La descarga está en progreso. Por favor, espere

La descarga está en progreso. Por favor, espere

MÉTODOS NUMÉRICOS 1.4 Aritmética de la computadora Gustavo Rocha 2005-2.

Presentaciones similares


Presentación del tema: "MÉTODOS NUMÉRICOS 1.4 Aritmética de la computadora Gustavo Rocha 2005-2."— Transcripción de la presentación:

1 MÉTODOS NUMÉRICOS 1.4 Aritmética de la computadora Gustavo Rocha 2005-2

2 Aritmética de la computadora

3 1.4 Aritmética de la computadora El usuario se comunica con la computadora en sistema decimal, es decir, introduce en ella y extrae de ella números en base decimal. Al recibir los datos, para poder trabajar con ellos, la computadora los convierte al sistema binario, su lenguaje natural de operación. Todas las operaciones se efectúan en binario y los resultados obtenidos, antes de ser entregados al usuario, la máquina los convierte al sistema decimal. Claro está que la computadora realiza estos procesos a enormes velocidades, de manera que el usuario ni se entera de lo que sucede ahí dentro. Sin embargo, al efectuar las conversiones y realizar los cálculos se suscitan pequeños errores que, si no se prevén, pueden propagarse y arrojar resultados muy inexactos o totalmente absurdos. Por eso es tan importante el entender la aritmética de las computadoras e identificar las situaciones en que pueden ocurrir errores severos.

4 1.4 Aritmética de la computadora La operación interna de una computadora se basa en la aritmética binaria, en la que la base es el 2 y sólo hay dos símbolos: 0 y 1, pues la memoria de la máquina consiste en un vasto número de dispositivos de registro magnético y electrónico, cada uno de los cuales sólo puede presentar uno de dos posibles estados: magnetizado en un sentido, representando al cero, o magnetizado en el otro sentido, representando al uno. Cada dispositivo magnético es un dígito binario, denominado bit (abreviatura de "binary digit"). Los bits se agrupan en unidades llamadas palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o 64 bits, dependiendo de la computadora de que se trate (los tamaños de palabra más usuales son los de 16 o de 32 bits). También se utilizan otras unidades denominadas bytes, constituidos generalmente por 8 bits, y utilizados como particiones de palabras, para representar caracteres. Así, por ejemplo, una palabra de 32 bits consta de 4 bytes. La manera en que se usan los bits para registrar los números enteros y los números fraccionarios, varía en función del diseño de la computadora

5 1.4.1 Los números enteros en computadora Los números enteros requieren de al menos una palabra para almacenarse dentro de la memoria de la computadora; si el tamaño de palabra de la computadora es de 2 bytes (16 bits), el primer bit registra el signo: positivo si es 0, negativo si es 1, y los 15 bits restantes se usan para registrar números enteros binarios en el rango de 000000000000000 a 111111111111111. n1n1n1n1 n2n2n2n2 n3n3n3n3 n4n4n4n4 n5n5n5n5 n6n6n6n6 n7n7n7n7 n8n8n8n8 n9n9n9n9 n10n10n10n10 n 11 n12n12n12n12 n13n13n13n13 n14n14n14n14 n15n15n15n15 Al convertir el número binario 111111111111111 a sistema decimal, se obtienen las cotas inferior y superior en sistema decimal: 2 14 + 2 13 + 2 12 + 2 11 + 2 10 + 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 + 2 0 = 2 15 - 1 = 32767 Conforme a esto, el mayor entero positivo posible sería el 32767 y el menor entero negativo posible sería el -32767; pero la mayoría de las computadoras usan el complemento a dos para almacenar los números negativos, lo cual consiste en cambiar la interpretación de la polaridad en los dispositivos magnéticos e incrementar en 1 el resultado obtenido; esto hace que su rango se incremente en 1, para que sea -32768. 0000000000000000 2 = 0 1000000000000000 2 = -32768 10

6 1.4.1 Los números enteros en computadora

7 Los números positivos se registran así: 0000000000000001 2 = 1 10... 0111111111111111 2 = 32767 10 Para los números negativos, la polaridad se invierte: los ceros se cambian por unos y los unos por ceros y se le añade un 1 al resultado, de manera que su registro se hace así: 1111111111111111 2 = -1 10... 1000000000000001 2 = -32767 10 Entonces, el rango de almacenamiento de números enteros decimales, en máquinas con palabras de memoria de 16 bits es: (-32,768, 32,767), valores más que suficientes para lo que requiere un ingeniero. Si el tamaño de palabra de la computadora es de 4 bytes (32 bits), el campo correspondiente es conocido como entero largo, pues el rango se incrementa sustancialmente: (-2147,483,648, 2147,483,647), obtenido de 2 31 – 1, con complemento a dos.

8 1.4.1 Los números enteros en computadora Ejemplo: Representar el número 28345 10 en sistema binario, en una palabra de 16 bits. 283451 141720 70860 70860 35431 35431 17711 17711 8851 8851 4420 4420 2211 2211 1100 1100 551 551 271 271 131 131 60 60 31 31 11 11 0 0110111010111001 (+) 28345 10 = 110111010111001 2

9 1.4.1 Los números enteros en computadora Ejemplo: Identificar qué número entero decimal está representado en la siguiente palabra de 16 bits. 0000011011111010 (+) 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 + 2 3 + 2 1 = 1786 10 Ejemplo: Representar el número -2849 10 en sistema binario, en una palabra de 16 bits, usando complemento a dos. 28491 28491 14240 7120 7120 3560 3560 1780 1780 891 891 440 440 220 220 111 111 51 51 20 20 11 11 0 2849 10 = 101100100001 2 -2849 10 = -101100100001 2

10 1.4.1 Los números enteros en computadora 1111010011011111 (-)1111010011011111 –Complementamos el valor a 15 caracteres:000101100100001 2 –Cambiamos la polaridad:111010011011110 2 –Le sumamos 1:111010011011111 2 Ejemplo: Identificar qué número entero decimal está representado en la siguiente palabra de 16 bits, usando complemento a dos. –El valor sin signo en 15 caracteres es:111011001010011 2 –Le restamos 1:111011001010010 2 –Cambiamos la polaridad:000100110101101 2 - (211 + 28 + 27 + 25 + 23 + 22 + 20) = -2477 10 Es fácil darse cuenta que el manejo de números enteros en computadora no tiene el más mínimo problema, siempre que los números introducidos o los resultados del procesamiento no sobrepasen el rango establecido. (-)

11 1.4.2 Los números reales en computadora Las computadoras también manejan los números reales en sistema binario, pero no pueden hacerlo de manera exacta, porque el número de dígitos está limitado por el tamaño de palabra de cada máquina. La memoria de la computadora impone así una restricción a la precisión y exactitud de los números reales, pues al registrarlos, necesariamente son redondeados, cometiendo con ello pequeños errores. Claro que esta limitación no es privativa de la computadoras; en los cálculos a mano o usando cualquier tipo de calculadora, también tenemos que hacer redondeos. La forma de registrar un número real en una computadora digital depende del diseño del hardware y del software; sin embargo, el formato es del mismo tipo en todos los casos y se basa en el principio de utilizar la notación de punto flotante normalizado. Cualquier número real decimal X puede ser expresado en notación científica normalizada; ésta consiste en expresar el número como una potencia de 10, asignándole el exponente n que resulte de desplazar el punto decimal las posiciones necesarias para que todos los dígitos significativos del número en cuestión queden inmediatamente a la derecha del punto, garantizando que el primero de ellos sea diferente de cero: X = F x 10 n donde F es un número menor que 1 y mayor o igual que 0.1: 0.1 F < 1 y n es un entero positivo, negativo o cero: n Z y n es un entero positivo, negativo o cero: n Z Ejemplos: 836.238 10 = 0.836238 x 10 3 -0.00672813 10 = -0.672813 x 10 -2

12 1.4.2 Los números reales en computadora De la misma manera, aunque con valores significativos diferentes, en sistema binario también se puede expresar cualquier número real con la notación científica normalizada, a la que en este caso se le llama notación de punto flotante normalizado. X = G x 2 m donde el exponente m es un entero positivo, negativo o cero, expresado en binario, y G es la mantisa del número, la cual debe ser menor que 1 y mayor o igual que 0.1 2 (ó 0.5 10 ). Por ejemplo: 11111.01 2 = 0.1111101 2 x 2 101 -0.00000011101101 2 = 0.11101101 2 x 2 -110 La manera más común de almacenar números reales en una PC es utilizando palabras de 32 bits (4 bytes), distribuidos como sigue: 1 bit para el signo de la mantisa, 1 bit para el signo del exponente, 7 bits para el exponente entero, expresado en binario 23 bits para la mantisa, expresada en binario 0.1mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm x 2 eeeeeee 0.1mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm x 2 eeeeeee m = 0, 1;e = 0, 1

13 Números reales

14 1.4.2 Los números reales en computadora En virtud de que la mantisa siempre empieza con 1, no hay necesidad de almacenar éste 1, de manera que los 23 bits reservados para la mantisa son para guardar desde el segundo hasta el veinticuatroavo caracter del número binario en punto flotante. eeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Los 7 bits destinados al exponente se usan para registrar números enteros binarios en el rango de 0000000 a 1111111. Su signo se controla por separado (distinguido en rojo). Conforme a esto, el mayor exponente positivo posible sería el 127 y el menor exponente negativo posible sería el -127; pero usando el complemento a dos, su rango se incrementa en 1, para que sea -128. Los exponentes positivos se registran así: 00000001 2 = 1 10...01111111 2 = 127 10 Para los números negativos, la polaridad se invierte: los ceros se cambian por unos y los unos por ceros y se le añade un 1 al resultado, de manera que su registro se hace así: 11111111 2 = -1 10...10000001 2 = -127 10

15 1.4.2 Los números reales en computadora Para analizar el rango de valores de la mantisa se consideran 24 bits: el 1 que no se guarda y los 23 bits reservados que si quedan almacenados. Entonces, se pueden registrar números fraccionarios binarios en el rango de 0.100000000000000000000000 a 0.111111111111111111111111 –El valor fraccionario más pequeño equivale a 0.5 en decimal es: 2 -1 = 0.5 –El valor fraccionario más grande equivale a 0.999999940395 en decimal: 24 2 - j = 1 - 2 -24 = 0.999999940395355224609375 2 - j = 1 - 2 -24 = 0.999999940395355224609375j=1 Ahora bien, considerando simultáneamente los rangos del exponente y de la mantisa, podemos determinar el rango correspondiente a los números reales: –El número real positivo más pequeño que puede representarse es: 0.5 x 2 -128 1.47 x 10 -39 –El número real positivo más grande que puede representarse es: 0.999999940395355224609375 x 2 127 1.70 x 10 38 De manera que el rango total para los números reales positivos o negativos, en este tipo de computadora es de 1.47 x 10 -39 a 1.70 x 10 38.

16 1.4.2 Los números reales en computadora Ejemplo: Representar en sistema binario, en una palabra de 32 bits, el número 31.25 10 31.25 10 = 0.3125 10 x 10 2 = 0.3125 10 x 100 10 0.3125 1000 0.6250 0 500 0.2500 1 251 0.5000 0 120 0.0000 1 60 31 31 11 11 0 31.25 10 = 0.0101 2 x 1100100 2 = 11111.01 2 = 0.1111101 2 x 2 101 Recordando que el primer 1 de la mantisa no se almacena, la representación queda: 00000010111110100000000000000000 (+)

17 1.2.1 Los números reales en computadora Ejemplo: Identificar el número real decimal que está representado en la siguiente palabra de 32 bits: 00000010100001110000000000000000 01111011100000000000000000000000 Recordando que el primer uno no está representado, el número en binario es: 0.10000111 2 x 2 101 = 10000.111 2 2 4 + 2 -1 + 2 -2 + 2 -3 = 16 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 16.875 10 Ejemplo: Identificar el número real decimal que está representado en la siguiente palabra de 32 bits: (+) (+) (-) Dado que el exponente es negativo, le aplicamos el inverso del complemento a dos: primero restándole 1 y luego cambiando la polaridad: 1110111 2 - 1 2 = 1110110 2 ~ 0001001 2, con lo que el exponente es:-1001 2 Recordando que el primer 1 no está representado, la mantisa es: 0.1 2 El número en binario es: 0.1 2 x 2 -1001 = 0.0000000001 2 y en decimal:2 -10 = 0.0009765625 10

18 1.4.2 Los números reales en computadora Ejemplo: Representar en sistema binario, en una palabra de 32 bits, el número - 0.00072161910 Requerimos de 25 cifras, a partir del primer 1 (24 a conservar y 1 para redondear) 0.0007216190.1680911361 0.00144323800.3361822720 0.00288647600.6723645440 0.00577295200.3447290881 0.01154590400.6894581760 0.02309180800.3789163521 0.04618361600.7578327040 0.09236723200.5156654081 0.18473446400.0313308161 0.36946892800.0626616320 0.73893785600.1253232640 0.47787571210.2506465280 0.95575142400.5012930560 0.91150284810.0025861121 0.82300569610.0051722240 0.64601139210.0103444480 0.29202278410.0206888960 0.58404556800.0413777920

19 1.4.2 Los números reales en computadora La última cifra nos sirve para redondear la penúltima. - 0.000721619 10 = - 0.0000000000101111010010101100001000 2 = - 0.101111010010101100001000 2 x 2 -1011 = - 0.101111010010101100001000 2 x 2 -1011 Por ser un exponente negativo, le aplicamos el complemento a dos: primero complementándolo a 7 cifras, luego invirtiendo la polaridad y finalmente sumándole un 1: 0001011 2 1110100 2 + 1 2 = 1110101 2 Recordando que el primer 1 de la mantisa no se almacena, la representación queda: 11111010101111010010101100001000 (-) Ejemplo: Suponga que una computadora maneja palabras de 16 bits; ¿cuál sería el resultado de sumar mil veces el número fraccionario 1/100? ¿cuál sería el error absoluto? Y ¿cuál el relativo?. Considere que la computadora recibe las cifras en sistema decimal, las convierte a binario, hace las operaciones en binario y el resultado lo traduce a decimal. Considere los dos bits para los signos, cinco bits para el exponente y nueve espacios para la mantisa.

20 1.4.2 Los números reales en computadora 0.01 0.020 0.040 0.080 0.160 0.320 0.640 0.281 0.560 0.121 0.240 0.480 0.960 0.921 0.841 0.681 0.361 1/100 = 0.01 10 = 0.0000001010001111 2 = 0.1010001111 2 x 2 -110 10000 5000 2500 1251 620 311 151 71 31 11 0 1000 10 = 1111101000 2 1000 x 1/100 = 1111101000 2 x 0.1010001111 2 x 2 -110

21 1.4.2 Los números reales en computadora El resultado exacto del producto anterior es, en binario: 1001111100.10111000 x 2 -110 Cifra que redondeada a 10 bits, en formato de punto flotante, queda expresada: 1001.111101 = 0.1001111101 x 2 100 Este resultado en binario, traducido a decimal da: =(0.50+0.0625+0.03125+0.015625+0.0078125+0.00390625+0.0009765625) x 2 100 = 0.6220703125 x 16 = 9.953125 10 El verdadero valor de la operación es: 1/100 x 1000 = 10 El error absoluto cometido es: E = 10 – 9.953125 = 0.046875 El error relativo es: e = 0.046875/10 = 0.0046875 ;e = 0.47%

22 1.4.2 Los números reales en computadora No obstante el rango tan amplio de manejo, los números reales no corresponden a un continuo en la computadora, sino que hay un conjunto finito de valores discretizados, que pueden ser representados de manera perfecta, mientras que el resto no pueden ser expresados con exactitud y precisión y sólo es posible representarlos en forma aproximada. Por ejemplo, si el número real más pequeño que puede representarse en una computadora como la descrita anteriormente es: 0.5 x 2 -128 1.47 x 10 -39, significa que no se pueden representar números reales en el intervalo que está entre 0 y 1.47 x 10 -39. Si el número real más grande que puede representarse es: 1.70141173319 x 10 38, y el número positivo inmediato menor a éste, que se puede representar es: 23 23 ( 2 -j ) x 2 127 = (1 - 2 -23 ) x 2 127 1.70141163178 x 10 38 ; ( 2 -j ) x 2 127 = (1 - 2 -23 ) x 2 127 1.70141163178 x 10 38 ;j=1 Entre estos dos últimos valores, tampoco se puede representar ningún número real con notación de punto flotante en este tipo de computadora; el tamaño de este intervalo es 1.0141 x 10 31, que es 6.9 x 10 69 veces más grande que el correspondiente a valores más pequeños: 1.47 x 10 -39. Esto significa que la distribución de números reales que pueden ser representados en una computadora no es uniforme, sino que hay mucho mayor densidad en los valores más pequeños que en los más grandes.

23 1.4.2 Los números reales en computadora Pareciera que la imposibilidad de las computadoras para representar cualquier número real, con exactitud y precisión, se torna en un asunto grave. No es así, ya que los "huecos" son extraordinariamente pequeños, aún en el caso más desfavorable, correspondiente a los números más grandes. Si comparamos éstos: 1.70141163178 x 10 38 y 1.70141173319 x 10 38, vemos que son realmente muy cercanos: la primera diferencia entre ellos se presenta hasta el octavo dígito; esto significa, que los primeros siete dígitos significativos nos ofrecen una confiabilidad total, más que sobrada para fines de ingeniería. Para casos muy eventuales se usa el recurso de doble precisión que ofrecen las propias computadoras y que consiste en utilizar un doble tamaño de palabra (8 bytes o 64 bits) para representar y almacenar números reales en formato de punto flotante. La desventaja de utilizar tal recurso es el mayor consumo de memoria y el mayor tiempo de ejecución de los programas, los cuales, al menos, se duplican.

24 Épsilon de una computadora Se define como épsilon de una máquina al valor absoluto de la diferencia entre 1 y el menor número mayor que 1, pero distinguible de 1, que puede ser representado en la computadora. Para la máquina que hemos analizado anteriormente, el número más pequeño mayor que uno es: 0.100000000000000000000001 x 2 1 = (2 -1 + 2 -24 ) x 2 1 = = 1.00000011921 10 por lo que el épsilon de esta máquina es: 1.00000011921 - 1 = 0.00000011921 1.19 x 10 -7 Evidentemente, mientras menor sea el épsilon de una máquina, mayor es el conjunto de números que puede representar en formato de punto flotante.

25 Épsilon de una computadora Ejemplo: Considere una computadora que utiliza palabras de memoria de 16 bits para almacenar números reales en formato de punto flotante, guarda hasta 8 cifras de la mantisa, excluido el primer 1, y aplica el complemento a dos a los exponentes negativos. Si los 16 bits están distribuidos como sigue: 1 bit para el signo de la mantisa, 1 bit para el signo del exponente, 6 bits para el exponente entero, expresado en binario 8 bits para la mantisa, expresada en binario a)determinar el rango de valores que podría representar y almacenar esta computadora hipotética. b)calcular el épsilon correspondiente a esta máquina.

26 Épsilon de una computadora a) Los 6 bits destinados al exponente se usan para registrar números enteros binarios en el rango de 000000 a 111111. Su signo se controla por separado. El mayor exponente positivo posible sería: 2 6 - 1 = 63 y el menor exponente negativo posible sería el -64, por la aplicación del complemento a dos. Los 8 bits reservados para la mantisa se usan para registrar números fraccionarios en el rango de 0.100000000 a 0.111111111. El valor fraccionario más pequeño equivale a 0.5 en decimal y el valor fraccionario más grande equivale a 0.998134375 en decimal: 9 2 -j = 1 - 2 -9 = 0.998046875 2 -j = 1 - 2 -9 = 0.998046875j=1 Entonces, el número real más pequeño que puede representarse es: 0.5 x 2 -64 2.71 x 10 -20 y el número real más grande, que puede representarse es: 0.998046875 x 2 63 9.21 x 10 18 b) El número más pequeño mayor que uno, que podría almacenarse es: 0.100000001 x 2 1 = (2 -1 + 2 -9 ) x 2 1 = 1.00393125 10 por lo que el épsilon de esta máquina sería: 1.00393125 - 1 = 0.00393125 = 3.93 x 10 -3


Descargar ppt "MÉTODOS NUMÉRICOS 1.4 Aritmética de la computadora Gustavo Rocha 2005-2."

Presentaciones similares


Anuncios Google