8. Funciones. Operaciones.. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes.

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1 8. Funciones. Operaciones.

2 Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. Funciones. Operaciones. En esta sección definiremos la composición de funciones y la función inversa de una función; estos dos conceptos (composición e inversión de funciones) son importantes en el desarrollo del cálculo. Reconocer una suma, producto, cociente o composición de funciones es útil porque permite descomponer funciones complicadas en otras más sencillas.

3 Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ± g está definida por: (f ± g )(x) = f(x) ±g(x). El dominio de f ± g es Df ∩ Dg Operaciones. 8.1 Suma y diferencia.

4 Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f ± g está definida por: (f ± g )(x) = f(x) ±g(x). El dominio de f ± g es Df ∩ Dg Operaciones. 8.1 Suma y diferencia. Propiedades 1.Conmutativa (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) 2.Asociativa ({f+g}+h)(x)= (f+{g+h})(x) 3.E. neutro (f+ 0)(x)=f(x) O=función nula 4.E. Opuesto (f +(-f)(x)= O

5 Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f · g está definida por: (f · g )(x) = f(x) · g(x) El dominio de f · g es Df ∩ Dg Operaciones. 8.2 Multiplicación.

6 Sean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. La función f · g está definida por: (f · g )(x) = f(x) · g(x) El dominio de f · g es Df ∩ Dg Operaciones. 8.2 Multiplicación. Propiedades 1.Conmutativa (f · g )(x) = f(x) · g(x)= g(x)f(x)= (g · f )(x) 2.Asociativa ({f · g} · h)(x )= ( f · {g · h})(x) 3.E. Neutro (f · g )(x) = f(x) · 1=f(x) g(x)=1 4.E. Inverso (Recíproco) (1/f )(x) =1/f(x) Df \{f(x)=0}

7 Operaciones. 8.3 División.

8 Si f es una función de X en Y, g es una función de Y a Z, entonces la función compuesta g o f es la función de X a Z dada por: Operaciones. 8.4 Composición de funciones. Es muy importante hacer notar que para formar la función composición es necesario que el recorrido de la función f sea igual o un subconjunto del dominio de la función g. Es decir: (g o f)(x) = g(f(x)) El dominio de g o f es Dgof = {x | x ε Df y f(x) ε Dg} X Y Z x f(x) fg Cuidado: Se lee f compuesto con g

9 Operaciones. 8.4 Composición de funciones. (g o f)(x) = g(f(x)) X Y Z Df f g Recf(x) Dg(x)

10 Operaciones. 8.4 Composición de funciones. = g(f(x)) = (g o f)(x) = f(g(x)) = (f o g)(x) Observación: Es evidente que la composición de función no es conmutativa.

11 Operaciones. 8.4 Composición de funciones.

12 Operaciones. 8.4 Composición de funciones. X Y -2 3 2 0 2 7 0 Es cambiar la x por la y

13 Operaciones.