@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.1 VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.2 VECTORES EN EL PLANO U.D. 9.1 * 2º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.3 NOMENCLATURA El conjunto de todos los puntos del plano es R 2 El conjunto de todos los vectores fijos del plano es F 2 El conjunto de todos los vectores libres del plano es V 2 V 2 es un subconjunto de F 2 BASE CANÓNICA Base canónica de V 2 es el conjunto formado por dos vectores perpendiculares de módulo la unidad, que representamos por B=(i, j), es decir i=(1, 0), j=(0, 1) COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE Sea B=(i, j) una base canónica del plano y u un vector cualquiera de V 2, se llaman coordenadas cartesianas del vector u al par de números (x, y) tales que permiten expresar al vector u como combinación lineal de los vectores de la base que forma: u=xi+yj

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.4 Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas en V 2 está formado por: Dos rectas perpendiculares y graduadas, una horizontal y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El punto donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje OX. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje OY. La unidad del eje de abscisas es el vector i. La unidad del eje de ordenadas es el vector j. La coordenada x, medida en el eje horizontal, es la abscisa del vector. La coordenada y, medida en el eje vertical, es la ordenada del vector. u i j x y u = xi + yj

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 VECTORES FIJOS Un VECTOR FIJO AB es una entidad geométrica, un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Se caracteriza por tener: Punto de aplicación, A, dado por unas coordenadas. Dirección, que es la recta sobre la que se apoya. Sentido, que es el indicado por la flecha del vector. Módulo o intensidad, que es la medida desde el origen A al extremo B. Vector v = AB A = Punto de aplicación Dirección La flecha del vector indica su sentido. Módulo = |v| B Nota: Se permite formalmente que, en lugar de una flecha sobre el nombre del vector, baste señalar dicho nombre en negrilla.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 EQUIPOLENCIA DE VECTORES Dos vectores fijos AB y CD, no nulos, son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Se designan como: AB ~ CD Gráficamente, dos vectores no nulos y no alineados son equipolentes si al unir los orígenes y los extremos se obtiene un paralelogramo. D C B A

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.7 VECTORES LIBRES Un vector libre es cada una de las clases en que queda clasificado el conjunto de los vectores fijos mediante la relación de equipolencia. Dicha relación es de equivalencia al cumplir las propiedades: Reflexiva: Todo vector fijo es equipolente a si mismo. Simétrica: Si un vector fijo es equipolente a otro, éste es equipolente al primero. Transitiva: Si un vector fijo es equipolente a un segundo, y éste es equipolente a un tercero, el primero es equipolente al tercero. C v v v v v

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 VECTORES LIBRES Si al segmento le quitamos su punto de aplicación, A, se podrá mover libremente (desplazarse) sobre la recta que forma la Dirección. Si además le permitimos desplazarse paralelamente a su Dirección, podrá ocupar todo el plano. El vector tendrá una libertad de movimientos muy grande, aunque no podrá girar. Debido a dicha libertad de movimientos se denomina vector libre. El módulo, dirección y sentido de un vector libre es el módulo, dirección y sentido de cualquiera de sus representantes. v v v v v

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.9 NOMENCLATURA Sea u un vector libre en V 2. Y sea P cualquier punto en R 2 Ya hemos dicho que existe un único representante de u con origen en P. Sea O un punto fijo del plano llamado origen de coordenadas. CORRESPONDENCIA A cada punto P del plano se le hace corresponder de modo único un vector u = OP, que llamamos vector de posición. A cada vector u del plano, en V 2, se le hace corresponder de modo único punto P, de forma que OP=u SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO Se llama sistema de referencia euclídeo del plano a R=(O, i, j) donde: O es un punto cualquiera llamado origen de coordenadas. B=(i, j) es la base canónica de V 2. También se llama se llaman sistema de referencia ortonormal.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.10 Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) Cualquier otro vector, w, del plano se podrá conseguir mediante la combinación de los dos primeros vectores. Es decir, siempre habrá un par de números, k y h, tal que: w=k.(a, b) + h.(c, d) Se dice entonces que w depende linealmente de v y u. También que w es combinación lineal de u y v. EJEMPLO Sea el vector v= (3, 4), el vector u= (2, 1) y el vector w=(5, 10) Hallar el valor de a y b para que se verifique que el vector w sea combinación lineal de los vectores v y u, es decir que w = a.v + b.u (5, 10) = a.(3, 4) + b.(2, 1) (5, 10) = (3a, 4a) + (2b, b) (5, 10) = (3a + 2b, 4a + b) 3.a + 2.b = 5 4.a + b = 10Por Reducción: - 5.a = - 15  a = 3  b = -2 COMBINACIÓN LINEAL

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.11 SUMA DE VECTORES Sea el vector v= (x,y) y el vector u= (x’,y’) La suma será: S = v+u = (x,y)+(x’,y’) = (x+x’, y+y’) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) La suma será: S = (3+2, 4+7) = (5, 9) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) La suma será: S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR Sea el vector v= (x,y) y el número real k K.u = k(x, y) = (kx, ky) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (2, - 4) y k = 3 k.v = 3.(2, - 4) = (6, - 12 OPERACIONES CON VECTORES

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.T.12 MÓDULO Y ARGUMENTO MÓDULO Módulo de un vector u, |u|, es su longitud. |u|=√(x 2 +y 2 ) ARGUMENTO Argumento de un vector u, α, es el menor de los ángulos que forma con el eje positivo de abscisas. arg(u) = α = arctg (y/x) i j xi yj u |u|=√(x 2 +y 2 ) α = arctg (y/x)