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SISTEMAS DE ECUACIONES

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Presentación del tema: "SISTEMAS DE ECUACIONES"— Transcripción de la presentación:

1 SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES 1

2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Luis compró 5 cuadernos y 4 plumones y gastó en total $ Si la diferencia en el costo del cuaderno y del plumón es de $ 6.00. ¿Cuánto le costó cada cuaderno y cada plumón? ¿Qué harías para resolver este problema? 2

3     Si leíste con atención el problema, sabrás que hay 2 incógnitas: el costo de cada cuaderno y el costo de cada plumón. Si representamos con: c costo de un cuaderno p costo de un plumón 3

4 Esta información la podemos traducir al lenguaje de las ecuaciones.
5c + 4p = 84 (5 cuadernos + 4 plumones = 84.00) c - p = 6 (diferencia entre el costo del cuaderno y del plumón) El resultado es: un Sistema de Ecuaciones 4

5 Un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2 consiste en dos ecuaciones de primer grado con dos variables cada una. 5

6   Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las variables que satisfacen simultáneamente dichas ecuaciones. 6

7 Para resolverlo existen varios métodos:
De sustitución De igualación De suma y resta o Reducción Gráfico Con calculadora Por determinantes 7

8 Veamos cómo resolver el problema anterior utilizando algunos de ellos.
De sustitución De igualación De suma y resta o Reducción Gráfico Salir Haz < clic > en cualquiera de las opciones 8

9 Escribimos el sistema de ecuaciones
    MÉTODO  DE SUSTITUCIÓN Como su nombre lo indica, consiste en despejar una variable de una ecuación y sustituir en la otra. Escribimos el sistema de ecuaciones   5c + 4p = ecuación 1 c - p = ecuación 2 9

10 b) Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1
Despejamos la variable “c” (incógnita) de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad. (Se puede despejar cualquier variable de cualquiera de las 2 ecuaciones). c – p = c = 6 + p ecuación 3 b) Sustituimos la ecuación en la ecuación 1 5 (6 + p) + 4p = 84 10

11 c) Resolvemos la ecuación resultante.
5 (6 + p) + 4p = p + 4p = p = p = 84 – p = 54 p = 54 9 Simplificamos Reducimos Despejamos p = 6 11

12 d) El valor obtenido se sustituye en la ecuación 3.
c = 6 + p c = 6 + 6 c = 12 12

13 e) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo los valores encontrados
por las variables en las ecuaciones 1 y 2. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1 Ecuación 2 5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 = 84 c + p = 6 = 6 6 6 Nota Idéntico a 13

14 Se despeja cualquiera de las variables
Esto quiere decir que a Luis le costó $ cada cuaderno y $ 6.00 cada plumón. De manera general: Para resolver un sistemas de ecuaciones por el método de sustitución se hace lo siguiente.  Se despeja cualquiera de las variables en cualquiera de las ecuaciones, generalmente la más sencilla. 14

15 Haz <clic aquí> para volver al menú
Se sustituye la variable despejada en la otra ecuación.  Se resuelve la ecuación que se obtuvo para encontrar el valor de una variable.   Una vez encontrado ese valor se sustituye en la ecuación despejada y se encuentra el valor de la otra variable. Se comprueba el resultado obtenido sustituyendo los valores en las ecuaciones originales. Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir 15

16 Tomaremos como referencia el problema de Luis.
   MÉTODO DE IGUALACIÓN Consiste en despejar una misma variable de las dos ecuaciones, igualar ambas para obtener una ecuación con una sola variable y resolverla. Tomaremos como referencia el problema de Luis. 16

17 a) Escribimos las dos ecuaciones.
5c + 4p = ecuación 1 c - p = ecuación 2 17

18 b) Despejamos la variable (incógnita) “c” en las 2 ecuaciones.
ecuación 1 5c + 4p = 84 5c = 84 – 4p c = 84 – 4p ecuación 3 5 ecuación 2 c - p = 6 c = 6 + p ecuación 4 18

19 c) Se igualan las 2 expresiones.
84 – 4p = 6 + p 5 19

20 d) Resolvemos la ecuación.
84 – 4p = 6 + p 5 84 – 4p = 5(6 + p) 84 – 4p = p -4p – 5p = 30 – 84 -9p = -54 p = -54 -9 p = 6 20

21 Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones despejadas (inciso b). Generalmente la más sencilla. c = 6 + p c = 6 + 6 c = 12 21

22 f) Comprobamos ambas soluciones, sustituyendo en las ecuaciones
originales estos valores. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son los correctos. Ecuación 1 Ecuación 2 5c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 = 84 c + 4 = 6 = 6 6 6 Nota Idéntico a 22

23 1) Despejamos la misma variable en cada ecuación.
Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón. De manera general: Para resolver un sistema 2x2 de ecuaciones lineales por el método de igualación seguimos estos pasos. 1) Despejamos la misma variable en cada ecuación. 23

24 Haz <clic aquí> para volver al menú
 Igualamos las expresiones que resultan.  Se resuelve la ecuación para obtener el valor de una variable. Se sustituye el valor anterior en cualquiera de las 2 ecuaciones que se despejaron para encontrar el valor de la otra variable.   Se comprueban los resultados sustituyéndolos en las ecuaciones originales. Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir 24

25 MÉTODO DE SUMA Y RESTA O DE REDUCCIÓN.
Se suman o se restan ambas ecuaciones de modo que la expresión resultante tenga una sola variable, se resuelve y se comprueba. Tomando como referencia el problema de Luis, tenemos: 25

26 a) Escribimos el sistema de ecuaciones.
5c + 4p = ecuación 1 c – p = ecuación 2 26

27 b) Analizamos las 2 ecuaciones para buscar qué variable es más fácil
eliminar, por suma o por resta. Como en este caso la variable “p” tiene signos opuestos, multiplicamos la ecuación 2 por 4 para obtener un sistema equivalente al original en el que se pueda sumar ambas ecuaciones:  27

28 4 (c – p = 6) 4c – 4p = 24 ecuación 2 por 4 Entonces 5c + 4p = 84
28

29 c) Cancelamos “p” al sumar miembro a miembro las 2 ecuaciones.
5c + 4p = 84 4c - 4p = 24 9c = 108 d)  Resolvemos la ecuación resultante para obtener el valor de la incógnita “c” 9c = 108 c = 108 9 c = 12 29

30 sustituimos en la ecuación 2
e) Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales (generalmente la más sencilla) y resolvemos. sustituimos en la ecuación 2 c - p = 6 12 - p = 6 - p = - p = - 6 -1 (-p = - 6) resolvemos p = 6 30

31 f) Comprobamos las 2 soluciones sustituyéndolas en las ecuaciones
originales. Si las igualdades son ciertas, entonces los valores son correctos. Ecuación 1 Ecuación 2  c - p = 6 = 6 6 6   c + 4p = 84 5(12) + 4(6) = 84 = 84 Nota Idéntico a 31

32 Esto quiere decir que a Luis le costó $12. 00 cada cuaderno y $6
Esto quiere decir que a Luis le costó $12.00 cada cuaderno y $6.00 cada plumón. De manera general: En el siguiente diagrama se señalan los pasos para resolver un sistema de 2 ecuaciones por el método de suma y resta o reducción. 32

33 ¡Es muy fácil! Sólo sigue las flechas y encontrarás la solución
INICIO ¡Es muy fácil! Sólo sigue las flechas y encontrarás la solución Observa los coeficientes de las variables. ¿Alguna variable tiene coeficientes iguales? ¿Alguna variable tiene coeficientes simétricos? NO Resta las ecuaciones. NO Suma las ecuaciones. Multiplica una o ambas ecuaciones por un número para obtener coeficientes simétricos en alguna de las variables. Resuelve la ecuación que resulte para encontrar el valor de una variable. Sustituye la variable conocida por su valor en una de las ecuaciones originales y encuentra el valor de la otra variable. FIN Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir 33

34 MÉTODO GRÁFICO Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones lineales con 2 variables significa encontrar el punto (x, y) en el cual se intersectan las 2 rectas. Ese punto (x, y) es la solución. ** El método gráfico se utiliza generalmente para sistemas con soluciones enteras, por motivos de precisión. 34

35 Para ver este método recordaremos el problema de Luis:
Compró 5 cuadernos y 4 plumones pagando $ La diferencia de costos entre un cuaderno y un plumón es de $6.00. ¿Cuánto costó cada artículo? 35

36 Traducimos a lenguaje algebraico esta
información. (en este caso x = costo de un cuaderno, y = costo de un plumón). 5x + 4y = ecuación 1 x - y = ecuación 2 36

37 b) Despejamos “y” en las 2 ecuaciones
Ecuación 1 Ecuación 2 5x + 4y = 84 4y = 84 – 5x y = 84 – 5x 4 x - y = 6 -y = 6 – x (-y = 6 – x) (-1) y = -6 + x 37

38 c) Asignamos valores a la “x” en ambas
ecuaciones y tabulamos. Se construye una tabla para cada ecuación. Ecuación 1 Ecuación 2 y = 84 – 5x 4 y = x 38

39 y = 84 – 5x 4 Ecuación 1 x y 6 13.5 8 11 10 8.5 12 14 3.5 16 1 y = 84 – 5(6)/4 = 84 – 30/4 = 54/4 = 13.5 y = 84 – 5(8)/4 = 84 – 40/4 = 44/4 = 11 y = 84 – 5(10)/4 = 84 – 50/4 = 34/4 = 8.5 y = 84 – 5(12)/4 = 84 – 60/4 = 24/4 = 6 y = 84 – 5(14)/4 = 84 – 70/4 = 14/4 = 3.5 y = 84 – 5(16)/4 = 84 – 80/4 = 4/4 = 1 39

40 Ecuación 2 y = - 6 + x y = - 6 + 6 = 0 y = -6 + 8 = 2 y = -6 + 10 = 4
y = x Ecuación 2 x y 6 8 2 10 4 12 14 16 y = = 0 y = = 2 y = = 4 y = = 6 y = = 8 y = = 10 40

41 d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano.
y x 16 d) Situamos las parejas de cada ecuación en el mismo plano cartesiano. 15 14 13 12 11 10 Ecuación 1 9 8 7 Intersección Punto (12, 6) 6 5 4 3 Ecuación 2 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41

42 El punto de intersección es (12, 6), esto significa que x=12 y y=6; por lo tanto el costo de un cuaderno (x) es $ y el costo de un plumón (y) es $ 6.00. 42

43 Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser:
Determinado o compatible La solución es un punto (x, y), en que las rectas se cortan. Como el caso anterior. 43

44 No tiene solución, es decir, no hay intersección porque
  2) Incompatible No tiene solución, es decir, no hay intersección porque las rectas son paralelas. y x Ecuación 2 x + y = 4 x + y = 6 ec. 1 Ecuación 1 ec. 2 44

45 Haz <clic aquí> para volver al menú
  3) Indeterminado o dependiente. Tiene infinitas soluciones, pues las rectas coinciden en todos los puntos. y 3 x - y = 3 2 1 x x - y = 3 2x - 2y = 6 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 2x - 2y = 6 -3 Haz <clic aquí> para volver al menú Haz <clic aquí> para salir 45

46 Sugerencias y Comentarios
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