1 Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución.

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1 1 Distribución de Poisson Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) es pequeña, la distribución binomial converge a la distribución de Poisson: Observa que si p es pequeña, el éxito es un “suceso raro”. La distribución de Poisson, junto con la uniforme y la binomial, son las distribuciones más utilizadas. La distribución de Poisson expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo. donde np =

2 (mu) es la media de la cantidad de veces (éxitos) que se presenta un evento en un intervalo particular. e es la constante 2.71828 (base del sistema de logaritmos neperianos). x es el número de veces que se presenta un evento. P(x) es la probabilidad de un valor específico de x. La media de número de éxitos, puede determinarse con n; en este caso, n es el número total de ensayos, y, la probabilidad de éxito.

3 EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON 1. La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. 2. La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo. 3. Los intervalos no se superponen y son independientes.

4 Considera los siguientes experimentos: El número de clientes que llegan a la ventanilla de un banco a la hora. El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital. El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado. El número de coches que circulan por una rotonda a la hora. Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características: Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado. La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.) El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.

5 Consideramos una v.a. X que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica: 1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo. 2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad. 3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente. Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de Poisson. Distribución de Poisson

6 Ejemplo: Sea X el número de clientes que han entrado en una tienda de alimentación a lo largo de un mes. Para poder suponer que X sigue una distribución de Poisson tendríamos que verificar que: 1) La probabilidad de entrar en la tienda es la misma a lo largo del periodo (suponemos entonces, que no han abierto/cerrado otras tiendas de la competencia, etc). Esto es equivalente a comprobar que el número medio de clientes en un mes es más o menos constante. 2) Además tiene que ocurrir que el número de clientes en un determinado mes, por ejemplo, octubre, sea independiente del número de clientes que hubo en otro mes, por ejemplo, septiembre. (En este caso sería suponer que no hay clientela fija). 3) Supongamos que el número medio de clientes es 400 al mes. Entonces si X es Poisson se ha de cumplir que el número medio de clientes a los dos meses es 800 y el número medio de clientes a la semana es 100.

7 7 Características de la distribución de Poisson  = 0.5  = 6 12345 X 246810 X Media Desviación estándar   EX   () 0.2.4.6 0 P(X) 0.2.4.6 0 P(X) Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x 

8 8 Distribución de Poisson para varios valores de . La distribución de Poisson se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n > 30) y ‘p pequeño’ (p < 0,1). Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza).  np = La distribución de Poisson es asimétrica, siendo en general más probables los valores pequeños de la variable que los mayores (normalmente se asocia a procesos que ocurren muy pocas veces). Sin embargo, si crece, la distribución tiende a la simetría.

9 El número medio de aviones que usan una pista de aterrizaje en un aeropuerto es 2 cada media hora. Suponiendo que siguen una ley de Poisson, ¿cuál es la probabilidad de que el número de llegadas sea 5 o mayor? ¿Cuál es la probabilidad de que en un cuarto de hora aterrizen más de 4 aviones? P(X  5) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)] = 1 - [e -2 +2 ·e -2 +2 2 ·e -2 /2 + 2 3 ·e -2 /6 + 2 4 ·e -2 /24] =.052. Sea Y el número de aviones que aterrizan en esa pista cada cuarto de hora. Entonces Y es una Poisson de parámetro 1: Por tanto, P( Y > 4) = P(Y  5) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4)] =1 - [e -1 +1 ·e -1 +1 2 ·e -1 /2 + 1 3 ·e -1 /6 + 1 4 ·e -1 /24] =...

10 10 Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, ¿cuál es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga más de 2 televisores defectuosos? El suceso complementario A c : No más de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribución de Poisson con  = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2). La distribución binomial nos daría el resultado exacto:

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12 12 Bombas sobre Londres en la II Guerra Mundial (Feller) 10 x 10 400 bombas Supón que vivías en uno de los 100 bloques que aparecen en la gráfica inferior. La probabilidad de que una bomba cayera en tu bloque era 1/100. Como cayeron 400 bombas, podemos entender el número de impactos en tu bloque como el número de éxitos en un experimento de Bernoulli con n = 400 y p = 1/100. Podemos usar una Poisson con λ = 400  1/100 = 4: Observado Predicho