Matrices En el s. XIX se desarrolló el Álgebra de matrices, el primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el matemático inglés J. Sylvester en el año.

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2 Matrices

3 En el s. XIX se desarrolló el Álgebra de matrices, el primero que empleó el término ‘’matriz’’ fue el matemático inglés J. Sylvester en el año 1850. El matemático inglés A. Cayley en 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz y las operaciones suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del s. XVI (antes que las matrices). En su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545. El japonés Kowa Seki introdujo los determinantes de orden 3 y 4 en la misma época que el alemán Leibniz. La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más de cien años en llegar. En 1825 H. Scherk publicó nuevas propiedades de los determinantes entre las que estaba la propiedad de que en una matriz en la que una fila es combinación lineal de varias de las demás filas de la matriz, el determinante es cero. A. Cayley en 1841 inventó la notación de los determinantes mediante barras verticales y en 1858 estableció la fórmula para el cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes.

4 1) Una concesionaria de automóviles tiene sus reportes mensuales de venta de autos expresados en forma de matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar y de lujo, mientras que las columnas indican el número de unidades de color rojo bermellón, azul metalizado, gris plomo y verde acuario. La casa central vendió en el mes de julio del modelo estándar 10 unidades de color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 9 verde acuario y en el modelo de lujo 6 unidades color rojo bermellón, 7 azul metalizado, 5 gris plomo y 12 verde acuario. La venta del mes de agosto fue en el modelo estándar ninguna unidad de color rojo bermellón, 20 azul metalizado, 10 gris plomo y 5 verde acuario y en el modelo de lujo 10 unidades color rojo bermellón, 5 azul metalizado, 7 gris plomo y 12 verde acuario. De acuerdo a la información dada : a) Exprese la matriz de venta de la casa central para los meses de julio y agosto. b) ¿ De qué clase es cada matriz ? c) ¿ Cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses ? d) ¿ Cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses ? e) Esta concesionaria de automóviles tiene una sucursal, que vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. Exprese la matriz de venta para los meses de julio y agosto. f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ? ¿ Cuántos autos se hubieran vendido en la sucursal si la venta en dicho local hubiese sido el triple que en la casa central ?

5 2) Escribir : a) Una matriz F  C 3 x 3 tal que : f ij = 0 si i = j ; f ij = i si i  j b) Una matriz G  C 3 x 2 tal que : g ij = 2 i + j si i > j ; g ij = i - j si i  j 3) Sean las matrices A y B  R 2 x 3 Calcular : i) A + Bii) 3 Aiii) 2A - 3B 4) Dadas las matrices : a) Escribir las matrices -A y –D b) Calcular, si es posible, B x A ; D x A y D x B.

6 5) Calcular los rangos de las siguientes matrices : 6) Calcular los siguientes determinantes

7 MATRICES informalmente una matriz es un conjunto de elementos ordenados en filas y columnas Esta matriz tiene m filas y n columnas El número de filas no tiene por qué ser igual al número de columnas, pero si esto sucede, la matriz es cuadrada Una matriz conformada con los mismos elementos que los de la matriz A, pero dispuestos de manera diferente, es una matriz distinta de A operaciones con matrices ver en los ejercicios resueltos

8 1 a) De la consigna extraemos los siguientes datos en forma ordenada Mes: JulioMes: Agosto RAGVRAGV estándar10579020105 de lujo67512105712 De manera que es posible componer dos matrices, una para cada mes La clase de una matriz está dada por la cantidad de filas y de columnas 1 b) J es de clase 2 por 3, y se escribe J (2x3) A es de la misma clase, A (2x3) 1 c) Para saber cuántos autos de modelo estándar y color rojo bermellón se vendieron en los dos meses sumamos el correspondiente al mes de Julio y el correspondiente al mes de Agosto esto es 10 +0= 10 1 f g 1 f g 1 d e 1 d e

9 1 d) Para saber cuántos autos de cada modelo y color se vendieron en los dos meses Sumamos las matrices que representan cada uno de los meses se efectúa sumando ordenadamente los elementos de cada fila y columna entre sí 1 e) Si la sucursal vendió en los meses de julio y agosto, el doble de lo vendido en la casa central. al resultado de la suma de ambos meses, lo multiplicamos por 2 (duplicamos) que se resuelve multiplicando por 2 cada elemento de la matriz (J + A ) 1 f g 1 f g

10 1 f) ¿ Cuál es la cantidad de autos vendidos por modelo y color en los dos locales durante los meses de julio y agosto ? 7 g) si la venta en la sucursal hubiese sido el triple que en la casa central Sumamos a lo vendido en casa centrallo vendido en la sucursal

11 2) a) Escribir una matriz F  C 3 x 3 tal que : f ij = 0 si i = j ; f ij = i si i  j Si la matriz F es de clase 3 x 3 F (3x3) tiene tres filasy tres columnas Podemos escribir la matriz F de la siguiente manera: Donde los subíndices de cada elemento, significan el orden de filas y columnas que le corresponde, según su ubicación Es el elemento ubicado en la fila i columna j Es el elemento ubicado en la fila 3 columna 2 Si f ij = 0 cuando i = j f 11 = 0 ; f 22 = 0; f 33 = 0 y cuando i  j f ij = i entonces : f 12 = 1 ; f 13 = 1; f 21 = 2 ; f 23 = 2 ; f 31 = 3 ; f 32 = 3 entonces 8 b 8 b

12 2 b) La matriz G  C 3 x 2 tal que : g ij = 2 i + j si i > j ; g ij = i - j si i  j La matriz G es de clase 3 x 2 G (3x2) tiene tres filasy dos columnas Podemos escribir la matriz G de la siguiente manera: Donde los subíndices de cada elemento, significan el orden de filas y columnas que le corresponde, según su ubicación Es el elemento ubicado en la fila i columna j En g 11 i = j luego g 11 = 1 – 1 = 0 En g 12 i < j luego g 12 = 1 – 2 = -1 En g 21 i > j luego g 21 = 2  2 + 1 = 5 En g 22 i = j luego g 22 = 2 – 2 = 0 En g 31 i > j luego g 31 = 2  3 + 1 = 7 En g 32 i > j luego g 32 = 2  3 + 2 = 8 entonces :

13 3 i) A + B 3 ii) 3 A 3 iii) 2A - 3B =

14 4 a) Para escribir la opuesta de una matriz, cambiamos los signos de la matriz cuya opuesta buscamos Si 10 b) B x A Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar B (3x4) x A (4x3) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz el resultado será una matriz M ( 3 x 3 ) que tendrá igual cantidad de filas que la primera matriz e igual cantidad de columnas que la segunda matriz

15 Trazamos dos rectas perpendiculares entre sí En el cuadrante inferior izquierdo colocamos la matriz B En el cuadrante superior derecho colocamos la matriz A Y efectuamos la sumatoria del producto de los elementos de cada fila de la primera matriz Por los elementos de cada columna de la segunda matriz 1  1 + 5  0 + 2  3 + (-6)  3 =-11 -11 1  2 + 5  1 + 2  ½ + (-6)  (-1) =14 14 1  (-1) + 5  0 + 2  7 + (-6)  8 = -35 -35 1  3 + 5  0 + 2  2 + (-6)  0 = 7 7 0  1 + 1  0 + (-9)  3 + 4  3 =-15 -15 0  2 + 1  1 + (-9)  ½ + 4  (-1) =-15/2 -15/2 0  (-1) + 1  0 + (-9)  7 + 4  8 = -31 -31 0  3 + 1  0 + (-9)  2 + 4  0 = -18 -18 (-1)  1 + 5  0 + (-1)  3 + 3  3 =5 5 (-1)  1 + 5  1 + (-1)  ½ + 3  (-1) =1/2 (-1)  (-1) + 5  0 + (-1)  7 + 3  8 =18 (-1)  3 + 5  0 + (-1)  2 + 3  0 =- 5 1/2 18 -5 B x A

16 El resultado obtenido será: D x A Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar D (3x3) x A (4x4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz En este caso esto no es así : Las columnas de D son 3 y las filas de A son 4 No es posible realizar D x A

17 D x B Evaluamos la clase de cada una de las matrices que vamos a multiplicar D (3x3) x B (3x4) Para que el producto de matrices sea posible, las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda matriz el resultado será una matriz ( 3 x 4 ) M D x B 1  1 + (-4)  0 + 3  (-1) = - 2 1  5 + (-4)  1 + 3  5 = 16 1  2 + (-4)  (-9) + 3  (-1) = 35 1  (-6) + (-4)  4 + 3  3 = -13 -21635-13 (-2)  1 + 1  0 + 2  (-1) = -4 (-2)  5 + 1  1 + 2  5 = 1 (-2)  2 + 1  (-9) + 2  (-1) = -15 (-2)  (-6) + 1  4 + 2  3 = 22 (-1)  1 + 1  0 + 0  (-1) = -1 (-1)  5 + 1  1 + 0  5 = -4 (-1)  2 + 1  (-9) + 0  (-1) = -11 (-1)  (-6) + 1  4 + 0  3 = 10 -4 1-1522 -4-1110

18 Rango de una Matriz El Rango de una matriz es su rango fila ó su rango columna (que siempre coinciden) Rango fila ó rango columna de una matriz es el máximo número de vectores filas ó vectores columnas linealmente independientes de la matriz Para conocer el rango de una matriz, podemos analizar cada fila (o columna) como vectores y determinar si son o no linealmente independientes Otra manera de hacerlo es efectuando una serie de operaciones elementales sobre la matriz, y al cabo de un número determinado de operaciones elementales, habremos encontrado el rango de la matriz, ya que habremos obtenido otra matriz del mismo rango Operaciones elementales sobre una matriz: 1. Permutación de dos filas entre sí, o de dos columnas entre sí 2. Adición de una fila a otra ó de una columna a otra. 3. Multiplicación de una fila ó de una columna por un escalar no nulo.

19 Método de Gauss Jordan para determinar el rango de una matriz Este método es una manera “mecánica” de operar en forma ordenada pasos repetitivos de operaciones elementales; y al cabo de un número finito de pasos, se obtiene el máximo número posible de vectores canónicos linealmente independientes, que es precisamente el rango de la matriz Sea A una matriz no nula de la que se indicaron solo algunos elementos Elegimos cualquier elemento distinto de 0 al que llamaremos pivote En nuestro caso el pivote será a 11 = a Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote Luego se reitera el procedimiento eligiendo pivotes que no estén en la misma fila ni en la misma columna que los pivotes ya elegidos en pasos anteriores y los restantes elementos de la fila que quedan se dividen por el pivote

20 Por ejemplo: Hallar el rango de la matriz Tomamos como pivote el elemento de la 1º fila y 1ºcolumna Reducimos a 1 el pivote y a 0 los restantes elementos de la columna del pivote y los restantes elementos de la fila se dividen por el pivote (1) y quedan como están Luego a cada elemento se le resta el producto de la contradiagonal que forman el pivote con el elemento que transformamos dividido por el pivote Se transforma en Se transforma en Se transforma en Se transforma en Luego se repite el procedimiento, ahora tomo –3 como pivote al dividir –6 por el pivote (-3) se hace 2 Se transforma en Se transforma en

21 La matriz hallada No se puede seguir transformando por Gauss- Jordan porque el próximo pivote debe ser de la 3º columna 3º fila y este elemento es 0 Pero 0 no puede ser pivote En este caso, e ee el rango de la matriz A es 2 porque son dos las filas linealmente independientes de la matriz porque los elementos de la terceras fila después de todas las transformaciones posibles, son todos nulos (0); significa que esa fila es combinación lineal de las otras dos Gauss-Jordan no es el único método para efectuar operaciones elementales en una matriz, pero lo adoptamos porque es el método que nos provee: Un algoritmo eficiente (en un número determinado de pasos entrega la solución) Aunque para ello debes estar muy entrenado en el cálculo de operaciones con fracciones...

22 5 a) Para calcular el rango de Tomamos el pivote –2 de la 1º fila 1º columna Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivote Y completamos los restantes elementos de la 2º fila trabajamos ahora con los elementos de la 3º fila Tomamos el pivote –3 de la 2º fila 2º columna Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos de la columna del pivote completamos los restantes elementos de la 1º fila y completamos los restantes elementos de la 3º fila 11 b 11 b

23 El próximo pivote debe estar en la 3º fila, en las columnas 3º ó 4º Pero ambos elementos son 0 y el pivote debe ser distinto de 0 En consecuencia las operaciones elementales se terminaron en esta matriz La matriz de tres filas quedó con una fila de elementos nulos El Rango de la matriz será la cantidad de filas con al menos un elemento distinto de 0 Existen otros métodos para realizar operaciones elementales en una matriz pero nosotros explicamos Gauss-Jordan porque es un método algorítmico, y como tal puede programarse. NOTA. El pivote que se elige puede ser cualquier elemento, con tal que no sea de una fila y/o columna repetida. No tiene porqué seguir un orden, y si estás trabajando sin calculadora te conviene que los pivotes sean los 1 11 b 11 b

24 5 b) Calculamos el rango de B tomamos el pivote 1 de la 1º fila 1º columna Dividimos la fila por el pivote y hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivote y completamos los restantes elementos de la 2º fila completamos los restantes elementos de la 3º fila los restantes elementos de la 4º fila son Tomamos como pivote el 1 de la 4º fila 2º columna

25 Dividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivote y completamos los restantes elementos de la 1º fila y completamos los restantes elementos de la 2º fila y completamos los restantes elementos de la 3º fila Tomamos como pivote el 4 en la 2º fila 3º columna Dividimos la fila por el pivotey hacemos 0 los elementos restantes de la columna del pivote completamos

26 En la matriz resultante También puede transformarse en canónica si: a la primera fila le sumamos la tercera fila multiplicada por -3/4 a la tercera fila le multiplicamos por -1 a la segunda fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 5/4 a la cuarta fila le sumamos la tercera fila multiplicada por 2 Y la matriz queda con cuatro filas linealmente independientes, por tanto El Rango de la matriz B es 4 El único elemento que puede ser pivote está en la 3º fila 4º columna

27 Determinantes Determinante es una función f: K n x n  K Dada una matriz A de clase n x n, se llama MENOR del elemento a ij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene de A, suprimiendo la fila i y la columna j que se escribe det A ó  A  Determinante es una función definida en el conjunto de las matrices cuadradas que tiene imagen en conjunto de números reales (si los elementos de la matriz son complejos, la imagen puede ser un complejo).

28 Una definición de determinante por recurrencia requiere: i) Definir el determinante de orden 1 ii) Definir el determinante de orden k+1 suponiendo conocido el determinante de orden k A = ( a 11 )  A  = a 11 entonces: Por ejemplo:

29 En determinantes de 3X3 + - ordenando resulta lo que verifica la regla de Sarrus Una vez escrito el determinante que queremos calcular, transcribimos las dos primeras filas como se indica Luego se suman (y restan) el producto de las diagonales ( y de las contradiagonales) según corresponda

30 Las reglas antes vistas sirven solamente para determinantes de 2 x 2 y de 3 x 3 Si el determinante es de orden 4 (o mayor), ya no contamos con reglas para calcularlo, pero podemos hacerlo mediante el método del desarrollo por los elementos de una línea donde tendremos que calcular 4 determinantes de orden 3 Si el determinante fuera de orden superior, siempre es posible reducir a uno de orden “inferior en 1” y así sucesivamente, hasta encontrar el de 3 x 3 y aplicar la regla de Sarrus

31 6 a) El determinante Se resuelve restándole al producto de la diagonal el producto de la contradiagonal Para resolver  B  de orden 3 se aplica la regla de Sarrus Transcribo las dos primeras filas al final del determinante Efectuamos la suma de los productos de las diagonales A esto le restamos los productos de las contradiagonales

32 El determinante No se puede resolver con ninguna regla particular por ser de orden 4 Aplicamos el desarrollo por los elementos de una línea Vamos a desarrollarlo por los elementos de la segunda fila

33 James Joseph Sylvester nació en Londres el 8 de septiembre del año 1814, estudió en Cambridge. En 1838 fue profesor de filosofía natural en la U. de Londres y en 1841 de matemática en la U. de Virginia (EEUU) por breve tiempo. Una de sus pasiones fue la poesía, tradujo obras del francés, alemán, italiano, latín y griego; y muchos de sus trabajos matemáticos contienen citas de la poesía clásica. En 1870 publicó un libro titulado “Las leyes del verso”, en el que intentó codificar las reglas de la métrica en la poesía. Arthur Cayley, matemático británico, fue uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras. Fue un ávido lector de novelas, apasionado de la botánica, de la naturaleza, y aficionado al alpinismo. Estudió algún tiempo la carrera de leyes y trabajó como abogado durante 14 años, a la vez que publicaba un gran número de artículos. Introdujo la multiplicación de matrices. En 1877 volvió a cruzar el Océano Atlántico para convertirse en el primer profesor de matemáticas en la nueva U. Johns Hopkins en Baltimore, Maryland y en 1878 fundó el American Journal of Mathematics, primer periódico matemático estadounidense. En 1883, regresó a Inglaterra para hacerse cargo de Savile profesor de Geometría de la Universidad de Oxford. Desempeñó este cargo hasta su muerte. J. Sylvester (1814 -1897) A. Cayley (1821 -1895) Cayley y Sylvester se conocieron el año 1850, no como matemáticos, sino como abogados; debió de ser curiosa la entrevista porque cada uno de ellos conocía la labor del otro y ambos se profesaban mutua admiración. En aquel momento nació en una amistad perdurable de la que se benefició la matemática y se perjudicó la jurisprudencia. En el año 1858 A. Cayley encontró una extraña propiedad en el cálculo de matrices: la no conmutatividad del producto. Sylvester de retiró definitivamente en 1893, no por razones burocráticas sino biológicas, era octogenario y estaba casi ciego. Murió en Londres el 15 de marzo de 1897. Dos años antes, el 26 de enero de 1895, había muerto Cayley, dejando escritas novecientas sesenta y seis memorias.

34 ODA A LOS NÚMEROS (Pablo Neruda) Qué sed de saber cuánto! Qué hambre de saber cuántas estrellas tiene el cielo! Nos pasamos la infancia contando piedras, plantas, dedos, arenas, dientes, la juventud contando pétalos, cabelleras. Contamos los colores, los años, las vidas y los besos, en el campo los bueyes, en el mar las olas. Los navíos se hicieron cifras que se fecundaban. Los números parían. Las ciudades eran miles, millones, el trigo centenares de unidades que adentro tenían otros números pequeños, más pequeños que un grano. El tiempo se hizo número. La luz fue numerada y por más que corrió con el sonido fue su velocidad un 37. Nos rodearon los números. Cerrábamos la puerta, de noche, fatigados, llegaba un 800, por debajo, hasta entrar con nosotros en la cama, y en el sueño los 4000 y los 77 picándonos la frente con sus martillos o sus alicates. Los 5 agregándose hasta entrar en el mar o en el delirio, hasta que el sol saluda con su cero y nos vamos corriendo a la oficina, al taller, a la fábrica, a comenzar de nuevo el infinito número 1 de cada día. Tuvimos, hombre, tiempo para que nuestra sed fuera saciándose, el ancestral deseo de enumerar las cosas y sumarlas, de reducirlas hasta hacerlas polvo, arenales de números. Fuimos empapelando el mundo con números y nombres, pero las cosas existían, se fugaban del número, enloquecían en sus cantidades, se evaporaban dejando su olor o su recuerdo y quedaban los números vacíos. Por eso, para ti quiero las cosas. Los números que se vayan a la cárcel, que se muevan en columnas cerradas procreando hasta darnos la suma de la totalidad de infinito. Para ti sólo quiero que aquellos números del camino te defiendan y que tú los defiendas. La cifra semanal de tu salario se desarrolle hasta cubrir tu pecho. Y del número 2 en que se enlazan tu cuerpo y el de la mujer amada salgan los ojos pares de tus hijos a contar otra vez las antiguas estrellas Y las innumerables espigas que llenarán la tierra transformada.