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CEPAL/ILPES VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local 1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual.

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1 CEPAL/ILPES VIII CURSO INTERNACIONAL Preparación y Evaluación de Proyectos de Desarrollo Local 1. Matemática financiera Conceptos básicos Valor actual Evaluación Privada de Proyectos Horacio Roura

2 CEPAL/ILPES Conceptos básicos

3 CEPAL/ILPES Interés = Costo del capital = Retribución requerida por el uso del factor capital Todo capital tiene un costo (requiere una retribución) –Explícito = el interés pagado por un préstamo –Implícito = el interés dejado de ganar sobre el capital propio Interés: Concepto

4 CEPAL/ILPES Tasa de interés: Definición básica Ejemplo: –Si recibo hoy $1,000 para devolver $1,080 en dos meses, el interés bimestral es: Supuesto: moneda constante o inflación = 0

5 CEPAL/ILPES Tasa de interés e inflación: Teorema de Fisher Si la inflación ( ) es distinta de 0 Donde r = tasa nominal k = tasa real

6 CEPAL/ILPES Tipos de interés Interés simple: el interés de cada período se retira de la imposición Interés compuesto: el interés de cada período aumenta el capital impuesto

7 CEPAL/ILPES Tipos de interés: Ejemplo y comparación

8 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Ejemplo 1 Sea –Capital: $1,000 –Tasa: 10% anual, capitalizable anualmente –Plazo: 1 año ¿Cuánto se tendrá al final del año?

9 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Ejemplo 1 C 1 = C 0 (1+k) 1 = $1,000 (1+0.10) 1 = $1,100 1, ,100 C 1 = C 0 (1+k) 1 1,100 = 1,000 (1+0.1) 1 C0C0

10 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Ejercicio 1 Sea –Capital: $1,000 –Tasa: 12% anual, capitalizable anualmente –Plazo: 1 año ¿Cuánto se tendrá al final del año? ¿Y luego de 2 años? Al año: $1,000 (1+0.12) = $1,120 A los 2 años: $1,120 (1+0.12) = $1,000 (1+0.12) 2 = $1,254.40

11 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Período de capitalización – Ejemplo 2 ¿Cómo variaría la operación del Ejemplo 1 si la capitalización de los intereses fuera semestral? 01 1,000 1/2 1,050 C 2 = C 1 (1+k/2) 1 = C 0 (1+k/2) 2 1,102.5 = 1,000 ( ) 2 C0C0 C 1 = C 0 (1+k/2) 1 1,050 = 1,000 (1+0.12) 1 1,102.5

12 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Período de capitalización – Ejemplo 3 ¿Cómo variaría la operación anterior si la capitalización de los intereses fuera trimestral? 01 1,000 1/3 1,025 C 4 = C 0 (1+k/4) 4 1,103.8 = 1,000 (1+0.1/4) 4 C0C0 1, /3 1, ,076.89

13 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Ejercicio 2 Para un capital de $1,000 un banco nos ofrece dos opciones de inversión a plazo fijo: –Opción 1: 12% anual, capitalizable semestralmente –Opción 2: % anual, capitalizable bimestralmente ¿Cuál es la opción más conveniente, para una colocación a 1 año de plazo? Opción 1: $1,000 (1+0.12/2) 2 = $1, Opción 2: $1,000 ( /6) 6 = $1,123.60

14 CEPAL/ILPES Equivalencia de tasas Dos tasas de interés con diferente período de capitalización son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final de un año: Ejemplo 2 anterior –11.768% anual capitalizable bimestralmente es equivalente a –12% anual capitalizable semestralmente es equivalente a –12.36% anual capitalizable anualmente

15 CEPAL/ILPES Equivalencia de tasas: Ejercicio 3 ¿A qué tasa de capitalización anual es equivalente una tasa del 13% anual capitalizable trimestralmente? (1 + k CA ) = (1 + k CT /4) 4 k CA = (1 + k CT ) k CA = ( /4) 4 = ( ) 4 = %

16 CEPAL/ILPES Tasas nominal y efectiva Cuando el interés es capitalizable más de una vez por año, –La tasa anual dada se llama tasa nominal anual –La tasa efectivamente ganada se llama tasa efectiva anual Ejemplo 3 –Tasa nominal anual: % –Tasa efectiva anual: 12.36%

17 CEPAL/ILPES Tasas nominal y efectiva: Relación Para un cálculo preciso, 1 + TE(m) = (1 + TNA. t/365) m/t TE(m) = (1 + TNA. t/365) m/t - 1 (para un cálculo menos preciso puede usarse un año de 360 días) Donde: –TNA = tasa nominal anual vencida –TE(m) = tasa efectiva para los m días –m = número de días del período cuya tasa se busca –t = número de días del subperíodo de capitalización

18 CEPAL/ILPES Tasas efectiva y nominal: Ejemplo 4 Sea TNA = 12% Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a 60 días? TE(60) = (1 + 12%. 30/365) 60/ = 1.982% –$1,000 depositados a 60 días a una TNA = 12% capitalizable mensualmente generarán $19.82 de interés

19 CEPAL/ILPES Tasas efectiva y nominal: Ejemplo 5 Sea TNA = 12% Si el período de capitalización es mensual, ¿cuál es la tasa efectiva para un depósito a un año de plazo? TE(365) = (1 + 12%. 30/365) 365/ = % TE(365) = (1 + 12%. 30/360) 360/ = %

20 CEPAL/ILPES Tasa efectiva anual Es la tasa resultante de una colocación a la tasa efectiva periódica por los períodos necesarios para completar un año: TEA = (1 + TE(m)) 365/m O, de manera aproximadamente equivalente TEA = (1 + TNA. t/365) 365/t

21 CEPAL/ILPES Tasa efectiva anual: Ejemplo 6 En el Ejemplo 4, TNA = 12%, capitalizable mensualmente TE(60) = 1.982% De allí, TEA = (1 + TE(m)) 365/m - 1 TEA = ( ) 365/ TEA = % TEA = (1 + 12%. 30/365) 365/30 – 1 = %

22 CEPAL/ILPES Ejercicio 4 Si TE(60) = 1%, ¿cuál es la TEA? TEA = (1 + TE(m)) 365/m - 1 TEA = ( ) 365/ TEA = 6.24%

23 CEPAL/ILPES Ejercicio 4 (Cont.) Si el período de capitalización es de 30 días, ¿cuál es la TNA? 1 + TE(60) = (1 + TNA. 30/365) 60/30 TNA = (1 + TE(60)) 30/60 – 1) (365/30) TNA = ( ) 30/60 – 1) (365/30) TNA = 6.068%

24 CEPAL/ILPES Interés compuesto: Período de capitalización continuo Si el período de capitalización es muy pequeño (diario, horario, por minutos o segundos), se trata de capitalización continua En ese caso, si TEA = (1 + TNA. t/365) 365/t t tiende a hacerse infinitamente pequeño, y TEA = e TNA TEA = e TNA.n –Donde e = y n la cantidad de años

25 CEPAL/ILPES Ejercicio 5 Se invierten $1,000 al 11% anual, capitalizados continuamente, por dos años. ¿Cuánto se obtendrá al final de la inversión? $1,000 e 0.11x2 = $1,000 e 0.22 = $1, = $1,246

26 CEPAL/ILPES Valor actual

27 CEPAL/ILPES Valor futuro y actual: Concepto El interés compuesto acumula intereses sobre un capital inicial, hasta una fecha dada El monto así obtenido es el valor futuro del capital inicial Inversamente, el capital inicial es el valor actual del monto a recibir en el futuro

28 CEPAL/ILPES Valor futuro y valor actual: Ejemplo 6 Valor futuro (VF) de $100 Valor actual (VA) de $106

29 CEPAL/ILPES Valor actual: Definición El valor actual de una cantidad futura expresa cuánto vale esa cantidad a pesos de hoy VA = VF / (1 + k) n Donde: VA = Valor actual VF = Valor futuro k = tasa de actualización, interés o descuento n = período donde se recibirá el valor futuro

30 CEPAL/ILPES Valor actual: Ejemplo 7 Un tío rico le informa que dentro de 6 años le hará un legado de $1 millón. Ud., que lleva una vida disipada, está dispuesto a recibir menos dinero, si lo recibe ya. Una tía generosa le ofrece $507 mil, si Ud. le transfiere el derecho a cobrar el legado. Si su tasa de interés es 12% anual, ¿le conviene la propuesta?

31 CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: Despejando incógnitas Si VA = VF/(1+k) n Entonces,

32 CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: Ejemplo 8 ¿Cuánto tiempo se demorará en acumular $2,250 si se depositan $1,000 al 1% mensual, capitalizable mensualmente?

33 CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: Ejercicio 6 ¿A qué tasa se deberá depositar $1,000 para obtener $2,250 en 82 meses?

34 CEPAL/ILPES Valor actual neto El valor actual ofrece cuánto vale hoy un bien futuro En ocasiones, acceder a ese pago futuro implica una erogación hoy El valor actual neto es la diferencia entre el valor actual del pago futuro y la inversión necesaria:

35 CEPAL/ILPES Valor actual neto: Ejemplo 8 Un conocido le propone comprar una casa deteriorada para reciclarla y venderla. La inversión (compra más arreglo) asciende a $250 mil. Si pudiera venderla en $300 dentro de 6 meses, ¿le convendría el negocio?

36 CEPAL/ILPES Valor actual neto: Ejemplo 8 - Solución

37 CEPAL/ILPES Valores actuales y tasas de descuento Para obtener el valor actual de un valor futuro se requiere una tasa de descuento La tasa de descuento se define como el interés que se hubiera ganado de haber invertido en la mejor inversión alternativa

38 CEPAL/ILPES Tasas de descuento: Ejemplo 9 En el ejemplo 8, la opción a comprar la casa, reciclarla y venderla era invertir los $250 mil en una inversión financiera de riesgo equivalente. El interés utilizado para descontar los $300 futuros es lo que hubiera rentado invertir $250 por 6 meses.

39 CEPAL/ILPES Tasas de descuento y tasas de retorno En el ejemplo 8, la inversión en la casa obtuvo un retorno del 13.2% Esta inversión es muy interesante, pues rinde un retorno superior a su tasa de descuento

40 CEPAL/ILPES Relación entre valores actuales y valores futuros El valor actual de un valor futuro es siempre menor que ese valor futuro: $1 hoy vale más que $1 mañana Por que los $ actuales se pueden invertir y ganar interés por un período Porque los $ actuales son –en general– menos riesgoso que los futuros

41 CEPAL/ILPES Valor actual y valor futuro: El rol de los mercados de capitales El concepto de valor actual y valor futuro permite establecer equivalencias entre recibir (hacer) un pago hoy o en el futuro En la práctica, eso es posible debido a la existencia de un mercado de capitales –El mercado de capitales es simplemente un mercado donde la gente intercambia $ de hoy por $ futuros, y viceversa

42 CEPAL/ILPES Mercado de capitales: Funcionamiento Suponga que Ud. tiene: –$20,000 en la mano –$25,000 a recibir dentro de un año Sus opciones son –Consumir $20,000 hoy y $25,000 en un año –No consumir nada hoy, invertir los $20,000 y consumir dentro de un año $20,000 (1+k) + $25,000 –Consumir todo hoy: $20,000 + $25,000/(1+k)

43 CEPAL/ILPES Opciones entre consumo presente y consumo futuro $20 $25 $46.4 $21.4 = $20 (1+0.07) $43.4 $23.4 = $25/(1+0.07) Invierte $20 para consumir todo el año próximo Pide prestado el valor actual de $25 para consumir todo hoy Si k=7%, su riqueza total es $43.4 (a $ de hoy) o $46.4 (a $ futuros) Pendiente = (1+0.07)

44 CEPAL/ILPES Mercado de capitales e inversión en activos reales $25 $46.4 $43.4 Proyecto1 = $10 mil A medida que se va invirtiendo en proyectos no financieros, el retorno de los mismos disminuye $37.8 Proyecto 2 =$10 mil Proyecto 3 = $10 mil Rtn(P1) = (25-10)/10 = 2.5 Rtn(P2) = (13-10)/10 = 1.3 Rtn(P1) = (9-10)/10 = -0.1

45 CEPAL/ILPES Mercado de capitales e inversión en activos reales C A Inversión en activos reales Flujo futuro de la inversión B D 0 0B (1+ k) VAN = 0C/(1+k)- AB = BE - AB E

46 CEPAL/ILPES Moraleja Al invertir en activos reales y ahorrar o pedir pedir prestado en el mercado de capitales, el inversor puede colocarse en cualquier punto de DE –Tiene más para gastar, hoy o mañana, que si invirtiera solo en el mercado de capitales o solo en activos reales La riqueza se maximiza cuando se invierte en activos reales hasta igualar el costo de oportunidad del capital (DE // CA) El VAN es el máximo alcanzable El mercado de capitales permite alcanzar luego la combinación adecuada de consumo presente y futuro

47 CEPAL/ILPES Consecuencia de la moraleja La regla para dirigir una empresa se reduce a maximizar el valor de la misma para los accionistas Logrado eso, éstos elegirán la pauta temporal de consumo que prefieran –Supuesto fuerte: libre acceso al mercado de capitales Maximizar la riqueza = elegir todos los proyectos que tengan un VAN positivo

48 CEPAL/ILPES Valor actual de flujos de más de un período Los proyectos generan flujos por más de un período El valor actual neto de un proyecto de esas características puede calcularse como

49 CEPAL/ILPES Valor actual de anualidades Si F 1 = F 2 =... = F n Coeficiente para el cálculo del valor actual de una anualidad constante

50 CEPAL/ILPES Valor actual de anualidades Si F 1 = F 2 =... = F n y n 0 Valor actual de una perpetuidad constante


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