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Tema IV Torsión en barras prismáticas. Torsión La torsión pura se presenta en toda barra recta cuando las fuerzas solicitantes actúan sólo en las bases.

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1 Tema IV Torsión en barras prismáticas

2 Torsión La torsión pura se presenta en toda barra recta cuando las fuerzas solicitantes actúan sólo en las bases extremas, y equivalen mecánicamente a dos pares de sentido opuesto, cuyo eje coincide con el eje de la pieza. Siendo la barra de sección constante, todas las secciones transversales están solicitadas en idéntica forma. En cuanto a la deformación presenta como característica mas acentuada, un giro elemental de cada sección, con respecto a la inmediata, alrededor del eje de la pieza. Mecánica de materiales – Torsión

3 Ilustración de la deformación por torsión Mecánica de materiales – Torsión

4 Secciones Macizas Sección circular. Sección elíptica. Sección triangular equilátera e isósceles. Sección rectangular y rectangular estrecha. Sección segmento circular y sector circular. Sección diamante y diamante truncado Sección trapezoidal. Sección paralelogramo. Otras. Mecánica de materiales – Torsión

5 Barra recta de sección circular Consideremos un barra recta de sección circular empotrada en uno de sus dos lados, sobre la cual actúa un momento torsor; se toma el plano XY como el plano de la base, y el eje OZ coincide con la directriz de la barra como se indica en la siguiente figura. Mecánica de materiales – Torsión

6 Barra recta de sección circular Mecánica de materiales – Torsión

7 Distribución de esfuerzos en la sección Mecánica de materiales – Torsión

8 De la figura, notamos que los desplazamientos son: Con las identidades trigonométricas y tomando en cuenta que para ángulos muy pequeños de giro Cos( ) =1 y Sen( ) = tendríamos : Mecánica de materiales – TorsiónDesplazamientos

9 Hay que tomar en cuenta que cada sección transversal sufre un giro diferente proporcional a la distancia Z que hay hasta la base fija: Donde θ es el ángulo de torsión por unidad de longitud a lo largo de la dirección Z desplazamientos Mecánica de materiales – Torsión

10 Tensor de esfuerzo para torsión pura Donde: Mecánica de materiales – Torsión

11 Esfuerzo de corte y ángulo de giro El esfuerzo máximo se produce en el contorno (x=±R, y=0) y (x=0, y=±R) entonces el esfuerzo de corte máximo sería: Donde: Mecánica de materiales – Torsión

12 Desplazamientos en función del momento torsor Mecánica de materiales – Torsión

13 Rigidez de torsión Es la relación que existe entre el momento torsor y el ángulo de giro. Mecánica de materiales – Torsión

14 Torsión en barras de sección elíptica Mecánica de materiales – Torsión

15 Rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

16 Ángulo de giro El ángulo de giro experimentado por la sección por unidad de longitud esta dado por: Sustituyendo el valor de D se tiene : Mecánica de materiales – Torsión

17 Alabeo de una sección elíptica Mecánica de materiales – Torsión a b a>b

18 Función de alabeo Φ(x,y) y función conjugada Ψ(x,y) Mecánica de materiales – Torsión

19 Esfuerzo de corte máximo El esfuerzo de corte máximo ocurre en los extremos del eje menor de la elipse de contorno, es decir, en x=0 e y=±b sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se tiene: Mecánica de materiales – Torsión

20 Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

21 Alabeo de la sección Mecánica de materiales – Torsión

22 Torsión en piezas de sección triangular equilátera Mecánica de materiales – Torsión

23 Rigidez de torsión y ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión

24 Alabeo de una sección triangular Mecánica de materiales – Torsión

25 Función de alabeo y función conjugada Mecánica de materiales – Torsión

26 Esfuerzo de corte máximo y ángulo de giro El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el centro de cada lado del triángulo, por ejemplo para el lado AC el esfuerzo máximo está en x=a/2 e y=0 Mecánica de materiales – Torsión

27 Alabeo de la sección Mecánica de materiales – Torsión

28 Torsión en piezas de sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección rectangular no sea estrecha se debe cumplir que b/a 5

29 Alabeo de una sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión

30 Función de alabeo y función conjugada Mecánica de materiales – Torsión

31 Esfuerzos cortantes Mecánica de materiales – Torsión

32 Rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

33 Ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión

34 Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

35 Constantes de torsión para una barra de sección rectangular b/aKK1K1 K2K2 1,000,6750,14060,208 1,200,7590,1660,219 1,500,8480,1960,231 2,000,9300,2290,246 2,500,9680,2490,258 3,000,9850,2630,267 4,000,9970,2810,282 5,000,9990,291 10,001,0000,312 1,0001/3 Mecánica de materiales – Torsión

36 Sección triangular isósceles Mecánica de materiales – Torsión

37 Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

38 Angulo de giro unitario Rigidez de torsión: D = KG Mecánica de materiales – Torsión

39 Sección segmento circular Mecánica de materiales – Torsión

40 Esfuerzo de corte máximo 0º30º60º80º90º Cπ/21,250,80,490,35 Mecánica de materiales – Torsión

41 Angulo de giro unitario 0º30º60º80º90º Cπ/21,470,910,480,296 Rigidez de torsión: D = KG=CR G Mecánica de materiales – Torsión 3

42 Sección diamante y diamante truncado Mecánica de materiales – Torsión

43 Esfuerzo de corte máximo punto h/h 90º80º70º60º50º40º30º B1,0000,6750,6560,6370,5850,5360,4480,356 A0,7500,5890,5270,4520,3780,2880, B0,7500,6510,6460,6350,5960,5550,4850,382 A0,5000,6990,6080,5410,4670,4170,3680,292 B0,5000,5110,5470,5510,5480,6160,4750,437 C depende de y de h/h Valores de c Mecánica de materiales – Torsión

44 Angulo de giro unitario y rigidez de torsión Cuando = 70º y h > 0,75h el valor de K sería: Cuando > 70º y h > 0,75h ó h < 0,75h el valor de K sería: Mecánica de materiales – Torsión D = KG

45 Sección Trapezoidal Mecánica de materiales – Torsión

46 Esfuerzo de corte máximo h/b 0, º---0,2080,4930,8011,150 60º0,0770,1840,4740,7811,102 45º---0,1600,4460,7461,066 30º ,4020,6971,014 Valores de c Mecánica de materiales – Torsión

47 Angulo de giro unitario h/b 0, h/b>4 90º---0,1410,4570,7901, º0,0380,1250,4360,7681,101 h/3b-0,232 45º---0,1040,3980,7291,061 h/3b-0,271 30º--- 0,3450,6741,007 h/b-0,326 Valores de c Mecánica de materiales – Torsión

48 Sección Paralelogramo Mecánica de materiales – Torsión

49 Esfuerzo de corte máximo b/a 15º30º45º60º 75º 1,001,6181,2070,74420,34680, ,201,3501,0080,62310,29090, ,501,0840,81510,50710,23840, ,000,82000,62370,39300,18710, ,500,66050,50760,32320,15540, ,000,55330,42560,2750,13320,03493 Valores de c Mecánica de materiales – Torsión

50 Angulo de giro unitario b/a 15º30º45º60º75º 1,002,0381,5020,84480,30920, ,201,6701,2300,69090,25250, ,501,2530,92030,51480,18730, ,000,81290,59430,33000,11920, ,500,55990,40780,22530,08080, ,000,40550,29460,16210,05790,00811 Valores de c Mecánica de materiales – Torsión

51 Sección de un Sector Circular Mecánica de materiales – Torsión

52 Esfuerzo de corte máximo 60º120º180º C0,07120,2270,35 Valores de C para calcular Q Mecánica de materiales – Torsión

53 Angulo de giro unitario 45º60º90º120º180º270º300º360º C0,0180,0350,0820,1480,2960,5280,6860,878 Valores de C para calcular K Rigidez de torsión D=KG=CR G Mecánica de materiales – Torsión 4

54 Sección circular con lados opuestos achatados Mecánica de materiales – Torsión

55 Esfuerzo de corte máximo W/R7/83/45/8½ C1,1550,9120,6380,471 Valores de C para calcular Q Mecánica de materiales – Torsión

56 Angulo de giro unitario W/R7/83/45/8½ C1,3571,0760,7330,438 Valores de C para calcular K Rigidez de torsión D=KG=CR G Mecánica de materiales – Torsión 4

57 Sección circular hueca excéntrica Mecánica de materiales – Torsión

58 Esfuerzo de corte máximo Mecánica de materiales – Torsión

59 Angulo de giro unitario Mecánica de materiales – Torsión

60 Torsión en piezas de sección cuadrada Mecánica de materiales – Torsión

61 Ángulo de giro Como a = b y para b/a = 1 K 1 =0,1406 entonces: Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión D = 0,1406Ga 4

62 Esfuerzo de corte máximo Como a = b y para b/a=1 K 2 =0,208 entonces: Mecánica de materiales – Torsión

63 Torsión en piezas de sección rectangular estrecha Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección rectangular sea estrecha se debe cumplir que c/d > 10

64 Ángulo de giro a = c ; b = d y para b/a >10 K 1 =1/3 Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión D = 1/3(a bG) 3

65 Esfuerzo de corte máximo a = c ; b = d y para b/a >10 K 2 =1/3 Mecánica de materiales – Torsión

66 Analogía de la membrana (resolución experimental del problema de torsión) Consideremos una membrana homogénea, flexible y elástica, inicialmente plana tensada uniformemente en su contorno por un esfuerzo unitario (S) y solicitada por una presión vertical constante (P). Supóngase que el contorno es precisamente el de la sección transversal de la pieza solicitada por torsión. Esta membrana se deforma y sus puntos experimentan desplazamientos verticales Z en función de X e Y. Las ecuaciones de los diferentes parámetros de las secciones transversales que se muestran a continuación fueron calculados usando la analogía de la membrana. Mecánica de materiales – Torsión

67 Equilibrio de una membrana elástica Mecánica de materiales – Torsión

68 Componentes verticales y fuerzas resultantes de una membrana elástica Mecánica de materiales – Torsión

69 Sumando las fuerzas de la última columna e igualando a cero se obtiene la ecuación de equilibrio del elemento de la membrana. Mecánica de materiales – Torsión

70 La membrana, en su deformación, adopta la forma de una superficie Z=Z(x,y) Mecánica de materiales – Torsión

71 Los esfuerzos quedarían expresados de la siguiente manera Mecánica de materiales – Torsión

72 La componente del esfuerzo zy según el eje Oy, es proprcional a la pendiente z/x que la membrana presenta, según Ox. Correlativamente, la componente zy, según Ox, es proporcional a la pendiente z/y Mecánica de materiales – Torsión Observando las ecuaciones anteriores se puede concluir lo siguiente

73 Analogía de la membrana Mecánica de materiales – Torsión

74 Para conocer en todo punto el esfuerzo, será preciso medir la máxima pendiente dz/dn, por ser ésta normal a la referida curva de nivel Mecánica de materiales – Torsión

75 El momento torsor se expresa como: Mecánica de materiales – Torsión

76 Observando la integral se comprueba que la ecuación de enlace entre T y θ puede expresarse en función del volumen (V), limitado por la membrana y el plano de contorno. Mecánica de materiales – Torsión Rigidez de torsión

77 Los esfuerzos en función del volumen serían Mecánica de materiales – Torsión

78 En resumen tendríamos Mecánica de materiales – Torsión

79 Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Sección circular. Sección elíptica. Mecánica de materiales – Torsión

80 Barra recta cilíndrica de sección anular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared gruesa, se debe cumplir que: r o / t < 10

81 Esfuerzo máximo de corte y ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión

82 Secciones tubulares de pared gruesa cerrados Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared gruesa se debe cumplir que a m / t < 10

83 Diámetro anular Como K = a o /a y K = bo/b entonces: Mecánica de materiales – Torsión

84 Componentes del esfuerzo cortante Mecánica de materiales – Torsión

85 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

86 Secciones tubulares cerradas de pared delgada Sección rectangular. Sección elíptica. Sección circular. Mecánica de materiales – Torsión

87 Ecuaciones de Bredt Mecánica de materiales – Torsión Estas ecuaciones fueron obtenidas mediante la analogía de la membrana, y es a partir de estas que se calcula el esfuerzo de corte máximo para las siguientes secciones tubulares de pared delgada.

88 Sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que d 2 / t 0

89 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

90 Sección Elíptica Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t 10

91 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

92 Sección Circular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada, se debe cumplir r o / t 10

93 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

94 Productos tubulares de pared delgada abiertos Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que r o / t 10

95 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

96 Sección Elíptica Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que a / t 10

97 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

98 Sección rectangular Mecánica de materiales – Torsión Para verificar que la sección sea de pared delgada se debe cumplir que d 2 / t 0

99 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

100 Secciones de perfiles laminados Sección en L. Sección en T. Sección en U. Sección en I. Mecánica de materiales – Torsión

101 Perfil laminado en L Mecánica de materiales – Torsión

102 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

103 Perfil laminado en T Mecánica de materiales – Torsión

104 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

105 Perfil laminado en U Mecánica de materiales – Torsión

106 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

107 Perfil laminado en I Mecánica de materiales – Torsión

108 Esfuerzo de corte máximo, ángulo de giro unitario y rigidez de torsión Mecánica de materiales – Torsión

109 Secciones con dependencia triple o múltiple Las secciones transversales que tengan dependencia triple o múltiple pueden descomponerse en forma doblemente conexas, que se denominan células; es posible asignar a cada célula un flujo tangencial constante f i, manteniendo para todas la células el mismo sentido de circulación (correspondiente al giro positivo alrededor del eje z). Llamando A i el área encerrada por la línea media de la pared de la célula i. La participación de la célula i en el momento torsor T será igual a 2A i f i Mecánica de materiales – Torsión

110 Secciones con dependencia triple o múltiple Mecánica de materiales – Torsión

111 Células descompuestas Mecánica de materiales – Torsión

112 El momento torsor total transmitido por la barra sería El flujo tangencial que actúa en cada pared intermedia está formada por dos partes, que corresponden a las células situadas a ambos lados. Como consecuencia de la igualdad de sentido de circulación en todas las células, cada pared intermedia absorbe la diferencia de los flujos tangenciales de las células adyacentes Mecánica de materiales – Torsión

113 En las paredes que rodean a la célula i actúan los flujos fij en el sentido de circulación de la célula i, entonces se va a introducir la siguiente notación para cada una de las integrales de la ecuación del ángulo de giro Mecánica de materiales – Torsión

114 Entonces tendríamos las siguientes ecuaciones Mecánica de materiales – Torsión

115 El ángulo de giro quedaría expresado como: Mecánica de materiales – Torsión


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