Formulación de problemas Modelo resultante (un producto): min 9x x x x x x x x x x x x 34 s.a x 11 + x 21 + x 31 = 1700 x 12 + x 22 + x 32 = 1200 x 13 + x 23 + x 33 = 1100 x 14 + x 24 + x 34 = 1000 x 11 + x 12 + x 13 + x x 21 + x 22 + x 23 + x x 31 + x 32 + x 33 + x x ij 0 i = 1,2,3 j = 1,2,3,4 Solución: x 11 = 1500, x 21 = 200, x 22 = 700, x 23 = 1100, x 32 = 500, x 34 = = -13, 2 = 0, 3 = -3, 1 = 22, 2 = 23, 3 = 12, 4 = 16 13

14 14 Formulación de problemas Problema de transporte Formulación en AMPL 14 set ORIG; # orígenes set DEST; # destinos param supply {ORIG} >= 0; # cantidades disponibles en orígenes param demand {DEST} >= 0; # cantidades a servir en destinos check: sum {i in ORIG} supply[i] >= sum {j in DEST} demand[j]; param cost {ORIG,DEST} >= 0; # costes de transporte por unidad var Trans {ORIG,DEST} >= 0; # número de unidades a transportar minimize total_cost: sum {i in ORIG, j in DEST} cost[i,j] * Trans[i,j]; subject to Supply {i in ORIG}: sum {j in DEST} Trans[i,j] = supply[i]; subject to Demand {j in DEST}: sum {i in ORIG} Trans[i,j] = demand[j];

15 Formulación de problemas Planteamiento del problema: Otras restricciones: Variables no pueden tomar valores negativos, x ijk 0 Otras consideraciones: Costes fijos de envío: Sumar 5000 a la función objetivo por cada variable distinta de cero 15

16 Formulación de problemas Planteamiento del problema: Costes fijos de envío: Se introducen nuevas variables, z ijk Estas variables valen: 1 si se produce un envío (si x ijk > 0) 0 si no se produce Término adicional en la función objetivo: ijk x ijk 16

17 Formulación de problemas Planteamiento del problema: Relación entre las variables x y z : x ijk K z ijk donde K es constante suficientemente grande (mayor que cualquier valor razonable de x ) Condición sobre z : z ijk {0,1} i,j,k 17

18 Formulación de problemas Campaña de publicidad Se quiere llevar a cabo una campaña de promoción de un nuevo producto Para ello se dispone de un presupuesto a invertir en diferentes medios publicitarios El objetivo es alcanzar la mayor audiencia posible de clientes potenciales 18

19 Formulación de problemas Campaña de publicidad Medios disponibles: televisión, revistas, radio, periódicos, buzoneo Datos Audiencia Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo ,5 2 Costes Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo 6 2,5 1 1,2 1 Recursos necesarios Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo Máximo Escritores Ilustradores Auxiliares

20 Formulación de problemas Campaña de publicidad Otros datos: Presupuesto: 100 millones de Pta Campaña debe utilizar al menos tres medios Audiencia que se alcanza invirtiendo z millones de Pta. en un medio: a z 0,7 donde a constante indicada en la tabla 20

21 Formulación de problemas Campaña de publicidad Variables: unidades de publicidad compradas a cada medio, x i Función objetivo: audiencia alcanzada, i a i x i o en el caso no lineal, i a i x i 0,7 21

22 Formulación de problemas Campaña de publicidad Restricciones Presupuesto: i a i x i P Disponibilidad de recursos: i r ij x i d j j No negatividad: x i 0 Número mínimo de medios: i z i 3, x i K z i, z i {0,1} i z i k x i ¿ valor de k ? 22

23 Formulación de problemas Asignación de tripulaciones Determinar: Número de tripulaciones a tener disponibles durante los próximos meses Las tripulaciones pueden tomarse de una reserva, o devolverse a dicha reserva Se desea emplear el número mínimo de tripulaciones necesario 23

24 Formulación de problemas Asignación de tripulaciones Condiciones: Se deben cubrir las horas de vuelo: Noviembre 440 Diciembre 580 Enero 600 Febrero 420 Cada tripulación puede hacer un máximo de 40 h. de vuelo al mes 24

25 Formulación de problemas Asignación de tripulaciones Otras condiciones: Cada nueva tripulación debe ser entrenada Durante el primer mes, entrenamiento cuesta 10 h. a nueva tripulación y a una tripulación ya veterana Como máximo pueden tomarse de la reserva tres tripulaciones en un mes 25

26 Formulación de problemas Asignación de tripulaciones Variables: Tripulaciones asignadas cada mes, x t Var. auxiliares para facilitar la formulación Número de tripulaciones a añadir a t y a devolver a la reserva d t en cada mes Función objetivo: t x t 26

27 Formulación de problemas Asignación de tripulaciones Restricciones: Cumplimiento de las horas: 40x t - 10a t h t Límite nuevas tripulaciones: a t 3 Necesidades de entrenamiento: x t a t Relación entre variables: x t+1 = x t + a t - d t No negatividad: x t, a t, d t 0 Integralidad: x t, a t, d t enteras 27

28 28 Formulación de problemas Problema resultante min t x t s.a 40x t - 10a t h t x t+1 = x t + a t - d t x t a t a t 3 x t, a t, d t 0 x t, a t, d t enteras

29 Formulación de problemas Optimización de carteras Dada una cantidad de dinero a invertir Determinar proporciones a invertir en distintos activos Criterios para seleccionar activos: Rentabilidad Riesgo 29

30 Formulación de problemas Optimización de carteras Datos rentabilidades/riesgos: 30

31 Formulación de problemas Optimización de carteras: Datos para la formulación Rentabilidades medias y objetivo: r = ( ), = 5 Riesgos: matriz de covarianzas, R =

32 Formulación de problemas Optimización de carteras Variables: Proporción de la cartera en activo i, x i Función objetivo: Riesgo de la cartera, medido por la varianza x T R x Restricciones: rentabilidad objetivo 32

33 Formulación de problemas Optimización de carteras Restricciones Rentabilidad, r T x Normalización, e T x = 1 No negatividad, x 0 33

34 34 Formulación de problemas Optimización de carteras En formato menos compacto Rentabilidad, i r i x i Normalización, i x i = 1 No negatividad, x i 0 Función objetivo, i r ij x i x j

35 35 Formulación de problemas Modelo resultante min x T R x s. a r T x e T x = 1 x 0 Solución: x = ( ) T

36 36 Formulación de problemas Problema de producción Una empresa fabrica 3 productos: A, B y C empleando 5 equipos: I, II, III, IV y V El producto C requiere una unidad de A y 2 de B Los beneficios por unidad son: A: 20 B: 8 C: 38 Los tiempos necesarios por unidad son I II III IV V A B C 0.15 El número de equipos disponibles es I: 20 II: 5 III: 10 IV: 4 V: 6 Cada equipo se puede operar 200 horas en un mes

37 37 Formulación de problemas Problema de producción max 20 x A + 8 x B + ( ) x C s.a 0.8 x A x B x B x A x B x A x C x A x A + x C 0 - x B + 2 x C 0 x A, x B, x C 0

38 38 Formulación de problemas Problema en forma estándar max 20 x A + 8 x B + ( ) x C s.a 0.8 x A x B + s I = x B + s II = x A x B + s III = x A x C + s IV = x A + s V = x A + x C + s A = 0 - x B + 2 x C + s B = 0 x, s 0

39 39 Formulación de problemas Posibles soluciones ¿Puede ser solución fabricar las cantidades x A = 2500, x B = 5000, x C = 2000 ? (s I = 750, s II = 500, s III = 0, s IV = 205, s V = 450, s A = 200, s B = 400) ¿Puede ser solución fabricar solo C? x A = 2500, x B = 5000, x C = 2500 (z = 95000) (s I = 750, s II = 500, s III = 0, s IV = 175, s V = 450, s A = 0, s B = 0) III = -47.5, A = -3.75, B = La solución es: x A = 1000, x B = 10000, x C = 1000 (z = ) (s I = 700, s II = 0, s III = 0, s IV = 550, s V = 900, s A = 0, s B = 8000)

40 40 Formulación de problemas Problema dual min 40 y I + 10 y II + 20 y III + 8 y IV + 12 y V s.a 0.8 y I y III y IV y V - z A - w 1 = y I y II y III + - z B - w 2 = y IV + z A + 2z B - w 3 = 2 y, z, w 0

41 Formulación de problemas Planificación de generación eléctrica Se dispone de una central de generación Determinar niveles óptimos de generación Para una estimación de precios Correspondiente a 24 horas del día siguiente Beneficios Ingresos basados en precios de mercado Costes asociados a la tecnología 41

42 Formulación de problemas Planificación de generación eléctrica Restricciones tecnológicas Límites a la generación 0 g t 400 Mínimos técnicos g t { 0, [100,400] } Límites en los cambios de nivel de generación De un periodo al siguiente, cambio máximo de 50 MWh 42

43 Formulación de problemas Planificación de generación eléctrica Costes de generación Costes variables g g 2 Costes fijos Arranque: 720, Parada: 260 Precios estimados

44 Formulación de problemas Planificación de generación eléctrica Variables: niveles de generación g t Función objetivo: beneficios totales t ( p t g t g t g t 2 ) Restricciones: Límites a los cambios de nivel -50 g t - g t ¿Arranques y paradas? 44

45 Formulación de problemas Restricciones planificación generación Valores permitidos de las variables g t = 100 z t + w t, 0 w t 300z t, z t {0,1} Cambios en nivel de generación -50 w t - w t Costes de arranque Cuándo se produce un arranque: y t {0,1} Costes totales de arranque: 720 t y t Relación con otras variables: z t - z t -1 y t 45

46 46 Formulación de problemas Generación central ciclo combinado Central eléctrica: dos modos de operación Ciclo de gas Ciclo combinado (gas + carbón) Características diferentes en ambos ciclos Costes Capacidad Restricciones que ligan los ciclos

47 47 Formulación de problemas Datos Costes operación: gas:c g + a g x + b g x 2 combinado:c c + a c x + b c x 2 Costes arranque: gas: s g combinado: s c Capacidades: gas: u g combinado: u c (mínimo: l c )

48 48 Formulación de problemas Datos Tiempos mínimos: Entre arranque gas y arranque combinado: t c Entre apagado y arranque: t a Otros datos: Precios de mercado conocidos: p t Objetivo: Beneficios

49 49 Formulación de problemas Variables Generación de energía en cada periodo: x t Ciclo de gas funcionando: y t Ciclo combinado funcionando: z t Arranque del ciclo de gas: v t Arranque del ciclo combinado: w t Función objetivo t [ p t x t - y t (c g + a g x + b g x 2 ) - z t (c c + a c x + b c x 2 - c g - a g x - b g x 2 ) - v t c g - w t c c ]

50 50 Formulación de problemas Restricciones z t l c x t y t u g + z t (u c - u g ) w t y t-t t = 0,...,t c v t 1 - y t-t t = 1,...,t a v t y t - y t -1 w t z t - z t -1 z t y t y t, z t, v t, w t { 0,1 }

51 51 Formulación de problemas Ampliación de la red de transporte Estudiar la instalación de nuevas líneas para transmisión de energía eléctrica Se dispone de una red de transmisión Se estudian alternativas de líneas entre diferentes puntos (nodos) del sistema Se conocen a priori las características de las líneas a construir (y su coste)

52 52 Formulación de problemas Datos Capacidades de generación, g i Capacidades máximas de las líneas, k ij Coste de cada nueva línea, v ij Conductancia de líneas, c ij Susceptancia de líneas, ij Existencia de líneas, s ij Vale 1 si la línea existe y 0 si no Límites para los ángulos de voltaje, d ij

53 53 Formulación de problemas Variables Energía transportada en cada línea, x ij Generación en cada central, y i Construcción (o no) de una línea, z ij Pérdidas en cada línea, w ij Diferencia de ángulos de voltaje, ij

54 54 Formulación de problemas Función objetivo: Coste de operación y construcción jj v ij z ij + j y i Restricciones Balance de energía - j s ij x ij + y i = d i Pérdidas en las líneas w ij = 2 c ij z ij (1 - cos ij ) Relación entre flujos y ángulos x ij = ij z ij sin ij

55 55 Formulación de problemas Otras restricciones Restricciones de cota 0 x ij k ij 0 y i g i -d ij ij d ij Otras restricciones z ij [0,1]

56 56 Formulación de problemas Ejercicio formulación Frutos secos: almendras, cacahuetes, nueces Dispone de 150 Kg, 100 Kg y 50 Kg respect. Tres productos, con porcentajes A B C Beneficios esperados: 90 (A), 120 (B), 160 (C) ¿Cantidad de cada producto?

57 57 Formulación de problemas Ejercicio formulación Dispones de 5 Mpta para invertir Alternativas Bonos a 1 año: 5,5 % Letras a 2 años: 12,5 % (total) Inicio del segundo año: oblig. a 3 años, 19 % Inversiones al comienzo de cada año Durante los próximos 5 años

58 58 Indice Ejemplo sencillo de producción Estimación costes generación eléctrica Problema de transporte Campaña de publicidad Asignación de tripulaciones Optimización de carteras Problema de producción Planificación de generación eléctrica Generación central ciclo combinado


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