Módulo N°4 Plan de Nivelación Introducción a la Geometría.

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1 Módulo N°4 Plan de Nivelación Introducción a la Geometría

2 Introducción Para resolver ejercicios de geometría tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos básicos, los que facilitarán la comprensión y resolución de dichos ejercicios. En esta guía de nivelación, definiremos conceptos como punto, recta, semirrecta, rayos, ángulo, etc., y los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. También encontrarás aquellas fórmulas para cálculos de áreas y perímetros de polígonos, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, como cilindros, cubos, conos, etc. Cabe recordar que ésta es una “nivelación” y que queda mucho por aprender y reforzar. Esto es sólo una invitación para continuar estudiando junto a tu profesor.

3 Contenidos I. Geometría Plana - Generalidades II. Polígonos
Punto, recta, semirectas y rayos Trazo y segmento Rectas paralelas y perpendiculares Ángulos, relaciones angulares y clasificación Ángulos entre paralelas II. Polígonos Definición y Clasificación Área y Perímetro

4 III. Circunferencia y Círculo
Definición Radio y diámetro Área y perímetro IV. Cuerpos Geométricos Caras, aristas y vértices Áreas y Volúmenes

5 Aprendizajes esperados
Definir conceptos como: recta, ángulo, cuerpo geométrico, etc. Aplicar fórmulas de áreas y perímetros, tanto de polígonos como de algunos cuerpos geométricos, en ejercicios propuestos. Descubrir formas didácticas para calcular áreas y volúmenes de cuerpos geométricos como prismas y cilindros.

6 I. Geometría Plana - Generalidades
Ángulo: Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común, llamado vértice. Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( a, b, g…) o números (1, 2, 3, 4…) en el interior del ángulo. Su lectura es en sentido antihorario. Módulo N°4, página 6

7 Relaciones angulares:
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Ejemplos: 100° y 80° 46° y 134° 20° y 160° Módulo N°4, página 7

8 Ángulos Complementarios:
Dos ángulos son complementarios si suman 90°. Ejemplos: 48° y 42° 20° y 70° 60° y 30° Ángulos Opuestos por el vértice: Son iguales. Módulo N°4, página 7

9 Ángulos entre paralelas
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, se forman ocho ángulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida). Si L1 // L2 y L3 una transversal, entonces se forman ocho ángulos, que corresponden a un ángulo y su suplemento que se repiten. Módulo N°4, página 9

10 II. Polígonos Áreas y Perímetros
En la siguiente tabla se resumen las fórmulas para calcular las áreas y perímetros de los polígonos más comunes: triángulo, cuadrado y rectángulo (más adelante estudiaremos otros polígonos, como rombos, trapecios, pentágonos, hexágonos, etc.) Módulo N°4, página 10

11 Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19.
FIGURA ÁREA PERÍMETRO P = a+b+c A = a2 P = 4a P = 2a + 2b A= A = Ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, página 19. Módulo N°4, página 11

12 III. Circunferencia y Círculo
Definición Circunferencia: Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado “centro”. Círculo: Es la porción del plano limitado por una circunferencia. Módulo N°4, página 13

13 Radio y diámetro Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella. Diámetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. A B C AB: Diámetro (d) OC: Radio(r) Módulo N°4, página 13

14 Área y Perímetro: Área⊗ = pr2 Perímetro⊗ = 2pr Ejemplo:
Si el diámetro de una circunferencia mide 10,6 cm, entonces, ¿cuál es su área y perímetro? Solución: Si el diámetro de la circunferencia mide 10,6 cm, entonces el radio mide 5,3 cm. Luego: Área⊗ = p∙(5,3)2 Perímetro⊗ = 2p∙(5,3) Área⊗ = p∙(28,09) cm2 Perímetro⊗ = 10,6p cm Módulo N°4, página 13

15 IV. Cuerpos Geométricos
Áreas y volúmenes de algunos cuerpos geométricos El área o superficie de un prisma se obtiene sumando las áreas de su(s) base(s) y las áreas de sus caras laterales. Ejemplo: El área del prisma de base cuadrada de la figura, es: Módulo N°4, página 15

16 El área o superficie del prisma se obtiene sumando las áreas de sus 2 bases cuadradras de lado 8 cm, más sus 4 caras laterales (rectángulos). A = 2·(82) + 4·(8·20) A = 2·(64) + 4·(160) A = A = 768 cm2

17 Ejercicio propuesto: El lado de la base cuadrada de la pirámide mide 3 cm. Sus caras laterales son triángulos de altura 5 cm. ¿Cuál será su área total? Módulo N°4, página 15

18 El área o superficie de la pirámide se obtiene sumando el área de su base (cuadrada), con sus 4 caras laterales. A = A = (32) + 4·(3·5) 2 A = 39 cm2

19 ¿Cómo se calcula el área de un cilindro?
Los cilindros están formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectángulo de ancho igual al perímetro de la circunferencia basal (2pr). Luego, el área de un cilindro se expresa como: A = 2·(pr2) + 2pr·h Módulo N°4, página 16

20 Ejercicio propuesto: ¿Cuál es el área del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm? A = 2·(pr2) + 2prh A = 2·(p·102) + 2p·10·15 A = 2·(p·100) + 2p·150 A = 200p + 300p A = 500p Módulo N°4, página 16

21 ¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?
Para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el área de la base circular (pr2), por su altura (h). Vcilindro = pr2·h Vcilindro = p100·15 Vcilindro = 1500p cm3 Módulo N°4, páginas 16 y 17

22 Ejercicios propuestos:
1. ¿Cuál es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas están en razón 2 : 3 : 6, si la arista mayor mide 12 cm? Solución: Si el alto, ancho y largo de la caja están en razón 2:3:6, entonces: alto = 2k, ancho = 3k y largo = 6k Módulo N°4, página 18

23 Como la arista mayor (largo) mide 12 cm, entonces: 6k = 12 k = 2. 
Luego, alto = 4, ancho = 6 y largo = 12 Por lo tanto, el volumen de la caja es: V= 12·6·4 V= 288 cm3 Módulo N°4, página 18

24 mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen?
2. Si las bases triangulares del prisma de la figura tienen área igual a 12 cm2 y su altura h, mide 15 cm, entonces, ¿cuál es su volumen? Solución: V= 12·15 cm3 V= 180 cm3 Módulo N°4, página 18

25 Te invitamos a resolver los ejercicios propuestos en el Módulo 4 de matemática, desde la página 19. (Solucionario en página 25)