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Introducción a Los Polinomios: Conceptos y Definiciones Importantes Un término es una expresión algebraica que consiste en un número o el producto o el.

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Presentación del tema: "Introducción a Los Polinomios: Conceptos y Definiciones Importantes Un término es una expresión algebraica que consiste en un número o el producto o el."— Transcripción de la presentación:

1 Introducción a Los Polinomios: Conceptos y Definiciones Importantes Un término es una expresión algebraica que consiste en un número o el producto o el cociente de un número y una o más variables elevadas a potencias. Los términos están separados por los signos de suma o resta. Ejemplos de términos: 3x, -2x 2, 4, 0.4p 3 x 5 y 6 z, abc. El término constante es el término que no contiene variables, o sea, es el término que consta de sólo un número. Ejemplos: a) 3x 2 + 9x + 8: En este caso, la constante es 8. b) -5y 4 + 7y 3 -5y 2 + 9y – 2: Aquí el término constante es -2.

2 Introducción: (Continuación) Un factor es cada número o variable de un término. Ejemplo: En el término -4x 4 y 9 z 2 los factores son: -4, x 4, y 9, z 2. Hay dos tipos de factores en un término: 1) Al factor numérico (el que consta de un número) de un término se le llama Coeficiente Numérico o Coeficiente. 2) Los Factores Literales son todas la variables. (x 4, y 9, z 2 ) Ejemplo: El coeficiente de -4x 4 y 9 z 2 es -4.

3 Continuación : Los términos semejantes son las partes de una expresión algebraica que contienen la misma variable (con los mismos exponentes) o que son números. Ejemplos de términos semejantes: a) 2y, 5y, -7y, 0.3y, 1/3y b) 23m 3 n 2, -9.1m 3 n 2, m 3 n 2

4 Expresiones Algebraicas Menciona los términos de la expresión, los coeficientes o factor numérico y variable 1) 4x + 3 2) 5x + 5y +7 3) 7x + 6y + 3z + 9 4) 6x + 13y

5 Evaluar expresiones algebraicas Si dejamos que x=2, y=-1 1) x + 8 = 2) 2y + 3x + 9 = 3) -5y + 13x = 4) -12x + -14y =

6 Ejemplos de No Polinomios: a) No es polinomio porque la variable esta dentro de un radical. b) 3n -6 – 5n + 3 No es polinomio porque tiene exponente negativo. c) 3x 2 – x 1.2 + 1 No es polinomio porque tiene exponente decimal. d) -3x 3 + x 1/2 + x –1 No es polinomio porque tiene exponente fracción. e) 1/x No es polinomio porque tiene variables en el denominador.

7 Tema: Polinomios Definición: Un Polinomio es un monomio o una suma finita de monomios. Los exponentes de las variables tienes que ser enteros positivos, o sea, las variables no pueden ser negativas, fracciones ni decimales. Un polinomio no puede tener por ende radicales, ni variables en el denominador. Ejemplos de Polinomios: a) 5 a 6 b 2 cd 8 b) 8a 4 b 2 + 3a 3 b 5 c) -5 d) 5m 3 + 3m 2 - 2m e) -3x 3 + x 2 + 4x –1

8 Clasificación de los Polinomios Un monomio es un número, una variable o un producto de números y variables. Un monomio consta de un solo término. Ejemplos: a) 3x 2 b) -5 c) 37 p 4 d) 5a 6 b 2 cd 8 Un binomio es un polinomio de dos términos. Ejemplos: a) 3y – 1 b) 6q 4 + 4r 8 c) -5 a 6 y 7 z 3 + 2m 5 n 2 t

9 Clasificación de los Polinomios (Continuación) Un trinomio es un polinomio que consta de tres términos. Ejemplos: a) 5y 2 + 7y – 3 b) -7 p 6 r 3 + 28 pr 7 – 14 p 2 r 5 Nota Importante: Cuando un Polinomio tiene cuatro o mas términos se clasifica como polinomio.

10 Grado de un Polinomio Para determinar el grado de un polinomio necesitamos primero conocer como hallar el grado de un monomio. Grado de un Monomio El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables (Factores Literales). Ejemplo: Determine el grado de 5a 6 b 2 cd 8 El grado del monomio es 17 porque 6 + 2 + 1 + 8 = 17.

11 Grado de un Polinomio Para hallar el grado de un polinomio, que no sea monomio, se calcula el grado de cada uno de sus términos, luego se escoge el mayor entre todos. Ejemplo: Encuentre el grado de: 2u 3 + 9y 3 z 2 – 4 Solución: - el primer término es de grado 3 - el segundo término es de grado 5 (3 + 2) - el tercer término es de grado cero porque no tiene variables. El grado mayor es 5, por lo tanto el polinomio es de grado 5.

12 Suma de Polinomios Para sumar polinomios hay que sumar entre sí los términos que sean semejantes. Nota Importante: Cuando sumamos términos semejantes se suman los coeficientes solamente. Pasos a seguir para Sumar Polinomios Paso #1: Agrupar términos semejantes siempre con signos de suma. Paso #2. Sumar términos semejantes, si hay. Paso #3. Escribir el polinomio en orden descendente de ser necesario.

13 Ejemplos de Suma de Polinomios a) 2x + 3x = = (2 + 3)x = 5x b) (3x 2 + 2x) + (4x 2 + 3x) = = (3x 2 + 4x 2 ) + (2x + 3x) = 7x 2 + 5x c) (3x 2 ) + (2x) no son términos semejantes. Por lo tanto se queda igual: 3x 2 + 2x X ÷ + ( ) -

14 Ejemplos de Suma de Polinomios (Continuación) d) (3x 3 – 7x + 2) + (7x 2 + 2x – 7) Paso #1: Agrupar términos semejantes siempre con signos de suma. 3x 3 + 7x 2 + (-7x + 2x) + (2 + -7) Paso #2: Sumar términos semejantes, si hay. 3x 3 + 7x 2 – 5x – 5 Paso #3: Escribir el polinomio en orden descendente de ser necesario. 3x 3 + 7x 2 – 5x – 5

15 Resta de Polinomios Para restar dos polinomios sumamos el opuesto del segundo polinomio al primero. En otras palabras restar es lo mismo sumar el opuesto del sustraendo del polinomio. Pasos a seguir para Restar Polinomios Paso #1: Reescribir la resta como la suma del opuesto. Paso #2: Combinar los términos semejantes. Paso #3: Sumar los términos semejantes. (siguiendo las reglas de los signos)

16 Ejemplo de Resta de Polinomios Ejemplo #1: Resuelva la siguiente Resta de Polinomios (5x 2 – 3x + 4) – (-3x 2 – 2x + 8) Paso #1: Reescribir la resta como la suma del opuesto. (5x 2 – 3x + 4) + (3x 2 + 2x – 8) Paso #2: Combinar los términos semejantes y sumas. (5x 2 + 3x 2 ) + (-3x + 2x) + (4 + -8) Paso #3: Sumar los términos semejantes. 8x 2 – x – 4

17 Ejemplos : (Continuación) Ejemplo #2: Resuelva la siguiente Resta de Polinomios (6y 2 – 3y – 1) – (7y 2 – y) Paso #1: Reescribir la resta como la suma del opuesto. = (6y 2 – 3y – 1) + (-7y 2 + y) Paso #2: Combinar los términos semejantes. = (6y 2 – 7y 2 ) + (– 3y + y) + (-1) Paso #3: Sumar los términos semejantes. = - y 2 – 2y – 1

18 Multiplicación de Polinomios Reglas de Exponentes para la multiplicación de polinomios Regla #1: Regla del Exponente 1 Si a es un número real entonces a = a 1. “Esta regla establece que cuando una variable no tiene exponente, entonces su exponente es uno (1).” Ejemplos: 1) 5 1 = 5 2) (-6) 1 = -6 3) (b) 1 = b

19 Reglas de Exponentes (Continuación) Regla #2: Multiplicación de Potencias Si a es cualquier número real y m, n son enteros positivos, entonces a n · a m = a n + m “Esto significa que cuando multiplicamos bases iguales los exponentes se suman.” Ejemplos: 1) x 7 · x 8 = x 7+8 = x 15 2) (-4) 2 · (-4) = (-4) 2+1 = (-4) 3

20 Reglas de Exponentes (Continuación) Regla #3: Potencia de una Potencia Si a es un número real y m, n son enteros positivos entonces (a n ) m = a n · m “Esto significa que cuando una potencia esta elevada a otra potencia los exponentes se multiplican” Ejemplos: 1) (a 3 ) 5 = a 3 · 5 = a 15 2) (p 4 ) 6 = p 4 · 6 = p 24

21 Reglas de Exponentes (Continuación) Regla #4: Potencia de un Producto Si a, b son números reales y n es un entero positivo, entonces (ab) n = a n b n. “Esto significa que cuando hay una potencia fuera de un paréntesis se multiplica esta potencia por todos las de adentro” Ejemplos: 1) (ab) 4 = a (1 · 4) b (1 · 4) = a 4 b 4 2) (-2p 3 q 5 ) 2 = (-2) 2 p (3 · 2) q (5 · 2) = 4 p 6 q 10

22 Multiplicación de Polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. Multiplicación de un Monomio Por otro Monomio Para multiplicar monomios, hallamos el producto de los coeficientes. Luego aplicamos las reglas de los exponentes para la multiplicación de bases iguales.

23 Ejemplos de Monomio por Monomio 1) (5x 5 y 2 ) (-4x 3 y 7 ) = = (5)(-4) x (5 + 3) y (2 + 7) = -20x 8 y 9 2) (4m 6 n 5 t 2 ) (-2m 2 n 3 t 4 ) (3mn 7 t 8 ) = = (4)(-2)(3) m (6 + 2 + 1) n (5 + 3 + 7) t (2 + 4 + 8) = -24 m 9 n 15 t 14

24 Monomio Por Polinomio Para multiplicar un monomio por otro tipo de polinomio se utiliza la propiedad distributiva y las leyes de exponentes. Propiedad Distributiva: a(b + c) = ab + ac Ejemplos: 1) -7(2t + 5) = = (-7)(2t) + (-7)(5) = -14t – 35 2) y 6 (7y 2 + 2y – 6) = = y 6 (7y 2 ) + y 6 (2y) + y 6 (-6) = 7y 8 + 2y 7 – 6y 6

25 Ejemplos de Monomio por Polinomio: (Continuación) 3) 3x 3 y 2 z(-12x 4 y 8 z 2 + 7x 9 y z 5 ) = = 3x 3 y 2 z(-12x 4 y 8 z 2 ) + 3x 3 y 2 z (7x 9 yz 5 ) = -36x 7 y 10 z 3 + 21x 12 y 3 z 6

26 Binomio por Binomio Para multiplicar un binomio por otro binomio también utilizamos la propiedad distributiva. Nota: Recuerde siempre sumar los términos semejantes. Ejemplos: 1) (x + 3) (x + 7) = = (x)(x) +(x)(7) +(3)(X) + (3)(7) = x 2 + 7x + 3x + 21 = x 2 + 10x + 21

27 Ejemplos Binomio por Binomio (Continuación) 2) (3y + 7) (4y – 9) = = (3y)(4y) + (3y)(-9) + (7)(4y) + (7)(-9) = 12y 2 – 27y + 28y – 63 = 12y 2 + y – 63 3) (x + 5) 2 = = (x + 5)(x + 5) = (x)(x) + (x)(5) + (5)(x) + 25 = x 2 + 5x + 5x + 25 = x 2 + 10x + 25

28 Pasos para Obtener el Cuadrado de un Binomio Paso #1: Elevamos el primer término al cuadrado. Paso #2: Multiplicamos los términos del binomio y luego lo multiplicamos por 2. Paso #3: Elevamos el segundo término al cuadrado. Ejemplos: 1) (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 2) (x – y) 2 = x 2 – 2xy + y 2 Nota: Podemos observar que la diferencia de estos dos ejemplos es el signo del segundo término.

29 Ejemplos de Cuadrado de un Binomio (Continuación) 3) (x – 6) 2 = = (x)(x) + (x)(-6)(2)+ (-6)(-6) = x 2 – 12x + 36 4) (4p + 3) 2 = = (4p)(4p) + (4p)(3)(2) + (3)(3) = 16p 2 + 24p + 9

30 Polinomio Por Polinomio Para multiplicar un polinomio por otro polinomio utilizamos la propiedad distributiva. Es decir multiplicamos cada término de uno de los polinomios por todos los términos del otro y sumamos los términos semejantes. Ejemplos: 1) (2y + 5)(y 2 + 4y – 7) = = (2y)(y 2 ) + (2y)(4y) + (2y)(-7) + 5(y 2 ) + 5(4y) + 5(-7) = 2y 3 + 8y 2 – 14y + 5y 2 + 20y – 35 = 2y 3 + (8y 2 + 5y 2) + (-14y + 20y) – 35 = 2y 3 + 13y 2 + 6y – 35

31 Ejemplos (Continuación) 2) (2y 2 + 7y – 6)(5y 2 + 8y – 3) = = (2y 2 )(5y 2 ) + (2y 2 )(8y) + (2y 2 )(-3) + (7y)(5y 2 ) + (7y)(8y) + (7y)(-3) + + (-6)(5y 2 ) + (-6)(8y) + (-6)(-3) = 10y 4 + 16y 3 – 6y 2 + 35y 3 + 56y 2 – 21y – 30y 2 – 48y + 18 = 10y 4 + (16y 3 + 35y 3 ) + (-6y 2 + 56y 2 – 30y 2) + (-21y – 48y) + 18 = 10y 4 + 51y 3 + 20y 2 – 69y + 18

32 División de Polinomios Reglas de Exponentes para la División de Polinomios Regla #1 Regla del Exponente Cero Si a es un número real diferente de cero, entonces a 0 = 1. (0 0 NO está definido) Ejemplos: 1) 5 0 = 1 2) (-6) 0 = 1 3) (3 a 2 b 4 ) 0 = 1

33 Reglas de Exponentes (Continuación) Regla #2 Regla del Exponente Negativo Si a es un número real diferente de cero y n es un entero positivo entonces:

34 Ejemplos de la Regla #2 (Exponente Negativo) Ejemplos:

35 Reglas de Exponentes (Continuación) Regla #3 Regla para la División de Potencias Si a es un número real diferente de cero y m, n son enteros positivos entonces En otras palabras, para hallar el cociente de potencias con bases iguales se restan los exponentes.

36 Ejemplos Regla #3

37 División de Polinomios Monomio entre un Monomio Para dividir un monomio entre un monomio dividimos los coeficientes y se aplican las reglas de exponentes. Ejemplos:

38 Ejemplos (Continuación)

39 División de un Polinomio entre un Monomio Para dividir un polinomio entre un monomio dividimos cada término del polinomio entre el monomio. Ejemplos:

40 Ejemplos (Continuación)


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