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EPITAFIO “Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto...” Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a un artificio geométrico, descubre toda.

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2 EPITAFIO “Esta es la tumba que guarda las cenizas de Diofanto...” Es verdaderamente maravillosa porque, gracias a un artificio geométrico, descubre toda su existencia. Las investigaciones más creíbles lo sitúan hacia la segunda mitad del siglo III a.e., siendo contemporáneo de Pappo. Es clásico el epitafio en la Antología de Metrodoro. El mismo, con las debidas reservas, nos lleva a calcular una edad de 84 años.

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4 “ARITHMETICORVM” La Arithmetica fue un tratado de 13 libros del que sólo se conocen los seis primeros. Fue encontrada en Venecia por Johann Müller (Regiomontanus, matemático y astrónomo alemán) hacia 1464 y la primera traducción latina pertenece a Wilhelm Holzmann ( ) Diophanti Alexandrini Rerum libri sex, Basilea, 1575. En 1621 aparece la edición de Bachet de Méziriac con el siguiente título: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex; et de Numeris multangulis liber unus. Nunc primun graece et latini editi atque absolutissimis commentariis illustrati,Paris 1621 (que contiene además del texto griego y la traducción latina, aclaraciones y notas). La Arithmetica no es propiamente un texto de álgebra sino una colección de problemas(150). No se sabe cuantos de ellos son originales o tomados de otros tratados de la época; Diofanto presenta en todos ellos una solución única y no establece distinción entre problemas determinados e indeterminados. Tampoco existe ningún orden en cuanto a la naturaleza de los problemas o los métodos de resolución No admitía soluciones negativas ni irracionales. Para ello usaba las ecuaciones de esta forma: a+b= c ; a+ b =c ; a+b=c De esta manera la solución es siempre positiva

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6 Diofanto de Alexandría
"Como sé, muy honorable Dionisio, que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los números, empezando por las bases que sustentan estas cuestiones. Es posible, que parezcan más difíciles de lo que son por ser desconocidas aún y que los principiantes duden de conseguir alcanzarlas, pero las comprenderás fácilmente gracias a tu actividad y a mis demostraciones, pues que el deseo unido a la enseñanza conduce rápidamente al conocimiento [...]" Diofanto continúa en el prefacio presentando las normas indispensables para leer la obra.

7 “SIMBOLOGÍA” (SIMBOLOGÍA)

8 = aritmo = kybos = dinnamis = símbolo que significaba “operación” a su base. =número = símbolo que significaba “cuadrado” = símbolo que significaba “cubo”

9 ¿Cómo usaba Diofanto la simbología?
Diofanto lo expresaría de esta forma Si fuera esta expresión: Lo haría de esta manera: Esta expresión:

10 “Arithmetica Libro I” Solución actual:
Contiene 25 problemas de primer grado y 14 de segundo. Uno de ellos es: “Descomponer un número en dos partes cuya diferencia se conoce (el número 100 y su diferencia es 40)”. En su solución lo demuestra: “Suponemos que la menor parte es un aritmo. La mayor parte es un aritmo mas 40 unidades. La suma anterior debe ser 100. Restamos 40 de 2 aritmos y 40 de 100, los dos aritmos que quedan valdrán 60 unidades y cada aritmo valdrá 30 que será la parte menor” Solución actual: Por lo que la parte menor es 30 Y la parte mayor es 70

11 “Arithmetica Libro III”
Problema 19 Consta de 21 problemas. El mas famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo. En este libro Diofanto resuelve problemas de encontrar valores que conformen dos expresiones simultáneamente en cuadrados. Por ejemplo el encuentra x para resolver 10x+9 y 5x+4 ambos cuadrados (x=28) “III-19” “Encontrar cuatro números tales que el cuadrado de la suma de los cuatro, aumentado o disminuido en cada uno de ellos, forman un cuadrado” H:\problema_19_libro_3_Diofanto.html

12 “Arithmetica Libro IV”
Casi todos los problemas (40) de este librose refieren a números cúbicos. Como los griegos no conocían las fórmulas de la ecuación cúbica, la sagaz elección de los datos por parte de Diofanto, hace que llegue a una solución aceptable. “IV-1”. “Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada” Solución : “Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es un aritmo y 5 unidades; o sea la mitad de la suma de las raíces, por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo mas 250 unidades que igualaremos a los 370 unidades del número dado, de donde 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3 y por consiguiente los cubos serán 343 y 27” Con la notación actual: Para lo que supone: Entonces: Para lo que supone si: Obtiene de la ecuación anterior: Efectivamente:

13 Otro tipo de problemas en este libro es encontrar potencias entre límites dados. Por ejemplo para encontrar el cuadrado entre y 2 usa otro cuadrado conocido (64 por ejemplo, funciona con cualquier cuadrado). Con notación actual: Quedando: Buscando un cuadrado entre ambos valores… Y dividiendo los tres miembros por 64 Es un cuadrado que está entre 5/4 y 2 y

14 “Arithmetica Libro V” “La mayoría de los problemas propuestos (28 de los 30 que posee el libro) son problemas de ecuaciones de segundo y tercer grado. En el último, Diofanto se aparta de su costumbre y propone un problema de los que hoy denominamos “de mezcla”. “V-30” “Una persona se embarcó con sus sirvientes quienes le encargaron que les fuera útil. Mezclo garrafas de vino, unas de 8 dragmas y otras de 5 y pagó por todo un número cuadrado que aumentando en el número de unidad 60, hará que tengas otro cuadrado cuya raíz es el número total de garrafas. Averigua cuantas habrá de 8 dragmas y cuantas de 5 dragmas.”

15 “Arithmetica Libro VI”
Dedicado a resolver triángulos rectángulos de lados racionales. Consta de 24 problemas. Por ejemplo en este libro resuelve el problema de encontrar tal que sea un cuadrado. También encuentra en los cuales +2 es un cubo y es un cuadrado Encuentra En este libro, Diofanto plantea y resuelve los números poligonales.

16 “Arithmetica Libro II”
Contiene 35 problemas. El problema 8 sin dudas el mas famoso ya que dio lugar al llamado “Teorema de Fermat” “II-8”. “Descomponer un cuadrado en dos cuadrados” Solución: “Si queremos descomponer 16 en dos cuadrados y suponemos que el primero es un aritmo, el otro tendrá 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y por tanto 16 unidades menos un cuadrado de aritmo son un cuadrado. Formemos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmo disminuido en tantas unidades como tiene la raíz de 16 y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este cuadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los términos restantes y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmo y por tanto un aritmo vale 16 / 5; luego uno de los números es 256 / 25 y el otro 144 / 25, cuya suma es 400 / 25 es decir 16 unidades y cada uno de ellos, ES UN CUADRADO”

17 Interpretación: En (1): (1) Quedando así:

18 Matemáticos que siguieron la obra de Diofanto..
Hipatía: escribió un comentario sobre los seis primeros libros de “Arithmética” de Diofanto. En el libro 13 (Léxicon suda), Hipatía transcribió completamente la obra y añadió comentarios sobre problemas y soluciones, pero desafortunadamente se perdió durante las invasiones en Alejandría. La existencia de las obras de Diofanto se debe en gran parte, a los comentarios de esta gran matemática. Hípsicles, Teon de Esmirra, Nicómaco de Gerasa : continuaron la obra de Diofanto basada en los números poligonales extendido al espacio, tópico pitagórico durante mas de 2000 años. Boecio: En la edad media continuó con el trabajo de los griegos antes nombrados. Bachet de Meziriac: En el renacimiento publicó la obra completa traducida en italiano y en latín, con interesantes apostillas sobre números poligonales, que inspiraron los bellos descubrimientos de Fermat sobre la materia. Lagrange y Hilbert: realizaron demostraciones sobre la traducción de Bachet

19 Descartes: en su tratado “Progymnasmata de Solidun Elementis” va a recuperar los números piramidales e hiperpiramidales, números figurados sólidos basados en los poliedros regulares. Tras uno de los problemas en los libros de Diofanto, comienza el gran reto de Pierre de Fermat… “Todo número es suma de cuatro números cuadrados”… Fermat tomó la posta en este desafío y menciona que lo demostró por el método de descenso infinito, para los cuadrados. Euler lo intenta sin éxito. Lagrange en 1770, demuestra que todo número entero se puede expresar mediante la suma de a lo sumo, cuatro cuadrados. Gauss… en 1796, Disquisitiones Aritmeticae… EUREKA N=293!!! , la anotación del príncipe de la matemática en su diario, responde a la alegría de haber encontrado una demostración para el caso particular de números triangulares. También demostró el reto de forma distinta a la de Lagrange.

20 Diofanto, Fermat y Arithmética, han estado estrechamente relacionados a lo largo de la historia de la matemática. Todo empezó cuando Fermat, en su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, escribió al lado del problema 8 del libro II, la nota al margen que fue/ha sido un completo dolor de cabeza para muchos desde 1637: “Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet” La traducción dice así: Es imposible descomponer un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

21 Fermat se refiere a esto:
Teorema de Pitágoras: n =2 Teorema de Fermat: n > 2 Fermat sostiene que para toda potencia entera mayor a 2, no hay ninguna suma posible de dos números elevados a la misma potencia que puedan cumplir con esta igualdad, salvo las soluciones triviales para x = 0 e y = 0. Si utilizamos el criterio del último dígito : El último dígito de 23 es 3 El último dígito de 14 es 4 Aplicando: No existe un número que elevado a la n potencia sea igual a la unidad (último dígito de 91).

22 Muchos matemáticos intentaron una y otra vez sin encontrar éxito esa maravillosa demostración que menciona Fermat en la nota del margen…. En 1995 Andrew Jhon Wiles, publicó finalmente la demostración matemática que respalda a Fermat basando su análisis en trabajos de Frey, Serre y Ribet que a su vez está basado en la Teoría de Galois y las conjeturas de Taniyama-Shimura, algo de la Teoría de Iwasawa y por supuesto el argumento del sistema de Euler. Lo explicó en un paper de 98 páginas bajo el título “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem”, se aseguró un lugar en la historia universal.

23 Fermat tenía la pasión por los números
Fermat tenía la pasión por los números. Y ello en parte gracias al libro de un matemático que vivió años antes que él. Este libro era la edición de la Aritmética de Diofanto. La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes. En 1621 aparece en Francia una traducción al latín de estos seis libros, realizada por Bachet, otro aficionado a los acertijos matemáticos. Este libro se convertiría en el libro de cabecera de Fermat durante muchos años. En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos ellos.

24 Una demostración particular…

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26 MUCHAS GRACIAS LUIS VIANELLO ESTUDIANTE 4º AÑO
PROFESORADO EN MATEMATICA ISFD Nº 102


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