Triángulos Matemática TRIÁNGULOS:

Presentación del tema: "Triángulos Matemática TRIÁNGULOS:"— Transcripción de la presentación:

1 Triángulos Matemática TRIÁNGULOS:
Nuestro segundo tema de repaso, en esta revisión de conceptos básicos de Geometría, es: “Triángulos”.

2 Triángulos Definición:
Figura geométrica, formada por una poligonal cerrada, delimitada por tres lados DEFINICIÓN: Al igual que en el tema anterior, comenzaremos dando la definición de “Triángulo” con el fin de ir afianzando nuestro conceptos matemáticos. Así entonces decimos que: “El triángulo es una figura geométrica, formada por una poligonal cerrada, delimitada por tres lados.”

3 Triángulos Elementos: Suma de los ángulos interiores: 180º Lados
α b c Ángulos γ β Vértices C B a ELEMENTOS: Los elementos con que cuenta esta figura son censillos y fáciles de recordar, veamos: Lados: son los elementos que delimitan la figura. Geométricamente son segmentos de rectas unidos entre sí, por sus extremos y, por lo general, se designan con letras las primeras letras del alfabeto, en minúscula. Ángulos: son los formados en el encuentro de dos de sus lados, y se designan con letras del alfabeto griego (minúsculas). Vértices: son los puntos de encuentro de dos de sus lados y también podría considerarse como “puntos extremos” del triángulo. Se designan con letra mayúsculas del alfabeto y, por lo general, en correspondencia con la designación del lado opuesto al ángulo que se está considerando. Como dato anexo, y que veremos más en detalle al estudiar “Polígonos”, diremos que “la suma de los ángulos interiores del triángulo, suma: 180º”. Suma de los ángulos interiores: 180º

4 Triángulos Clasificación dada por sus lados:
equilátero isósceles escaleno Clasificación dada por sus ángulos: CLASIFICACIÓN: Estas figuras pueden clasificarse según sus lados y según sus ángulos. La clasificación dada por sus lados nos dice que se denomina: Equilátero: cuando sus 3 lados son iguales Isósceles: cuando posee 2 lados iguales y 1 desigual, y Escaleno: cuando sus 3 lados son desiguales. La clasificación dada por sus ángulos nos dice que se denomina: Acutángulo: cuando sus ángulos interiores son los 3 agudos (menos de 90º) Obtusángulo: cuando uno de sus ángulos interiores es obtuso (más de 90º) Estos dos tipos de triángulos se denominan en forma más genérica como “Oblicuángulos”. La tercera denominación, en esta clasificación, es llamada: Rectángulo, y es cuando en el triángulo 1 de sus ángulos es recto (igual a 90º) Oblicuángulo acutángulo obtusángulo rectángulo

5 El punto “o” se denomina “incentro”.
Triángulos Líneas y puntos notables de un triángulo: Bisectrices de un triángulo acutángulo A B C rectángulo A B C obtusángulo A B C a a a c b c c o b o b o Líneas y puntos notables de un triángulo Asociado a un triángulo, se pueden trazar diversas líneas características asociadas a sus distintos elementos, la intersección de estas líneas nos dan puntos con propiedades particulares. Veamos entonces de que se trata esto. Bisectrices de un triángulo En primer lugar, recordemos el concepto de “bisectriz”: es la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales. Si trazamos las bisectrices de los ángulos de un triángulo cualquiera, podemos observar que éstas se intersectan en un punto interior común. Este punto equidista de los lados del triángulo. El punto se denomina “incentro”, y podemos comprobar esta propiedad, trazando una circunferencia cuyo centro sea este punto y su radio la distancia a uno de sus lados. La circunferencia dibujada se encuentra inscripta en el triángulo. Podemos observar que cada uno de los lados del triángulo es tangente a la circunferencia trazada. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto interior que equidista de sus lados. El punto “o” se denomina “incentro”.

6 El punto “o” se denomina “circuncentro”.
Triángulos Líneas y puntos notables de un triángulo: Mediatrices de un triángulo acutángulo A B C rectángulo A B C M1 M1 obtusángulo A B C M3 M1 M3 o M2 M2 M3 M2 o o Mediatrices de un triángulo Recordemos el significado de “mediatriz”: la mediatriz de un segmento de recta, es la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio. Al trazar las mediatrices de los lados de un triángulo vemos que, aquí también, estas rectas se intersectan en un punto común. Si el triángulo es acutángulo, el punto se encontrará en el interior de la figura; si el triángulo es rectángulo, el punto estará sobre su lado mayor, o hipotenusa, y en su punto medio; y si el triángulo es obtusángulo este punto se encontrará fuera de la figura. Este punto se denomina “circuncentro”, y equidista de los vértices del triángulo. Esto es fácil de comprobar, trazando una circunferencia con centro en este punto y con un radio igual a la distancia a uno de los vértices, vemos que su traza toca los otros vértices del triángulo. La circunferencia dibujada se encuentra circunscripta al triángulo, es decir lo contiene. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de sus vértices. El punto “o” se denomina “circuncentro”.

7 El punto “o” se denomina “centro ortogonal” u “ortocentro”.
Triángulos Líneas y puntos notables de un triángulo: Alturas de un triángulo acutángulo A B C rectángulo A B C obtusángulo A B C a a a b c c c o b o Alturas de un triángulo Ahora consideraremos las “alturas”: es por convención una distancia perpendicular trazada de un punto a una recta, o un plano; en el triángulo, el punto es el vértice y el segmento de recta es el lado opuesto al vértice considerado. Al dibujar las alturas en cada triángulo, observamos que en los acutángulos, estas se cruzan en un punto interno de la figura. En el triángulo rectángulo este punto de encuentro coincide con el vértice del ángulo recto. En los triángulos obtusángulos, dos de sus alturas deben ser tomadas en forma externa a ellos, sobre la prolongación de sus lados. En este caso el punto de convergencia también está ubicado en forma exterior a la figura; para verlo, debemos prolongar estos segmentos. El punto de convergencia de las alturas de un triángulo se denomina “centro ortogonal” u “ortocentro”. b o Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto. El punto “o” se denomina “centro ortogonal” u “ortocentro”.

8 El punto “o” se denomina “baricentro” (centro de gravedad).
Triángulos Líneas y puntos notables de un triángulo: Medianas de un triángulo acutángulo A B C rectángulo A B C obtusángulo A B C a a a c c b c b b o o o Medianas de un triángulo “Mediana”, matemáticamente hablando, nos indica un valor “medio”. Las medianas de un triángulo son los segmentos de recta que unen el punto medio de cada uno de sus lados con el vértice opuesto a ellos. Al dibujar las medianas, vemos que su punto de corte es siempre interno a la figura. Pero esta no es su única propiedad, la distancia de este punto a cada vértice es igual a 2/3 del valor de la mediana correspondiente. Este punto es de suma importancia; denominado “baricentro” o “centro de gravedad”, es el punto de equilibrio de la figura. Si sostenemos, ya sea apoyando o suspendiendo, al triángulo de este punto, el mismo se mantiene en perfecto equilibrio. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto interior cuya distancia a cada vértice es igual a 2/3 de la mediana correspondiente. El punto “o” se denomina “baricentro” (centro de gravedad).

9 Triángulos Líneas y puntos notables de un triángulo: Exincentro :
Es el punto de encuentro de la bisectrices de un ángulo de un triángulo con las dos bisectrices exteriores de los otros dos ángulos c a C A O B b Medianas de un triángulo “Mediana”, matemáticamente hablando, nos indica un valor “medio”. Las medianas de un triángulo son los segmentos de recta que unen el punto medio de cada uno de sus lados con el vértice opuesto a ellos. Al dibujar las medianas, vemos que su punto de corte es siempre interno a la figura. Pero esta no es su única propiedad, la distancia de este punto a cada vértice es igual a 2/3 del valor de la mediana correspondiente. Este punto es de suma importancia; denominado “baricentro” o “centro de gravedad”, es el punto de equilibrio de la figura. Si sostenemos, ya sea apoyando o suspendiendo, al triángulo de este punto, el mismo se mantiene en perfecto equilibrio. El exincentro “o” es centro de una circunferencia exterior, tangente a uno de los lado del triángulo y la prolongación de los otros dos . Como conclusión podemos decir que todo triángulo posee tres circunferencias exinscritas

10 Triángulos Resolución de Triángulos Rectángulos: a2 = b2 + c2
Teorema de “Pitágoras” 25 a2 = b2 + c2 9 a c b 16 Resolución de triángulos rectángulos Nos toca, ahora, rever los conceptos a cerca de cómo resolver los triángulos rectángulos. Recordemos que en estos triángulos se llama al lado mayor: hipotenusa; y a los lados menores: catetos. Para resolver este tipo de figuras, nos valdremos del Teorema de Pitágoras, cuyo enunciado dice: “En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Lo que en forma algebraica escribimos como: “a2 = b2 + c2”. Si lo que deseamos es encontrar el valor de la hipotenusa “a”, conociendo el valor de los catetos, debemos hallar la raíz cuadrada de ambos de ambos miembros de la igualdad planteada y así resulta que el valor de la hipotenusa que estábamos buscando es: “a = √b2 + c2” Conociendo el valor de la hipotenusa y uno de los catetos, si trabajamos con la primera ecuación y procedemos de igual manera que lo hicimos con la hipotenusa, podemos encontrar el valor del otro cateto del triángulo. +

11 Triángulos Resolución de Triángulos Rectángulos: a2 = b2 + c2
Teorema “Fundamental de la Trigonometría” a2 = b2 + c2 0,0 x y a2 = cos2α + sen2α a = r = 1 Teorema Fundamental de la Trigonometría Si partimos de lo planteado en el Teorema de Pitágoras y lo asociamos a: un sistema de ejes cartesianos y al círculo trigonométrico podemos hacer desarrollos de gran interés dentro del estudio que estamos realizando. Así entonces, si dibujamos un radio en el círculo trigonométrico, con un ángulo “α”, distinto de “0” (cero), y trazamos sus proyecciones en horizontal y vertical, podemos asociar a estas a las funciones de coseno y seno del ángulo “α”. Con estos elementos, nos replanteamos el enunciado de Pitágoras, haciendo los reemplazos del caso. De esto resulta: “a2 = cos2α + sen2α” En el triángulo dibujado, la hipotenusa: “a”, es el radio del círculo trigonométrico, por lo tanto su valor es igual a “1”; por lo tanto si hacemos este reemplazo en la ecuación que estamos trabajando, nos queda: “12 = cos2α + sen2α” Sabemos que “12 = 1”, por lo tanto, nuestra ecuación final será: “1 = cos2α + sen2α”, este es el enunciado del “Teorema Fundamental de la Trigonometría” 12 = cos2α + sen2α c = sen α α 1 = cos2α + sen2α b = cos α

12 Triángulos Resolución de Triángulos Oblicuángulos:
Teorema del “Coseno” Lo aplicamos cuando conocemos 2 lados y el ángulo incluido entre ellos A B C α a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos α Resolución de triángulos oblicuángulos Veremos ahora la aplicación de un par de teoremas aplicables a “triángulos no rectángulos”. Recordemos que para la resolución de cualquier triángulo siempre son necesarios 3 (tres) datos, de los cuales 1 (uno) de ellos debe ser un lado. Teorema del “Coseno” En primer lugar nos abocaremos al Teorema del Coseno; éste es aplicable cuando en un triángulo cualquiera conocemos: “dos lados de la figura y el ángulo incluido entre ellos” y deseamos encontrar el tercer lado, que se ubica de forma opuesta al ángulo conocido. El enunciado del teorema nos dice: “a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos α” De esta manera, haciendo los reemplazos con los datos conocidos podemos encontrar el valor del lado que nos falta. b c a

13 Triángulos Resolución de Triángulos Oblicuángulos: a sen α b sen β c
Teorema del “Seno” Lo aplicamos cuando conocemos: 1 lado, su ángulo opuesto y algún otro dato, ya sea un lado o un ángulo A B C a sen α = b sen β = c sen γ α Teorema del “Seno” Ahora veremos lo que nos propone el Teorema del Seno. A este teorema lo podemos aplicar cuando en un triángulo cualquiera conocemos: “un lado, su ángulo opuesto y algún otro dato, ya sea un lado o un ángulo”. El enunciado del teorema nos dice: “a/sen α = b/sen β = c/sen γ”, es decir relaciona a cada lado con el seno del ángulo opuesto a éste. Si tomamos, convenientemente, dos de los miembros de esta igualdad, reemplazamos en ellos los datos conocidos y operamos adecuadamente, podremos saber el valor del cuarto término. Si el tercer dato conocido es un lado, nos permitirá conocer el valor del ángulo opuesto a éste, si el tercer dato es un ángulo, será el valor del lado opuesto a dicho ángulo lo que podremos calcular. b c γ β a

14 Triángulos Cálculo del área, o superficie, de triángulos:
Base h b c a Base - Altura C A B b c α L A L C A B a β γ A L A Cálculo del área, o superficie, de triángulos Por último nos ocuparemos como calcular el área, o superficie, de un triángulo de acuerdo a los datos que tenemos, o podemos calcular. La primera fórmula que veremos, talvez la más conocida, es aquella que aplicamos cuando conocemos: el valor de la base y de la altura del triángulo; en este caso decimos que: “A = b . h / 2”. Cuando conocemos el valor de dos lados y el del ángulo comprendido entre ellos, podemos aplicar la fórmula que nos dice que: “A = b . c . sen α / 2” Cuando conocemos el valor de un lado y valor el de los dos ángulos adyacentes al lado conocido, podemos aplicar la fórmula que nos dice que: “A = a2 . sen β . sen γ / sen α” Nota: cabe recordar que conociendo el valor de dos ángulos del triángulo, es muy sencillo conocer el valor del tercero. Para finalizar, veremos el caso del cálculo del área de un triángulo cuando conocemos la dimensión de sus tres lados. La fórmula para este caso nos dice que: “A = √ p . (p-a) . (p-b) . (p-c)” siendo: p = (a + b + c)/2 Esta fórmula corresponde al enunciado del Teorema de Herón. Su apariencia es algo complicada, pero resulta de gran utilidad, dado que puede realizarse el cálculo de la superficie buscada sólo con la dimensión de los lados del triángulo como datos. C A B b c a L L L Teorema de Herón

15 Triángulos Fin Con este material teórico, los invito a realizar la ejercitación práctica propuesta para el presente tema.