GUICEG018EM31-A16V1 Generalidades de números reales EM-31.

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1 GUICEG018EM31-A16V1 Generalidades de números reales EM-31

2 Aprendizajes esperados  Identificar los conjuntos numéricos y sus características.  Comprender los conjuntos numéricos en función de los problemas asociados a ellos.  Reconocer las propiedades de los números reales.  Clasificar los números enteros en función de sus características.  Determinar divisores y múltiplos de números naturales.

3 Pregunta oficial PSU 1. Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO entero? A) B) C) D) E) Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2016 ¿Cuáles son los números racionales NO enteros? ¿Qué significa que p sea un múltiplo positivo de 6? ¿ Qué valores podrían ser r? ¿Por qué?

4 1. Conjuntos numéricos 2. Propiedades 3. Clasificación 4. Posición y valor absoluto

5 1. Conjuntos numéricos Z IN 0 IN Q Q* R II C IN IN 0 Z Q IR C Diagrama representativo IN = {1, 2, 3, 4, 5, …} IN 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …} a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Q* = II = { ─ i, ─ 2i, 3i,…} i: unidad imaginaria, cuyo valor es C = { ─ 3 ─ i, ─ i, 176,…} 1.1 Conjuntos numéricos IR = Q U Q*

6 1. Conjuntos numéricos 1.2 Ejemplo Si a y b son números reales, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I. representa a número irracional. II. Si pertenece a los enteros, entonces a y b son enteros. III. Si, entonces c es un número complejo. A)Solo I B)Solo II C)Solo III D)Solo II y III E)Ninguna de ellas. Más información en la página 12 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 3 y 4 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA C

7 Conmutatividad a + (b + c) = (a + b) + c 2. Propiedades a ∙ b = b ∙ aa + b = b + a Asociatividad a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c Distributividad a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ ca ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ c Si a, b y c son números reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades: 2.1 Propiedades en los reales

8 Elemento neutro multiplicativo a ∙ 1 = 1 ∙ a = a 2. Propiedades Inverso aditivo (opuesto) El inverso aditivo (opuesto) de a es (– a) Inverso multiplicativo (recíproco) Si a ≠ 0, el inverso multiplicativo (recíproco) de a es Elemento neutro aditivo a + 0 = 0 + a = a 2.1 Propiedades en los reales

9 2.2 Ejemplo 2. Propiedades A) 13 B) 6 C) 12 D) 7 E) 13 La suma entre el doble del recíproco de y el neutro multiplicativo, menos la diferencia entre el opuesto de (– 3) y el neutro aditivo, es Más información en las páginas 12 y 13 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 1 y 2 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA B

10 3.1 Paridad e imparidad Números pares: Números impares: 3.2 Múltiplos Los múltiplos de un número entero son aquellos que se obtienen al multiplicarlo por algún otro número entero. 3. Clasificación Números de la forma 2n, con n perteneciente a ℤ. Números de la forma (2n + 1), con n perteneciente a ℤ

11 3. Clasificación 3.3 Divisores Los divisores de un número entero son aquellos números enteros que lo dividen exactamente (división con resto cero). 3.4 Números primos Son aquellos números naturales que solo son divisibles por 1 y por sí mismos (solo tienen 2 divisores). {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…} El 1 NO es primo, pues tiene un solo divisor.

12 El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales, corresponde al menor de los múltiplos positivos que tienen en común. 3. Clasificación 3.5 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) El máximo común divisor de dos o más números naturales corresponde al mayor de los divisores positivos que tienen en común. 3.6 Máximo común divisor (M.C.D.)

13 3.7 Ejemplo 3. Clasificación La suma entre los divisores primos de 186, es múltiplo de A)37 B)31 C)17 D)10 E)6 Más información en las páginas 13 y 14 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 13 y 17 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA E

14 Sucesor 4.1 Consecutividad numérica Todo número entero tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a ℤ, su sucesor será (n + 1). Antecesor Todo número entero tiene un antecesor y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a ℤ, su antecesor será (n – 1). (n – 1)(n + 1)n Enteros consecutivos antecesorsucesor 4. Posición y valor absoluto

15 El valor absoluto de un número representa la distancia del número al cero en la recta numérica. Por ejemplo, la distancia del 2 al origen es dos unidades, igual que la distancia del (– 2) al origen. La notación es: |2| = 2 y |– 2| = 2 -22 0 2 unidades 4.2 Valor absoluto 4. Posición y valor absoluto

16 4.3 Ejemplo La suma entre el antecesor del sucesor par de |– 4| y el antecesor del doble de | 8 | es A) 12 B) 21 C) 20 D) 15 E)– 11 4. Posición y valor absoluto Más información en la página 13 de tu libro. ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 8 y 9 de tu guía. ALTERNATIVA CORRECTA C

17 Sea p un número entero positivo múltiplo de 6, q un número entero positivo múltiplo de 12, r un número divisor de 6 y s un número divisor de 12. ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene por resultado siempre un número racional NO entero? A) B) C) D) E) Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de admisión 2016 Pregunta oficial PSU ALTERNATIVA CORRECTA B

18 Síntesis de la clase Recordemos… -¿Qué propiedades de los números reales conoces? -¿Cómo se puede expresar la suma de dos números pares consecutivos? -¿Cuál es la diferencia entre los número racionales e irracionales?

19 Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Operatoria en los racionales

20 Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 1 D Números racionales ASE 2CNúmeros racionalesASE 3CNúmeros racionalesASE 4ENúmeros racionalesASE 5ENúmeros racionalesASE 6 A Números racionales ASE 7DNúmeros racionalesComprensión 8DNúmeros racionalesComprensión 9 A Números racionales Comprensión 10DNúmeros racionalesComprensión 11CNúmeros racionalesComprensión 12BNúmeros racionalesComprensión

21 Tabla de corrección NºClaveUnidad temáticaHabilidad 13 E Números racionales ASE 14DNúmeros racionalesASE 15CNúmeros racionalesASE 16CNúmeros racionalesASE 17ENúmeros racionalesASE 18BNúmeros racionales Aplicación 19BNúmeros racionalesASE 20BNúmeros racionalesASE 21CNúmeros racionalesASE 22ENúmeros racionalesASE 23ENúmeros racionalesASE 24ANúmeros racionalesASE 25BNúmeros racionalesASE

22 Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414 ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Equipo Editorial Matemática

23 Cuenta regresiva Volver a: 1. Conjuntos numéricos 2. Propiedades 3. Clasificación 4. Posición y valor absoluto 5. Pregunta oficial PSU