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Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites.

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1 Unidad IV: Variables Multidimensionales y Teoremas Límites

2 Transformaciones de variables Variables aleatorias multidimensionales Sumas de variables aleatorias Variables bidimensionales Esperanzas y momentos Covarianza Coeficiente de Correlación Indepen. y Condicionalidad

3 4.1 Variables bidimensionales Cuando se está interesado no sólo en el estudio de una variable aleatoria individual sino que también en la relación entre dos o más variables aleatorias, aparecen las variables bidimensionales o n - dimensionales. Dado un experimento, el par ( X, Y ) se llama variable aleatoria bidimensional si cada X i, i = 1,2 es una variable aleatoria.

4 El par (X1, X2 ) es conjuntamente continuo si cada Xi, i=1,2 es una variable aleatoria continua y es conjuntamente discreto si cada Xi, es una variable aleatoria discreta. Si una variable es discreta y la otra es continua, entonces (X1, X2) es un vector aleatorio mixto.

5 Si el par ( X 1, X 2 ) es discreto, entonces su función de probabilidades es de la forma: Si A R x1x2 entonces la probabilidad del evento A es:

6 Las funciones de probabilidades individuales de las variables X 1 y X 2 se llaman probabilidades marginales X 1 y X 2, respectivamente. - Distribución marginal de X 1 : - Distribución marginal de X 2 :

7 Si el par ( X 1, X 2 ) es continuo, entonces su función de densidad de probabilidad debe satisfacer las siguientes condiciones: Si A = {( x 1, x 2 ): a 1 < x 1 < b 1, a 2 < x 2 < b 2 }, entonces: para todo a 1, a 2, b 1, b 2

8 Densidades marginales para X 1 y X 2 - Densidad marginal para X 1 : - Densidad marginal de X 2 : Las función de distribución, F ( t 1,t 2 ), para una variable aleatoria bidimensional ( X 1, X 2 ) está dada por:

9 Si la función de distribución es continua y la segunda derivada parcial de F ( x 1, x 2 ) existe, la función de densidad bivariante de ( X 1, X 2 ) es:

10 Ejemplo: Consideremos las v.a. bidimensional (X, Y) con función de probabilidad conjunta 1.- Calcule la probabilidad conjunta de que: a) Y no supere a 2 y X supere a 1. b) Y no supere a X. 2.- Las distribuciones marginales de X e Y. 3.- Las Esperanzas y Varianzas de las v.a. X e Y.

11 Solución 1a) 1b) 2) 3)

12 Ejemplo: Supongamos que la f.d. conjunta de X e Y está dada por Determine las marginales.

13 Calcular las siguientes probabilidades:

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15 Ej.: Consideremos las v.a. X e Y, con f.d. conjunta Determine la función de distribución de (X,Y) Obviamente si

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19 4.2 Esperanzas y momentos

20 Sea g(X, Y) = X j Y k, j, k 0, tenemos E[X j Y k ] llamado momento conjunto (j, k) de la variable aleatoria bidimensional (X, Y): Los momentos conjuntos centrales de X e Y se pueden definir como: Utilizando

21 La Covarianza entre las variables X e Y La Correlación o Coeficiente de Correlación entre las variables X e Y Se puede probar que es invariante por traslaciones de ejes; esto es,

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23 4.3 Independencia y Condicionalidad Dada una variable aleatoria bidimensional (X 1, X 2 ) con función de distribución F(x 1, x 2 ) y marginales Fx 1 (x 1 ) y Fx 2 (x 2 ), diremos que X 1 y X 2 son independientes si: y Teorema 4.3 Sean X 1 y X 2 variables aleatorias independientes. Si Y 1 = G ( X 1 ) e Y 2 = H ( X 2 ) son funciones monótonas de X 1 y X 2, respectivamente, entonces Y 1 e Y 2 son variables aleatorias independientes.

24 Teorema 4.4 Sean X 1 y X 2 variables aleatorias independientes. Si G(X 1 ) y H(X 2 ) son sólo funciones de X 1 y X 2, respectivamente, entonces: Teorema 4.5 Si X 1 y X 2 son variables independientes, entonces

25 Sea (X 1, X 2 ) una variable aleatoria bidimensional. Entonces: a) Si (X 1,X 2 ) es conjuntamente discreta, definimos la función de probabilidad condicional de X 2 dada X 1 =x 1 y es cero en otro caso b) Si (X 1,X 2 ) es una variable aleatoria continua, definimos la función de densidad condicional de X 2 dada X 1 =x 1 y es cero en otro caso Análogamente, se pueden definir las distribuciones condicionales de X 1 dada X 2 =x 2.

26 Si X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes cuando la esperanza de X 1 existe. La media y varianza condicional para una variable bidimensional continua (X 1, X 2 ).

27 Ejemplo: Consideremos la v.a.d. X1 con f.de p. Y definamos

28 4.4 Transformaciones de variables Considerando una variable aleatoria bidimensional (X 1, X 2 ) con densidad f x1x2 (x 1, x 2 ) y sea: una transformación continua y biunívoca. Suponiendo que G 1 y G 2 admiten derivadas parciales continuas y considerando una región A del plano x 1 x 2 tal que el Jacobiano de la transformación es distinto de cero, entonces, en todos los puntos de A existe la transformación inversa de (Y 1,Y 2 ) la cual es continua y uniforme en una región B del plano y 1 y 2.

29 Ejemplo Consideremos las variables aleatorias X 1 y X 2 con función de densidad conjunta f(x 1,x 2 ) = e -(x1+x2), x 1 > 0, x 2 > 0. Determinemos la función de densidad de Y = X 1 /(X 1 +X 2 ). La transformación inversa está dada por: siendo el valor absoluto del Jacobiano de la inversa es: | J 1 | = | z/y 2 | Definimos la siguiente transformación:

30 - La función densidad conjunta de Y y Z es: - La marginal de Y es: Haciendo el cambio de variable u = z/y se tiene que es decir, Y tiene distribución uniforme en (0,1).

31 Ejemplo Sean X 1 y X 2 variables aleatorias independientes, cada una con distribución uniforme sobre el intervalo (0,1). Determinemos la función de densidad de Y = X 1 +X 2. Considerando la transformación uno a uno - La transformación inversa está dada por: siendo su Jacobiano J 1 = 1 Como X 1 y X 2 son variables aleatorias independientes, entonces la densidad conjunta de X 1 y X 2 es el producto de las marginales correspondientes; esto es,

32 - La función densidad conjunta de Y y Z es: o bien Para obtener la densidad marginal de Y integramos separadamente en: y 0 ; 0 < y < 1 ; 1 < y < 2 e y 2.

33 Ejemplo Supongamos que X 1, X 2 y X 3 son variables aleatorias independientes, cada una con distribución exponencial de parámetro = 1. Calculemos la función de densidad de Y = (X 1 +X 2 +X 3 )/3. Considerando la siguiente transformación uno a uno Como las variables son independientes, la densidad conjunta está dada por:

34 - La transformación inversa está dada por: siendo su Jacobiano J 1 = 3 - La densidad conjunta de Y 1, Y 2 e Y 3 es: y la densidad marginal de Y 1 = (X 1 + X 2 + X 3 )/3

35 Ejemplo Sean X 1 y X 2 variables aleatorias independientes, cada una con distribución Poisson con parámetro común. Queremos determinar la función de probabilidades de Y = X 1 +X 2. Definiendo la siguiente transformación uno a uno: Cuya transformación inversa es Como X 1 y X 2 son independientes, entonces la función de probabilidad conjunta es

36 La función de probabilidad conjunta de Y 1 e Y 2 es donde La función de probabilidad de Y 1 = X 1 +X 2 Por lo tanto, Y 1 = X 1 +X 2 es una variable aleatoria con distribución Poisson de parámetro 2.

37 4.5 Variables aleatorias multidimensionales X = (X 1,… X n ) es un vector aleatorio continuo si cada una de sus componentes X i, i = 1,…,n es una variable aleatoria continua. Análogamente, diremos que X es discreto si cada X i, i = 1,….,n, es una variable aleatoria discreta. En cada caso y según corresponda, podemos asociar a X una función de probabilidades o una función de densidad de probabilidades, respectivamente. Si X es discreta, la función de probabilidad asociada es

38 La función de probabilidades para la variable n-dimensional debe satisfacer las reglas análogas al caso unidimensional: Dada p X (x), podemos calcular las marginales, haciendo También se puede determinar la función de probabilidades conjuntas de dos o más componentes, a partir de p X (x).

39 Las variables aleatorias X i, i=1,…,n, son idénticamente distribuidas si cada una de ellas tiene la misma distribución de probabilidades. Las variables aleatorias X i, i=1,…,n son independientes si y sólo si

40 Teorema 4.5 Si X 1,…,X n son variables aleatorias independientes y si Y 1 =G 1 (X 1 ),…,Y n =G n (X n ), son funciones de X 1,…,X n, respectivamente, entonces Y 1,…,Y n son variables aleatorias independientes. Teorema 4.6 Si X 1,X 2,…,X n son variables aleatorias independientes y si Y 1 =G 1 (X 1,…,X r ), Y 2 =G 2 (X r+1,…,X p ),…, Y m =G m (X k+1,…,X n ), donde Y j, j=1,…,m son funciones de subconjuntos mutuamente excluyentes de X 1,X 2,…,X n. Entonces Y 1,Y 2,…,Y m son variables aleatorias independientes.

41 4.6 Distribución X 2, t y F La distribución X 2 es un caso especial de la distribución Gamma. Si consideramos la variable aleatoria Z con distribución normal estándar, entonces la función de distribución de U = Z 2, para todo t 0 está dada por: y su función de densidad

42 Teorema 4.7 Si Z 1,…,Z n son variables aleatorias normales estándar, independientes, entonces: Ejemplo Supongamos que X es una variable aleatoria con función de densidad entonces la función de densidad de X corresponde a la de una Chi- cuadrado con 4 grados de libertad.

43 Teorema 4.8 Si X 1,…,X n son variables aleatorias independientes, cada una con distribución X 2 con v 1,…,v n grados de libertad, respectivamente, entonces: Teorema 4.9 Sean X 1 y X 2 variables aleatorias independientes.

44 La Distribución t-Student: Sea Z una variable aleatoria normal estándar, y X una variable que se distribuye Chi- cuadrado con v grados de libertad. Si Z y X son independientes, entonces la variable aleatoria T definida por tiene distribución t-Student con v grados de libertad. La notación usual es Y ~ t v. Siendo su función de densidad

45 La Distribución F de Snedecor: Sean X 1 y X 2, variables aleatorias Chi-cuadrado con v 1 y v 2 grados de libertad, respectivamente. Si X 1 y X 2 son independientes, la variable aleatoria Siendo su función de densidad

46 El valor esperado de F es: La varianza de F es:

47 4.7 Sumas de variables aleatorias Si X 1,… X n son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, diremos que ellas conforman una muestra aleatoria. Teorema 4.10 Sean X 1,…,X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con funciones generadoras de momentos M X1 (t),…,M Xn (t), respectivamente. Si definimos: Entonces la función generadora de momentos de Y es:

48 Ejemplo tenemos que Supongamos que X 1,…,X n son variables aleatorias Bernoulli independientes, idénticamente distribuidas, cada una con parámetro p. Entonces M xi (t)=q + pe t, i=1,…,n. Si definimos:

49 Ejemplo Supongamos que X 1,…,X n son variables aleatorias normales independientes, con medias 1,…, n y varianzas 1 2,…, n 2 respectivamente. Entonces Si definimos Entonces tenemos que

50 Entonces Teorema 4.11 Sean X 1,…,X n variables aleatorias con medias 1,…, n y varianzas 1 2,…, n 2 respectivamente. Definiendo Teorema 4.12 Sean X 1,…,X n variables aleatorias no correlacionadas. Si

51 Teorema 4.13 Sean X 1,…,X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con media y varianza 2. Si

52 4.8 Máximos y mínimos Sean X 1,…,X n, n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución F X (x). Si ordenamos las variables aleatorias en forma ascendente de acuerdo a su magnitud, podemos definir dos funciones de interés primordial en estadística. Ellas son el máximo y el mínimo, denotadas por: - La función de distribución acumulada del máximo de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas es:

53 Si las variables son continuas, podemos obtener la función de densidad del máximo. - La función de distribución acumulada del Mínimo de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas es: Si las variables son continuas, la función de densidad del mínimo es:

54 Ejemplo Supongamos que X 1,…,X n son n variables aleatorias independientes, cada una con distribución exponencial de parámetro >0. La función de densidad del máximo y mínimo respectivamente son: y


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