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TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ 84.00. Si la diferencia.

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2 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ ¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada plumón? ¿Qué harías para resolver este problema? 2

4 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Si leíste con atención el problema, sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de cada cuaderno y el costo de cada plumón. Si representamos con: p costo de un plumón c costo de un cuaderno 3

5 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES c - p = 6 (diferencia entre el costo del cuaderno y del plumón) Esta información la podemos traducir al lenguaje de las ecuaciones. 5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00) El resultado es: un Sistema de Ecuaciones 4

6 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 consiste en dos ecuaciones de primer grado con dos variables cada una. 5

7 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las variables que satisfacen simultáneamente dichas ecuaciones. 6

8 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para resolverlo existen varios métodos: Por determinantes 7 De sustitución De igualación De suma y resta o Reducción Gráfico Con calculadora

9 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Veamos cómo resolver el problema anterior utilizando algunos de ellos. 8 Haz en cualquiera de las opciones Gráfico De sustitución De igualación De suma y resta o Reducción Salir

10 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Escribimos el sistema de ecuaciones MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Como su nombre lo indica, consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituir en la otra. 5c + 4p = ecuación 1 c - p = ecuación 2 9

11 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a)Despejamos la variable c (incógnita) de la ecuación 2 utilizando las propiedades de la igualdad. (Se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las 2 ecuaciones). c – p = 6 c = 6 + p ecuación 3 5 (6 + p) + 4p = 84 b) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1 10

12 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES c) Resolvemos la ecuación resultante. Simplificamos Reducimos Despejamos p = 6 5 (6 + p) + 4p = p + 4p = p = 84 9p = 84 – 30 9p = 54 p =

13 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación 3.3. c = 6 + p c = c = 12 12

14 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES e) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo los valores encontrados por las variables en las ecuaciones 1 y 2. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1Ecuación c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = = c + p = = Nota Idéntico a

15 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Esto quiere decir que a Luis le costó $ cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón. De manera general: Para resolver un sistemas de ecuaciones por el método de sustitución se hace lo siguiente. 1) Se despeja cualquiera de las variables en cualquiera de las ecuaciones, generalmente la más sencilla. 14

16 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2) Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación. 3) Se resuelve la ecuación que se obtuvo para encontrar el valor de una variable. 4) Una vez encontrado ese valor se sustituye en la ecuación despejada y se encuentra el valor de la otra variable. 5) Se comprueba el resultado obtenido sustituyendo los valores en las ecuaciones originales. 15 Haz para volver al menúHaz para salir

17 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE IGUALACIÓN Consiste en despejar una misma variable de las dos ecuaciones, igualar ambas para obtener una ecuación con una sola variable y resolverla. Tomaremos como referencia el problema de Luis. 16

18 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) Escribimos las dos ecuaciones. 5c + 4p = ecuación 1 c - p = ecuación 2 17

19 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES c - p = 6 c = 6 + p ecuación 4 b) Despejamos la variable (incógnita) c en las 2 ecuaciones. 18 5c + 4p = 84 5c = 84 – 4p c = 84 – 4p ecuación 3 5 ecuación 1 ecuación 2

20 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES c) Se igualan las 2 expresiones. 84 – 4p = 6 + p 5 19

21 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES d) Resolvemos la ecuación. 84 – 4p = 6 + p 5 84 – 4p = 5(6 + p) 84 – 4p = p -4p – 5p = 30 – 84 -9p = -54 p = p = 6 20

22 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES c = 6 + p c = e)Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas (inciso b). Generalmente la más sencilla. 21 c = c = 12

23 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Nota f) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo en las ecuaciones originales estos valores. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1Ecuación c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = = c + 4 = = Idéntico a

24 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón. Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones lineales por el método de igualación seguimos estos pasos. De manera general: 23 1) Despejamos la misma variable en cada ecuación.

25 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5) Se comprueban los resultados sustituyéndolos en las ecuaciones originales. 2) Igualamos las expresiones que resultan. 3) Se resuelve la ecuación para obtener el valor de una variable. 4) Se sustituye el valor anterior en cualquiera de las 2 ecuaciones que se despejaron para encontrar el valor de la otra variable. 24 Haz para volver al menúHaz para salir

26 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Se suman o se restan ambas ecuaciones de modo que la expresión resultante tenga una sola variable, se resuelve y se comprueba. MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN. Tomando como referencia el problema de Luis, tenemos: 25

27 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) Escribimos el sistema de ecuaciones. 5c + 4p = ecuación 1 c – p = ecuación 2 26

28 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES b) Analizamos las 2 ecuaciones para buscar qué variable es más fácil eliminar, por suma o por resta. Como en este caso la variable p tiene signos opuestos, multiplicamos la ecuación 2 por 4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones: 27

29 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5c + 4p = 84 4c - 4p = 24 4 (c – p = 6) 4c – 4p = 24 ecuación 2 por 4 Entonces 28

30 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES d) Resolvemos la ecuación resultante para obtener el valor de la incógnita c c) Cancelamos p al sumar miembro a miembro las 2 ecuaciones. 5c + 4p = 84 4c - 4p = 24 9c = 108 c = c = 12 29

31 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES e) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (generalmente la más sencilla) y resolvemos. c - p = p = 6 - p = p = (-p = - 6) sustituimos en la ecuación 2 resolvemos 30 p = 6

32 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES f) Comprobamos las 2 soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones originales. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son correctos. Ecuación 1Ecuación c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = = c - p = = Nota Idéntico a

33 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En el siguiente diagrama se señalan los pasos para resolver un sistema de 2 ecuaciones por el método de suma y resta o reducción. Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón. 32 De manera general:

34 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES INICIO Observa los coeficientes de las variables. ¿Alguna variable tiene coeficientes simétricos? Suma las ecuaciones. Resuelve la ecuación que resulte para encontrar el valor de una variable. Sustituye la variable conocida por su valor en una de las ecuaciones originales y encuentra el valor de la otra variable. FIN ¿Alguna variable tiene coeficientes iguales? Resta las ecuaciones. Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para obtener coeficientes simétricos en alguna de las variables. NO SÍNO SÍ ¡Es muy fácil! Sólo sigue las flechas y encontrarás la solución 33 Haz para volver al menúHaz para salir

35 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ** El método gráfico se utiliza generalmente para sistemas con soluciones enteras, por motivos de precisión. MÉTODO GRÁFICO Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con 2 variables significa encontrar el punto (x, y) en el cual se intersectan las 2 rectas. Ese punto (x, y) es la solución. 34

36 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Compró 5 cuadernos y 4 plumones pagando $ La diferencia de costos entre un cuaderno y un plumón es de $6.00. ¿Cuánto costó cada artículo? 35 Para ver este método recordaremos el problema de Luis:

37 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a)Traducimos a lenguaje algebraico esta información. (en este caso x = costo de un cuaderno, y = costo de un plumón). 5x + 4y = ecuación 1 x - y = ecuación 2 36

38 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES x - y = 6 -y = 6 – x (-y = 6 – x) (-1) y = -6 + x b) Despejamos y en las 2 ecuaciones Ecuación 1 Ecuación 2 5x + 4y = 84 4y = 84 – 5x y = 84 – 5x 4 37

39 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación 2 y = x c) Asignamos valores a la x en ambas ecuaciones y tabulamos. Se construye una tabla para cada ecuación. Ecuación 1 y = 84 – 5x 4 38

40 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 = 1 Ecuación 1 y = 84 – 5x 4 xy y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 = 13.5 y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4 = 11 y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4 = 8.5 y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 = 24/4 = 6 y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4 = 3.5

41 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación 2 y = x xy y = = y = = 0 y = = 2 y = = 4 y = = 6 y = = 8

42 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Intersección Punto (12, 6) d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano Ecuación 1 Ecuación y x 41

43 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 42 El punto de intersección es (12, 6), esto significa que x=12 y y=6; por lo tanto el costo de un cuaderno (x) es $ y el costo de un plumón (y) es $ 6.00.

44 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 43 Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser: 1)Determinado o compatible La solución es un punto (x, y), en que las rectas se cortan. Como el caso anterior.

45 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES y x 44 Ecuación 1 Ecuación 2 x + y = 4 x + y = 6 ec. 1 ec. 2 2) Incompatible No tiene solución, es decir, no hay intersección porque las rectas son paralelas.

46 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3) Indeterminado o dependiente. Tiene infinitas soluciones, pues las rectas coinciden en todos los puntos. x y x - y = 3 2x - 2y = 6 45 x - y = 3 2x - 2y = 6 Haz para volver al menúHaz para salir

47 TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 46


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