PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MUESTRA.

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1 PRUEBA DE HIPOTESIS PARA UNA MUESTRA

2 AL TERMINAR DE VER LA UNIDAD
SE ESPERA QUE EL ALUMNO, SEA CAPAZ DE:

3 DEFINIR HIPOTESIS Y PREUBA DE HIPOTESIS.-
DESCRIBIR EL PROCEDIMIENTO DE CINCO PASOS PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPOTESIS.- DISTINGUIER EMTRE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA COLA Y DE DOS COLA.- REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL.- REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION POBLACIONAL.- DEFINIR LOS TIPOS DE ERROR I Y DE TIPO II.- VALOR p EN LAS PRUEBAS DE HIPOTESIS.- CALCULAR LA PROBABILIDAD DE UN ERROR TIPO II.-

4 MAPA CONCEPTUAL DE LO QUE VEREMOS:

5 PRUEBA DE HIPOTESIS EL CONCEPTO DE PRUEBA DE HIPOTESIS PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL PRUEBA PARA LA PROPORCION POBLACIONAL VALOR CRITICO DE Z Y ZONA DE RECHAZO PRUEBA DE UNA Y DOS COLAS PRUEBA DE UNA Y DOS COLAS PROBABILIDAD DEL ERROR VALOR p VALOR p FORMULACION DE LA REGLA DE DECISION PRUEBA PARA µ, MUESTRAS PEQUEÑAS

6 INTRODUCCION

7 Con la Unidad de Distribuciones Muestrales, empezó el estudio de la Inferencia Estadística.-
En esta Unidad, desarrollaremos métodos para contrastar hipótesis que nos permiten contrastar la validez de una conjetura o de una afirmación utilizando datos muestrales.- Es decir: En esta Unidad nos concentramos en las PRUEBAS DE HIPOTESIS, otro aspecto de la inferencia estadística que, a igual que la estimación del intervalo de confianza, se basa en la información de la muestra.-

8 En situaciones prácticas la inferencia estadística demanda estimar un parámetro poblacional o tomar decisiones respecto al valor del parámetro.- Por ejemplo, una compañía farmacéutica fermenta antibióticos en un tanque, es posible usar muestras del tanque para estimar la potencia media μ para todo el antibiótico del tanque.- O bien, suponga que a la compañía no le interesa la potencia media exacta del antibiótico, sino solo que cumpla con los estándares de potencia mínima del gobierno.- Entonces, la compañía usa las muestras obtenidas del tanque para decidir entre dos posibilidades: La potencia media μ no excede la potencia mínima permisible.- La potencia media μ excede la potencia mínima permisible.-

9 El ejemplo de la compañía farmacéutica nos ilustra una prueba de hipótesis estadística.-
¿QUE ES UNA HIPOTESIS? Afirmación relativa a un parámetro de la población sujeta a verificación.- Por ejemplo, un paciente visita al médico y acusa varios síntomas.- Con base en ellos, el médico indicará cierto exámenes de diagnóstico, enseguida de acuerdo con los síntomas y los resultados de los exámenes, determina el tratamiento.-

10 OTRO EJEMPLO SERÍA: El razonamiento usado en una prueba de hipótesis estadística es similar al proceso de un juicio en EEUU.- Al procesar a una persona por robo, la corte debe decidir entre la inocencia y la culpabilidad.- Cuando empieza el juicio, se considera que la persona acusada es inocente.- La parte acusadora reúne y presenta toda la evidencia disponible en un esfuerzo para contradecir la hipótesis de inocencia, y por lo tanto, obtener una condena.- Si hay suficiente evidencia contra la inocencia, la corte rechazará la hipótesis de inocencia y declarará al demandado culpable.- Si la fiscalía no presenta suficientes pruebas para demostrar que el demandado es culpable, la corte lo declarará no culpable.-

11 Observe que esto no demuestra que el demandado es inocente, sino solo que no hubo evidencia suficiente para concluir que el demandado era culpable.- Estos tipos de razonamiento nos va a servirá para explicar los conceptos básicos de la prueba de hipótesis.- Estos conceptos se usan para probar los cuatros parámetros que ya venimos estudiando: la media poblacional y la proporción poblacional, además la diferencia de medias poblacionales y diferencia de proporciones poblacionales.- Cuando los tamaños de la muestra son grande, los estimadores puntuales para cada uno de estos cuatro parámetros tienen distribuciones muestrales normales, de tal manera que las cuatro pruebas estadísticas para muestras grandes siguen el mismo modelo general.-

12 ¿QUE ES UNA PRUEBA DE HIPOTESIS?
Los términos prueba de hipótesis y probar una hipótesis se utilizan indistintamente.- La prueba de hipótesis comienza con una afirmación o suposición, sobre un parámetro de la población, como la media poblacional.- Como ya se indicó, esta afirmación recibe el nombre de hipótesis.- Una hipótesis puede ser que la comisión mensual media de las comisiones de los vendedores de casas de artículos de hogar, es de 2000$.- No es posible entrar en contacto con todos los vendedores de casas de artículos de hogar del país sería exorbitante.- Para probar la validez de la afirmació de n (μ = 2000$) se debe seleccionar una muestra de la población de vendedores de artefactos de el hogar, calcular el estadístico muestral y con base en ciertas reglas de decisión , aceptar o rechazar la hipótesis.-

13 Una media muestral de 1000$ para los vendedores de casa de artículos de hogar, provocaría con certeza el rechazo de la hipótesis.- Sin embargo, suponga que la media muestral me da 1995$, ¿esta muy cerca de los 2000$, para aceptar la suposición de que la media de la población es 2000$?.- ¿la diferencia de 5$ entre las dos medias se puede atribuir al erro de muestreo, o dicha diferencia resulta estadísticamente insignificante?.- Entonces, PRUEBA DE HIPOTESIS ES: Un procedimiento basado en evidencia de la muestra y la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.-

14 PROCEDIMIENTO DE CINCO
PASOS PARA PROBAR UNA HIPOTESIS

15 UNA PRUEBA DE HIPOTESIS ESTADISTICA CONSTA DE CINCO PASOS
1.- HIPOTESIS NULA, DENOTADA COMO H0 HIPOTESIS ALTERNATIVA, DENOTADA COMO H1 2 .- SE SELECCIONA UN NIVEL DE SIGNIFICANCIA 3.- SE IDENTIFICA EL ESTADISTICO DE PRUEBA 4.- SE FORMULA UNA REGLA PARA TOMAR DECISIONES 5.- SE TOMA UNA MUESTRA, SE LLEGA A UNA DECISIÓN NO SE RECHAZA H0 O SE RECHA H0 Y SE ACEPTA H1

16 Cuando usted especifica los cinco elementos está definiendo una prueba de hipótesis particular, si modifica una o más partes crea una nueva prueba.- Analicemos cada parte de la prueba de hipótesis estadística con más detalle.- 1° PASO: Se establece la hipótesis nula y la alternativa.- El primer paso consiste en establecer la hipótesis por probar.- Esta recibe el nombre de hipótesis nula.- O se rechaza o no se rechaza la hipótesis nula.- La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que la información de la muestra aleatoria ofrezca evidencia convincente de que es falsa.-

17 Cabe hacer hincapié en que si la hipótesis nula no se rechaza con base en los datos de la muestra, no es posible decir que la hipótesis nula sea verdadera.- En otras palabras, el hecho de no rechazar una hipótesis no prueba que H0 sea verdadera, sino que no rechazamos H0.- Para probar sin lugar a dudas que la hipótesis nula es verdadera, sería necesario conocer el parámetro poblacional.- Para determinarlo habría que probar, entrevistar o contar cada elemento de la población.- Esto no resulta factible.- La alternativa es tomar una muestra de la población.- Al seleccionar una muestra de una población, el estadístico de la muestra es numéricamente distinto del parámetro poblacional hipotético.- Como ejemplo, suponga que la hipótesis de la resistencia de una botella de vidrio a los impactos es de 70 psi y que la resistencia

18 media de una muestra de 12 botellas de vidrio es de 69,5 psi
media de una muestra de 12 botellas de vidrio es de 69,5 psi.- Se debe tomar la decisión con la diferencia de 0,5 psi.- ¿Se trata de una diferencia real, es decir, una diferencia significativa, o la diferencia real entre el estadístico de la muestra y el parámetro de la población hipotético es aleatorio y se debe al error de muestreo?.- Según vimos, la respuesta a esta pregunta implica una prueba de significancia, que recibe el nombre de Prueba de Hipótesis.- Entonces: Hipótesis Nula: enunciado relativo al valor de un parámetro poblacional formulado con el fin de probar evidencia numérica.-

19 La hipótesis alternativa, describe lo que se concluirá si se rechaza la hipótesis nula.- Se representa con H1.- Entonces: Hipótesis alternativa: afirmación que se acepta si los datos de la muestra ofrecen suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula.- Veamos el siguiente ejemplo para aclara los términos de estas dos hipótesis:

20 Desea mostrar que el salario medio por hora de los obreros de la construcción en la ciudad de La Rioja, es distinto de 14 $, que es el promedio nacional.- Entonces, H0) μ = 14 Representa el estado actual o el reportado H1) μ ≠ 14 La hipótesis alternativa se refiere al hecho de que la afirmación no es verdadera.- Es necesario recordar que, sin importar la manera de plantear el problema, la hipótesis nula siempre incluirá el signo de igual.- Este signo (=), nunca aparecerá en la H1).- ¿Por qué? Porque es la afirmación que se va a probar, y es necesario un valor específico para incluir en los cálculos.- Se recurre a la hipótesis alternativa solo si la información sugiere que se debe rechazar la H0).-

21 Como pronto advertirá, es más fácil mostrar el apoyo a la hipótesis alternativa que demostrar que la hipótesis nula es falsa.- Por tanto, el investigador comienza suponiendo siempre que la hipótesis nula es cierta.- Luego, usa los datos de la muestra para decidir si la evidencia favorece a H1 y no H0 y llegar a una de estas dos conclusiones: Rechazar H0 y concluir que H1 es verdadera Aceptar (no rechazar) H0 como verdadera

22 Se selecciona un nivel de significancia.-
2° PASO: Se selecciona un nivel de significancia.- Después de establecer la H0) y la H1), el siguiente paso consiste en determinar el nivel de significancia.- Nivel de significancia: es Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.- El nivel de significación se expresa con la letra griega α

23 En ocasiones también se lo conoce como “nivel de riesgo”
En ocasiones también se lo conoce como “nivel de riesgo”.- Este término tal vez sea el más adecuado porque se trata del riesgo que se corre al rechazar la H0) cuando es verdadera.- No existe un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas.- Se toma la decisión de utilizar el nivel de 0,05 , nivel 0,01 o nivel 0,10, pero también cualquier nivel entre 0 y 1.- Generalmente se acostumbra a elegir el nivel 0,05 para proyectos de investigación que tiene que ver con los consumidores, el 0,01 en todo lo referido al control de calidad y el 0,10 referentes a encuestas políticas.- Usted como investigador, debe elegir el nivel de significancia antes de formular una regla de decisión y recopilar los datos de la muestra.-

24 Para ilustrar como es posible rechazar una hipótesis verdadera, suponga que una empresa fabricante de computadoras personales utiliza una gran cantidad de tarjetas con circuitos impresos.- Los proveedores participan en una licitación y el que presenta la cotización más baja obtiene un contrato muy importante.- Suponga que el contrato especifica que el departamento de control de calidad del fabricante de computadoras tomará una muestra aleatoria de los envíos que llegan.- Si más de 6% de las tarjetas no cumplen con las normas, el envío se rechaza.- La H0) μ ≤ 6 % H1) μ > 6% Una muestra de 50 tarjetas de circuitos de Electronic SRL, que se recibieron hace un mes, reveló que 4, es decir un 8%, no cumplían con las normas.-

25 El envío se rechazó en virtud de que excedían el máximo de 6% de tarjetas que no cumplían con las normas.- Si en realidad el envío no cumplía con las normas, fue acertada la decisión de devolver las tarjetas al proveedor.- No obstante, suponga que las 4 tarjetas e legidas de la muestra de 50 eran las únicas que no cumplían con las normas en un envío de 4000 tarjetas.- Entonces solo 0,1% se encontraban defectuosas (4/4000= 0,001).- En este caso, menos de 6% de todo el envío no satisfacía las normas y rechazarlo fue un error.- En términos de la prueba de hipótesis rechazamos la H0) de que el envío no cumplía con las normas cuando se debió aceptar.- Al rechazar la hipótesis nula, se incurrió en un error de TIPO 1.- La probabilidad de cometer este error es α.-

26 RECHAZAR LA HIPOTESIS NULA CUANDO ES VERDADERA
ERROR TIPO I RECHAZAR LA HIPOTESIS NULA CUANDO ES VERDADERA La probabilidad de cometer otro tipo de error conocido como ERROR TIPOII, se expresa con β.- ERROR TIPO II RECHAZAR LA HIPOTESIS NULA CUANDO ES FALSA

27 La empresa que fabrica computadoras personales cometería un error de tipo II si, sin que lo sepa el fabricante, un envió de tarjetas de Electronic SRL, contiene 15% de tarjetas que no cumplen con las normas y aún así lo aceptara.- ¿Cómo puede suceder esto?, suponga 2 de las 50 tarjetas (4%) no son aceptable, y 48 de las 50 son aceptables.- De acuerdo con el procedimiento detallado, como la muestra contiene menos de 6% de tarjetas que no cumplen con las normas, el envío se acepta.- Puede suceder que por azar, las 48 tarjetas que contiene la muestra sean las únicas aceptables en todo el envío, que consta de miles de tarjetas.- La siguiente tabla resume las decisiones que el investigador puede tomar y sus posibles consecuencias.-

28 HIPOTESIS NULA INVESTIGADOR NO RECHAZA H0 RECHAZA ES VERDADERA DECISION CORRECTA ERROR TIPO I ES FALSA TIPO II

29 Se selecciona el estadístico de prueba
3° PASO: Se selecciona el estadístico de prueba Hay muchos estadísticos de prueba.- En esta Unidad usaremos Z y t de Student como estadísticos de prueba.- Luego aprenderemos a usar la distribución Chi cuadrado y la distribución F.- ESTADISTICO DE PRUEBA Valor determinado s partir de la información de la muestra, para determinar si se rechaza la hipótesis nula.

30 La prueba de hipótesis para la media (μ), cuando se conoce σ o el tamaño de muestra es grande, es el estadístico de prueba Z que se calcula de la siguiente manera: x μ Z = σ/ √ n El valor Z se basa en la distribución del muestreo de la media muestral, que sigue una distribución normal cuando la muestra es razonablemente grande, con una media μx = μ y una desviación estándar que llamamos error estándar de la media σ/ √ n

31 Se formula la regla de decisión
Por consiguiente, puede determinar si la deferencia entre x y μ es significativamente desde una perspectiva estadística al determinar el número de desviaciones estándares a las que se encuentra x de μ con la formula de la placa anterior.- 4° PASO: Se formula la regla de decisión Una regla de decisión es una afirmación sobre las condiciones específicas en que se rechaza la hipótesis nula y aquellas en las que no se rechaza.- La región o área de rechazo define la ubicación de todos esos valores que son tan grandes o tan pequeños que la probabilidad de que ocurran en una hipótesis nula verdadera es muy remota.-

32 En la Gráfica siguiente, se presenta la región de rechazo de una prueba de significancia que veremos más adelante: Región de rechazo No se rechaza H0) Probabilidad = 0,95 Z 1,65 Valor crítico Probabilidad = 0,05

33 Observe lo siguiente en la gráfica:
El área en que se acepta la hipótesis nula se localiza a la izquierda de 1,65.- En breve se explicara la forma de obtener el valor de 1,65.- El área de rechazo se encuentra a la derecha de 1,65.- Se aplica una prueba de una cola (como veremos más adelante) Se eligió un nivel de significancia de 0,05.- La distribución muestral del estadístico tiene una distribución normal.- El valor 1,65 separa las regiones en que se rechaza la hipótesis nula y en la que se acepta.- El valor de 1,65 es el valor crítico.-

34 5° PASO: Se toma una decisión El último paso en la prueba de hipótesis consiste en calcular el estadístico de la prueba, comparándola con el valor crítico, y tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula.- De acuerdo con la Gráfica vista en el 4° Paso, si a partir de la información de la muestra, se calcula que Z tiene un valor de 2,34, se rechaza la H0) con un nivel de significancia del 0,05.- La decisión de rechazar H0) se tomó porque 2,34 se localiza en la región de rechazo; es decir, más allá de 1,65.- Se rechaza la hipótesis nula porque es poco probable que un valor de Z tan alto se deba al error de muestreo (azar).-

35 Si el valor calculado hubiese sido de 1,65 o menos por ejemplo 0,71, no se habría rechazado la hipótesis nula, ya que cae en la zona de aceptación.- Un valor calculado muy pequeño no se atribuye al azar, es decir al error de muestreo.- Algunos investigadores prefieren expresar la decisión como “ no se rechaza la hipótesis nula” en lugar de decir “se acepta la hipótesis nula”.- Recuerde: Es necesario recordar que siempre existe la posibilidad de que la hipótesis nula se rechace cuando en realidad no se debe rechazar (error Tipo I).- Asimismo, existe una posibilidad definible de que la hipótesis nula se acepte cuando debería rechazarse (error Tipo II).-

36 RESUMEN DE LOS PASOS DE LA PRUEBA DE HIPOTESIS
1.-Se establecen la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.- 2.- Se selecciona el nivel de significancia, es decir α 3.- Se selecciona un estadístico de prueba adecuado.- 4.- Se formula una regla de decisión con base a los pasos 1, 2, 3 anteriores.- 5.- Se toma una decisión en lo que se refiere a la hipótesis nula con base en la información de la muestra.- Se interpretan los resultados de la prueba d.-

37 PRUEBA DE SIGNIFICANCIA
DE UNA Y DOS COLAS

38 VEAMOS ESTO EN EJEMPLOS
Para definir si se trata de un problema de una o dos colas siempre debemos mirar la hipótesis alternativa que hemos planteado.- Vale la pena destacar que tanto en la prueba de una cola a la izquierda como de una cola a la derecha, el signo igual se coloca en la hipótesis nula.- Esto es porque la hipótesis nula se esta probando a un valor α específico como (0,05) y el signo igual da a la hipótesis nula un valor específico para probarla.- VEAMOS ESTO EN EJEMPLOS

39 Zona de no rechazo H0) μ ≤ H1) μ > 16

40 Zona de no rechazo H0) μ ≥ H1) μ < 16

41 Zona de no rechazo H0) μ = H1) μ ≠ 16

42 SE CONOCE LA DESVIACION ESTÁNDAR POBLACIONAL.-
PRUEBA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION; SE CONOCE LA DESVIACION ESTÁNDAR POBLACIONAL.-

43 Toledo SA fabrica y arma escritorios y otros muebles para oficina en diferentes plantas en el oeste de la ciudad de Córdoba.- La producción semanal del escritorio modelo A325 en la planta de Ferreyra tiene una distribución normal con una media de 200 y una desviación estándar de 16.- Hace poco, con motivo de la expansión del mercado, se introdujeron nuevos métodos de producción y se contrató a más empleados.- El vicepresidente de fabricación pretende investigar si hubo algún cambio en la producción semanal de escritorios modelo A 325.-En otras palabras, ¿la cantidad media de escritorios producidos por la planta de Ferreyra es diferente de 200 escritorios semanales con un nivel de significancia de 0,01?.-

44 Aplique el procedimiento de prueba de hipótesis estadística para investigar si cambio el índice de producción de 200 escritorios semanales.- 1° Paso: H0) μ = H1) μ ≠ 200 2° Paso: Nivel de significancia α = 0,01.- Este es α,la probabilidad de cometer el error tipo I, que es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula verdadera.- 3° Paso: Se selecciona el estadístico de prueba, que sabemos que para muestras grandes es Z.- X - μ Z = σ /√n

45 4° Paso: Se formula la regla de decisión, para encontrar los valores críticos de Z con ayuda de la tabla de Z.- , 4 3 2 1 D e n s i d a - 2,58 G r á f i c a d e d i s t r i b u c i ó n N o r m a l . M e d i a = . D e s v . E s t . = 1 H0) no se rechaza , 00 5 ,005 Z 2,58 Por tanto, la regla de decisión es rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa (que indica que la media poblacional no es 200) si el valor Z calculado no se encuentra entre - 2,58 y +2,58.-

46 5° Paso: Se toma una muestra de la población (producción semanal), se calcula Z, se aplica la regla de decisión y se llega a la decisión de rechazar la H0) o no.- La cantidad media de escritorios producidos el año pasado (50 semanas, pues la planta cerro 2 semanas por vacaciones) es de 203,5.- La desviación estándar de la población es de 16 escritorios semanales.- Al calcular el valor de Z se obtiene: = = Como 1,55 no cae en la región de rechazo, H0) no se rechaza.- La conclusión es : la media de la población no es distinta de 200.- X - μ Z = σ /√n 16 / √50

47 , 4 3 2 1 D e n s i d a - 2,58 Valor de Z calculado H0) no se rechaza 1.55 2.58 Así, se informa al vicepresidente de fabricación que la evidencia de la muestra no indica que la tasa de producción en la planta de Ferreyra haya cambiado de 200 semanales.- La diferencia de 3,5 unidades entre la producción histórica y la del año pasado, puede atribuirse razonablemente al error de muestreo.-

48 ¿Se demostró que el ritmo de montaje aún es de 200 a la semana. - No
¿Se demostró que el ritmo de montaje aún es de 200 a la semana?.- No.- Lo que se hizo técnicamente fue no desaprobar la hipótesis nula.- No refutar la hipótesis nula de que la media poblacional es de 200, no es los mismo que probar que necesariamente es verdadera.- La interpretación correcta consiste en que no se probo la falsedad de la hipótesis nula.- En este caso se eligió el nivel de significancia de 0,01 antes de establecer la regla de decisión y tomar una muestra de la población.- Esta es la estrategia adecuada.- El investigador debe establecer el nivel de significancia antes de reunir la evidencia de la muestra y no realizar cambios con base en la evidencia de la muestra.-

49 VEAMOS EL SIGUIENTE EJERCICIO
Usted es gerente de un restaurante de comida rápida.- Quiere determinar si el tiempo de espera al pedir una orden se ha modificado en el último mes con respecto a su valor de media poblacional previo de 4,5 minutos.- A partir de la experiencia anterior, supone que la desviación estándar de la población es de 1,2 minutos.- Selecciona una muestra de 25 ordenes durante un período de una hora.- La media muestral es de 5,1 minuto.- Utilice el método de prueba de hipótesis para determinar si existe evidencia de que, con un nivel de significancia de 0,05, el tiempo de espera medio para servir una orden se ha modificado durante el último mes con respecto a su valor de media poblacional previo de 4,5 minutos.- Solución

50 H0) µ = 4,5 H1) µ ≠ 4,5 Se selecciona una n = 25.- El nivel de significancia es 0,05 es decir que α = 0,05 Como conocemos σ, utilizamos la distribución normal y el estadístico de prueba es Z.- Como α = 0,05, los valores críticos del estadístico de prueba Z son – 1,96 y + 1,96.- La región de rechazo es Z < - 1,96 o Z > + 1,96.- La zona de no rechazo de la H0) es 1,96 < Z < + 1,96.- Calculamos Z con la formula que sabemos y nos da igual a 2,50.- Puesto que Z = 2,50 > 1,96, usted rechaza la H0).- Concluye que existe evidencia de que el tiempo de espera al pedir una orden se ha modificado con respecto a su valor de media poblacional previo de 4,5 minutos.- El tiempo de espera medio de los clientes ahora es mayor que el mes pasado.-

51 COMPARACION DE INTERVALOS
DE CONFIANZA Y PRUEBAS DE HIPOTESIS

52 ¿Como se confronta el procedimiento de prueba de hipótesis que hemos descrito, con el procedimiento de Intervalos de confianza?.- Al realizar la prueba de hipótesis en la producción de escritorios, se cambiaron las unidades de escritorios a la semana a un valor Z.- Después se comparó el valor calculado del estadístico de prueba (1.55) con el de los valores críticos (- 2,58; 2,58).- Como el valor calculado se localizó en la región de no rechazo de la hipótesis nula, se concluyó que la media poblacional podía ser de Por otro lado, para aplicar el enfoque del Intervalo de Confianza al 99%, como ya vimos me da ( a ).- Observe que el valor de la media de la población propuesto se encuentra en el intervalo, de allí que la media poblacional podría ser razonablemente 200.-

53 En general H0) se rechaza si el intervalo de confianza no incluye el valor hipotético.- Si el intervalo de confianza incluye al valor hipotético, no se rechaza la H0).- Así, la región de no rechazo para una prueba de hipótesis equivale al valor de población propuesto en el intervalo de confianza.- La diferencia fundamental entre el intervalo de confianza y la región de no rechazo para una prueba de hipótesis depende de que el intervalo de confianza se centre en torno al estadístico de la muestra, como X, al intervalo de confianza o alrededor de 0, como en la prueba de hipótesis.-

54 EJERICICIO PARA HACER EN CLASE
La Campagnola SA, en su área de envase de salsa de tomate, utiliza una máquina para vaciar 16 onzas de su salsa en botellas.- A partir de su experiencia de varios años con la máquina despachadora, ellos saben que la cantidad del producto en cada botella tiene una distribución normal con una media de 16 onzas y una desviación estándar de 0,15 onzas.- Una muestra de 15 botellas llenadas durante la hora pasada reveló que la cantidad media por botella era de 16,017 onzas.-

55 ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es diferente de 16 onzas?.- Utilice un nivel de significancia de 0,05?.- Establezca la hipótesis nula y la alternativa.- ¿Cuál es la prob. de cometer un error tipo I?.- Proporcione la formula para el estadístico de la prueba.- Enuncie la regla de decisión.- Determine el valor del estadístico de prueba.- ¿Cuál es su decisión respecto de la H0)?.- Interprete el resultado.-

56 PRUEBA DE UNA COLA.- Volviendo al ejemplo ya visto, solo se destacó el interés por informar al vicepresidente si ocurrió un cambio en la cantidad media de escritorios armados en la planta de Ferreyra (Córdoba).- No importaba si el cambio era un incremento o una disminución de la producción.- Para ilustrar la prueba de una cola, veamos el siguiente problema.- Suponga que el Vicepresidente desea saber si hubo un incremento en cantidad de unidades armadas, ¿Puede concluir, debido al mejoramiento de los métodos de producción, que la cantidad media de escritorios armados en las pasadas 50 semanas fue superior a 200?.- En este caso, las hipótesis a plantear serán: H0) μ ≤ H1) μ > 200

57 El gráfico correspondiente a lo planteado sería:
, 4 3 2 1 D e n s i d a G r á f c t b u ó N o m l . M = v E H0) no se rechaza Z Región de rechazo

58 VALOR p EN LA PRUEBA DE HIPOTESIS

59 Al probar una hipótesis, se compara el estadístico de la prueba con un valor crítico.- Se toma la decisión de rechazar la hipótesis nula o de no hacerlo.- Así, por ejemplo, si el valor crítico es de 1,96 y el valor calculado del estadístico de prueba es de 2,19, la decisión consiste en rechazar la hipótesis nula.- En años recientes, por la disponibilidad del software de computadora, con frecuencia se da información relacionada con la seguridad del rechazo o aceptación.- Es decir, ¿Cuánta confianza hay en el rechazo de la hipótesis nula?.- Este enfoque indica la probabilidad (en el supuesto de que la hipótesis nula sea verdadera) de obtener un valor del estadístico de la prueba por lo menos tan extremo como el valor real obtenido.-

60 Este proceso compara la probabilidad, denominada valor p, con el nivel de significancia.-
Decisión: Valor p < que el nivel significancia SE RECHAZA H0) Valor p > que el nivel significancia NO SE RECHAZA H0)

61 La determinación del valor p no solo da como resultado una decisión respecto de H0), sino que brinda la oportunidad de observar la fuerza de la decisión.- Un valor p muy pequeño, como 0,0001, indica que existe poca probabilidad de que H0) sea verdadera.- Un valor p muy pequeño, como 0,0001, indica que existe poca probabilidad de que H0) sea verdadera.- Por otra parte, un valor p grande, como 0,2033, significa que H0) no se rechaza y que existe poca probabilidad de que H0) sea falsa.-

62 ¿Cómo se calcula el valor p?
Para ilustrarlo se recurre al ejemplo en el que se probó la hipótesis relativa a que la cantidad de escritorios producidos a la semana en la planta de Ferreyra fue de No se rechazó la hipótesis nula, pues el valor Z de 1,55 cayó en la región comprendida entre - 2,58 y 2,58.- Se decidió no rechazar la hipótesis nula si el valor calculado de Z caía en esta región.- La probabilidad de hallar un valor Z de 1,55 o más es de 0,0606, que se calcula como ya sabemos.-

63 En otras palabras, la probabilidad de obtener una x mayor de 203,50 si μ =200 es de 0,0606.-
Para calcular el valor p, es necesario concentrarse en la región menos de - 1,55, así en los valores superiores a 1,55 (pues la región de rechazo se localiza en ambas colas).- El valor p de dos colas es de 0,1212, que se calcula de hacer 2 * 0, El valor p de 0,1212 es mayor que el nivel de significancia de 0,01 que se estableció en el inicio, así que no se rechaza la H0).- En la siguiente gráfica se muestran los detalles.- En general, el área se duplica en una prueba de dos colas.-

64 Valor p para dos colas; 0.0606 * 2 = 0.1212
-1.55 1.55 Valor p para dos colas; * 2 = α/2 = 0.01/2 = 0.05 Entonces el valor p se compara con facilidad con el nivel de significancia.- Se aplica la misma regla de decisión en el caso de una cola.-

65 El siguiente recuadro permite interpretar los valores de p.-
Un valor p es una manera de expresar la probabilidad de que la hipótesis sea falsa.- Pero, ¿Cómo interpretar un valor p?.- Ya se mencionó que si el valor de p es menor que el nivel de significancia, se rechaza la hipótesis nula.- Si es mayor que el nivel de significancia, no se rechaza la hipótesis nula.- Asimismo, si el valor p es muy grande, es probable que H0) no sea verdadera.- El siguiente recuadro permite interpretar los valores de p.-

66 INTERPRETACION DE LA IMPORTANCIA DE LA EVIDENCIA EN CONTRA DE H0)
INTERPRETACION DE LA IMPORTANCIA DE LA EVIDENCIA EN CONTRA DE H0).- Si el valor p es menor que: 0,10 hay cierta evidencia de que H0) no es verdadera.- 0,05 hay evidencia de que H0) es verdadera.- 0,01 hay evidencia muy fuerte de que H0) no es verdadera.- 0,001 hay evidencia extremadamente fuerte de que H0) no es verdadera.-

67 EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE

68 Volviendo a ver el ejercicio sobre La Campagnola SA, (placa 47-48)-
a) Suponga que se modifica el penúltimo enunciado para que diga, ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es mayor que 16 onzas?.- Establezca la hipótesis nula y la alternativa en estas condiciones.- b) ¿Cuál es la regla de decisión en las nuevas condiciones planteadas en el inciso a)?.- c) Una nueva muestra de 50 contenedores llenos reveló que la media es de 16,040 onzas.-¿Cuál es el valor del estadístico de la prueba para esta muestra?.-

69 d) ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?.-
e) Interprete en un solo enunciado el resultado de la prueba estadística.- f) ¿Cuál es el valor p?.- ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula con base en el valor p?.- ¿es la misma conclusión que llego en el inciso d)?.-

70 1.- Se cuenta con la siguiente información: H0) µ = 50 H1) µ ≠ 50
EJERICICIOS Responda las siguientes preguntas para los primeros cuatros ejercicios: a) ¿es una prueba de una o de dos colas?.- b) ¿Cuál es la regla de decisión?.- c) ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba?.- d) ¿Cuál es su decisión respecto a la H0)?.- e) ¿Cuál es el valor p?.- Interprete este valor.- 1.- Se cuenta con la siguiente información: H0) µ = H1) µ ≠ 50 La media muestral es de 49 y el tamaño de muestra de 30.- La desviación estándar de la población es 5.- Utilice un nivel de insignificancia igual a 0,05.-

71 2.- Se cuenta con la siguiente información:
H0) µ ≤ H1) µ > 10 La media muestral es de 12 y el tamaño de muestra de 36.- La desviación estándar de la población es 3.- Utilice un nivel de insignificancia igual a 0,02.- 3.- Una muestra de 36 observaciones se selecciona de una población normal.- H0) µ ≤ H1) µ > 20 La media muestral es de 21 y el tamaño de muestra de 30.- La desviación estándar de la población es 5.- Lleve a cabo una prueba de hipótesis.- Utilice un nivel de insignificancia igual a 0,05.-

72 4.- Una muestra de 64 observaciones se selecciona de una población normal.- La media de la muestra es 215 y la desviación estándar de la población es 15.- Lleve a cabo una prueba de hipótesis, utilice el nivel de significancia 0,03.- H0) µ ≤ H1) µ > 220 Responda las siguientes preguntas para los cuatros ejercicios siguiente: a) Establezca la hipótesis nula y la alternativa.- b) Defina la regla de decisión.- c) Calcule el valor del estadístico de prueba.- d) ¿Cuál es su decisión respecto a la H0)?.- e) ¿Cuál es el valor p?.- Interprete este valor.-

73 1) Un fabricante de llantas radiales con cinturón de acero X-15 para camiones señala que el millaje medio que la llanta recorre antes de que se desgasten las cuerdas es de millas.- La desviación estándar del millaje es de 5000 millas.- La empresa Cotil car compro 48 llantas y encontró que el millaje medio para sus camiones es de millas.- ¿La experiencia de Cotil car es diferente de que afirma el fabricante a un nivel de significancia 0,05?.- 2.- La cadena de hamburguesas MacDonald afirma que el tiempo de espera de los clientes es de 8 minutos con una desviación estándar poblacional de 1 minuto.- El Departamento de Control de Calidad hallo en una muestra de 50 clientes de la sucursal A, que el tiempo medio de espera era de 2,75 minutos.- Con un nivel de significancia de 0,05.- ¿Puede concluir que el tiempo medio de espera sea menor que 3 minutos?.-

74 3.- Una encuesta nacional reciente determino que los estudiantes de secundaria veían en promedio 6,8 películas en DVD al mes, con una desviación estándar poblacional de 0,5 horas.- Una muestra aleatoria de 36 estudiantes universitario revelo que la cantidad media de película en DVD que vieron el mes pasado fue de 6,2.- Con un nivel de significancia de 0,05.- ¿Puede concluir que los estudiantes universitarios ven menos películas en DVD que los estudiantes de secundaria? 4.- En el momento en que fue contratado Pedro como mozo del Naindo se le dijo “puede ganar en promedio mas de $80 al día en propinas”.- Suponga que la desviación estándar de la distribución de población es de 3,24$.- Los primero 35 días de trabajar en el Hotel confitería Naindo, la suma de sus propinas fue de 84,85$.- Con el nivel de significancia de 0,01.- ¿puede Pedro concluir que esta ganando un promedio de mas de 80$ en propinas?.-

75 LA DESVIACION ESTÁNDAR POBLACIONAL.-
PRUEBA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACION; SE DESCONOCE LA DESVIACION ESTÁNDAR POBLACIONAL.-

76 En el ejemplo anterior se conocía σ, la desviación estándar de la población.- No obstante en la mayoría de los casos, la desviación estándar de la población es desconocida.- Por consiguiente, σ debe basarse en estudios previos o calcularse por medio de la desviación estándar de la muestra s.- La desviación estándar poblacional en el siguiente ejemplo no se conoce, por lo que se emplea la desviación estándar muestral para estimar σ.- Para determinar el valor del estadístico de la prueba utilice la distribución t, entonces: X - μ t = s / √n

77 Con n-1 grados de libertad, en la cual:
X representa la media de la muestra μ la media de la población hipotética s desviación estándar de la muestra n el número de observaciones en la muestra En estas condiciones, el procedimiento estadístico correcto consiste en sustituir la distribución normal estándar con la distribución t.-

78 Creo que es conveniente que repasemos las principales características de la distribución t:
1.- Es una distribución continua.- 2.- Tiene forma de campana y es simétrica.- 3.- Existe una familia de distribuciones t, cada vez que se cambia de grado de libertad, se crea una nueva distribución.- 4.- Conforme se incrementa el número de grados de libertad, la forma de la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.- 5.- La distribución t es más aplanada o más dispersa que la distribución normal estándar.-

79 El siguiente ejemplo muestra los detalles de lo antes dicho:
El departamento de quejas de Seguros La Segunda, informa que el costo medio para tramitar una queja es de 60$.- Una comparación industrial mostró que esta cantidad es mayor que en las demás compañías de seguros, así que la compañía tomo medidas para reducir gastos.- Para evaluar el efecto de las medidas de reducción de gastos, el supervisor del departamento de quejas selecciono una muestra aleatoria de 26 quejas atendidas el mes pasado.- La información obtenida la mostramos a continuación en $: 45 48 58 38 53 54 51 76 62 67 40 63 56 59 78 61 64 69 57 49 43

80 ¿ Es razonable concluir que el costo medio de atenciòn de una queja ahora es menor que 60$ con un nivel de significancia 0,01?.- Vamos a aplicar una prueba de hipótesis con el procedimiento de cinco pasos: Paso 1: Se establecen la hipótesis nula y alternativa La hipótesis nula consiste en que la media poblacional es de por lo menos 60$.- La hipótesis alternativa consiste en que la media poblacional es menor que 60$.- H0) µ ≥ H1) µ < 60 La prueba es de una cola, pues desea determinar si hubo una reducción en el costo.- La desigualdad en la hipótesis alternativa señala la región de rechazo en la cola izquierda de la distribución.-

81 Paso 2: Se selecciona un nivel de significancia que es de 0,01.-
Paso 3: Se identifica el estadístico de prueba.- El estadístico de la prueba en este caso es la distribución t.- ¿Por qué?.- Primero, porque resulta razonable concluir que la distribución del costo por queja sigue una distribución normal.- Puede confirmarlo a partir del histograma a la derecha de la salida de Minitab, que vemos en la placa siguiente.- No se conoce la desviación estándar de la población, asi que se sustituye ésta por la desviación estándar de la muestra.- El valor del estadístico de prueba se calcula mediante la siguiente formula: X - μ t = s / √n

82

83 Paso 4: Los valores críticos de t aparecen en la tabla de la t, para 25 grados de libertad y un nivel de significancia de 0,01.- Es una prueba de una cola.- El valor correspondiente para t es 2, Como se trata de una prueba de una cola y la región de rechazo se localiza en la cola izquierda, el valor critico es negativo.- La regla de decisión es rechazar si el valor de t es menor que – 2,4851.- Paso 5: Se toma una decisión y se interpreta el resultado.- De acuerdo con la pantalla de Minitab, próxima al histograma, el costo medio por queja para la muestra de 26 observaciones es de $ 56,42.- La desviación estándar de esta muestra es de 10,04$.- Al sustituir estos valores en la formula de t, calculamos este valor:

84 X - μ 56, t = = = - 1,818 s / √n 10,04 / √26 , 4 3 2 1 D e n s i d a - 851 G r á f c t b u ó T ; = 5 Zona de no rechazo H0) Zona de rechazo t - 1,818 Valor critico Valor calculado de t

85 Como - 1,818 se localiza en la región ubicada a la derecha del valor critico de – 2,4851, la hipótesis nula no se rechaza con el nivel de significancia de 0, No se demostró que las medidas de reducción de costos haya bajado el costo medio por quejas a menos de 60$.- En otras palabras, la diferencia de 3,58$ (56,52 – 60) entre la media muestral y la media poblacional puede deberse al error de muestreo.-

86 EJERCICIO PARA HACER EN CLASE
1.- La longitud media de una pequeña barra de contrapeso es de 43 milímetros.- Al supervisor de producción le preocupa que haya cambiado los ajuste de la maquina de producción de barras.- Solicita una investigación al Departamento de ingeniería y este selecciona una muestra de 12 barras y las mide.- Los resultados son los siguientes en milímetros: ¿es razonable concluir que cambio la longitud media de las barras?.- Respuesta: Se rechaza la Ho) entonces se acepta la H1) y se concluye que la media poblacional no es de 43 milímetros.- La maquina esta fuera de control y necesita algunos ajustes.-

87 2. - La vida media de una batería en un reloj digital es de 305 días
2.- La vida media de una batería en un reloj digital es de 305 días.- La vida media de las baterías se rigen por la distribución normal.- hace poco se modifico la batería para que tuviera mayor duración.- Una muestra de 20 baterías modificadas exhibió una vida media de 311 días con una desviación estándar de 12 días.- ¿La modificación incremento la vida media de la batería?.- Formule la hipótesis nula y alternativa.- Muestre la grafica de la regla de decisión.- Utilice un nivel de significación de 0,05.- Calcule el valor de t.- ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula?.- resuma sus resultados.-

88 EJERICICIOS

89 1- Sean las siguientes hipótesis:
H0) µ ≤ H1) µ >10 Para una muestra aleatoria de 10 observaciones, la media muestral fue de 12 y la desviación estándar de la muestra de 3.- Utilice un nivel de significancia de 0,05.- Formule la regla de decisión.- Calcule el valor del estadístico de prueba.- ¿Cuál es su decisión respecto de la hipótesis nula.- 2.- Sean las siguientes hipótesis: H0) µ = H1) µ ≠ 400 Para una muestra aleatoria de 12 observaciones, la media muestral fue de 407 y la desviación estándar de 6.- Utilice un nivel de significancia de 0,01.-

90 3.- El gerente de ventas de la Editorial Universitaria que se ocupa de todos los textos universitarios, afirma que los representantes de ventas realizan en promedio 40 llamadas de ventas a la semana a profesores.- Varios representantes afirman que el calculo es muy bajo.- Una muestra aleatoria de 28 representantes de ventas revela que a cantidad promedio de llamadas realizadas la semana pasada fue de 42.- La desviación estándar de la muestra es de 2,1 llamadas.- Con el nivel de 0,05, ¿puede concluir que la cantidad media de llamadas semanales por vendedor es de más de 40?.- 4.- El administrador de Easy analiza una nueva técnica para armar un placar, la técnica actual requiere de 42,3 minutos en promedio.- El tiempo medio de montaje de una muestra aleatoria de 24 placar con la nueva técnica, fue de 40,6 minutos y la desviación estándar de 2,7 minutos.- Con un nivel de significancia de 0,10, ¿puede concluir que el tiempo de montaje con la nueva técnica es mas breve?.-

91 5.- Un fabricante de bujías afirma que sus productos tienen una duración media superior a millas.- Suponga que la duración de las bujías se rige por una distribución normal.- El dueño de una flota de taxis, compro una buena cantidad de juegos de bujías.- Una muestra aleatoria de 18 juegos revelo que la duración media de las bujías era de millas y la desviación estándar de 1500 millas.- ¿Existen evidencias que apoyen la afirmación del fabricante en el nivel de significancia 0,05?.- 5.- En la actualidad, la mayoría de quienes viajan en avión compra su boletos por Internet.- Así, los pasajeros evitan la preocupación de cuidar un boleto de papel, además de que las aerolíneas ahorran.- No obstante, en fechas recientes, las aerolíneas han recibido quejas relacionadas con los boletos, en particular, cuando se requiere hacer un enlace para cambiar de línea.-

92 Realice una prueba de hipótesis e interprete.-
Para analizar el problema, una agencia de investigación independiente tomo una muestra de 20 aeropuertos y recogió información relacionada con la cantidad de quejas que hubo sobre los boletos durante marzo.- A continuación se presenta la información; 14 16 12 13 15 10 ¿La agencia de investigación puede concluir que la cantidad media de quejas por aeropuerto es menor que 15 al mes con un nivel de significancia de 0,05?.- ¿Qué suposición se requiere antes de llevar a cabo la prueba de hipótesis?.- Ilustre la cantidad de quejas por aeropuerto en una distribución de frecuencia o en un diagrama de dispersión.- ¿Es razonable concluir que la población se rige por una distribución normal?.- Realice una prueba de hipótesis e interprete.-

93 SOLUCION CON SOFTWARE ESTADISTICO.-
El sistema de software estadístico Minitab, que hemos venido utilizando, proporciona una forma eficaz de llevar a cabo una prueba de hipótesis de una cola para la media poblacional.- Retomando el “ejercicio para hacer en clase”, longitud media de las barras de contrapeso, tenemos lo que observamos en la placa siguiente.- Una característica adicional de la mayoría de los paquetes de software consiste en que calculan el valor p, el cual proporciona más información sobre la hipótesis nula.- El valor p es la probabilidad de un valor t tan extremo como el que se calculo, en caso de que la hipótesis nula sea verdadera.-

94 T de una muestra: Longitud barras contrapeso
Prueba de mu = 43 vs. no = 43 Media del Error Variable N Media Desv. Est. estándar IC de 98% Longitud barras contrapeso , , , (40,100; 42,900) Variable T P Longitud barras contrapeso , ,014

95 De acuerdo con los datos del ejercicio que estamos observando, de la barra de contrapeso, el valor p de 0,014 es la probabilidad de un valor t de -2,91 o menor más la probabilidad de un valor t de 2,91 o mayor, con una media poblacional de 43.- Así, la comparación del valor p con el nivel de significancia indica si la hipótesis nula se encontraba cerca de ser rechazada, si apenas se rechazo, etc.- El siguiente diagrama contiene una explicación más detallada.- El valor p de 0,014 es el área roja y el nivel de significancia es la totalidad del área sombreada (roja más la blanca).-

96 , 4 3 2 1 G r á f i c a d e d i s t r i b u c i ó n T ; d f = 1 1 d a d s i n e D , 1 , 1 - 2 , 913 - 2,718 2,718 , 2,913 X Como el valor p de 0,014 es menor que el nivel de significancia de 0,02, la hipótesis nula se rechaza.- Si el valor p hubiese sido mayor que el nivel de significancia 0,06, 0,15, o 0,57 la hipótesis nula no se habría rechazado.- Si se hubiera elegido un valor de 0,01 para el nivel de significancia, la hipótesis nula no se habría rechazado.-

97 En el ejemplo anterior, la hipótesis alternativa era de dos colas, así que había áreas de rechazo en la cola izquierda como en la derecha.- Para calcular el valor p, fue necesario determinar el área a la izquierda de -2,913 para una distribución t con 11 grados de libertad y sumarla al valor del área a la derecha de 2,913, también con 11 grados de libertad.- ¿Y si se trata de una prueba de una cola, de forma que toda la región de rechazo se localiza ya sea en la cola superior o en la inferior?.- En dicho caso, se indicaría un área a partir de una sola cola.- En el ejemplo de la barra de contrapeso, si H1), se definiera como µ< 43, la desigualdad apuntaría a la izquierda.- Por consiguiente, se señalaría el valor p como el área a la izquierda de – 2,913.- Este valor es 0,007. que se calcula al dividir 0,014/2.- Por lo tanto, el valor p para una prueba de una cola sería 0,007.-

98 EJERICICIO PARA HACER EN CLASE
Se programa una máquina para llenar un frasco con 9,0 gramos de medicamento.- Una muestra aleatoria de ocho frasco arrojó las siguientes cantidades en gramos por botella.- 9, , , , , , , ,0 ¿Puede concluir que el peso promedio es inferior a 9,0 gramos si el nivel de significancia es de 0,01?.- Formule la hipótesis nula y alternativa.- ¿Cuántos grados de libertad existen?.- Establezca la regla de decisión.- Calcule el valor de t.- ¿Qué decide respecto de la hipótesis nula?.- Aproxime el valor p.-

99 EJERCICIOS 1.- Sean las siguientes hipótesis H0) µ ≥ H1) µ < 20 Una muestra aleatoria de cinco elementos dio como resultado los siguientes valores: ¿Puede concluir que la media poblacional es menor que 20 con un nivel de significancia de 0,01?.- Establezca la regla de decisión.- Calcule el valor del estadístico de prueba.- ¿Cuál es su decisión en lo que se refiere a la hipotesis nula?.- Calcule el valor de p.-

100 2.- Sean las siguientes hipótesis
H0) µ = H1) µ ≠ 100 Una muestra aleatoria de seis elementos dio como resultado los siguientes valores: ¿Puede concluir que la media poblacional es diferente de 100 con un nivel de significación de 0,05?.- Establezca la regla de decisión.- Calcule el valor del estadístico de prueba.- ¿Cuál es su decisión en lo que se refiere a la hipótesis nula?.- Calcule el valor de p.-

101 APLICACION 1.- Un criadero de pollos de Jesús María mostró que el peso promedio de los pollos a los cinco meses es de 4,35 libras.- Los pesos se rigen por una distribución normal.- En un esfuerzo por incrementar el peso, se agrega un aditivo especial al alimento de los pollos.- Los pesos en libras de una muestra aleatoria de pollos de cinco meses de edad fueron los siguientes: ¿El aditivo incremento el peso medio de los pollos a un nivel de significancia de 0,01?.-

102 2.- El cloro líquido que se agrega a las piletas de natación para combatir las algas tiene una duración relativamente corta en los negocios que la venden antes de perder su eficacia.- Los registros indican que la duración media de un frasco de cloro es de 2160 horas (20 días).- Como experimento, se agregó Holdlonger al cloro para saber si este incrementaba la duración del cloro en los negocios.- Una muestra de nueve frascos de cloro arrojó los siguientes tiempos de duración (en horas) en los negocios: ¿Incremento el Holdlonger la duración del cloro en los negocios con el nivel de significancia de 0,025?.- Calcule el valor p.-

103 3.- Las pescaderías de Bariloche sostienen que la cantidad media de truchas que se obtienen en un día completo de pesca en el rió Limay y en otros ríos de la zona es 4,0.- Para su actualización anual, el personal de la pescadería pidió a una muestra de pescadores que llevara la cuenta de los pescados que obtenían durante el día.- Los números son los siguientes: Con el nivel de significación de 0,05, ¿puede concluir que la cantidad media de pescados atrapados es mayor que 4,0?.- Calcule el valor p.-

104 4.- Cierta consultora afirma que un agente realiza una media de 53 entrevistas extensas a domicilio a la semana .- Se introdujo un nuevo formulario para las entrevistas y la consultora desea evaluar su eficacia.- La cantidad de entrevistas extensas por semana en una muestra aleatoria de agentes es: Con un nivel de significación de 0,05, ¿puede concluir que la cantidad media de entrevistas de los agentes es más de 53 a la semana?.- Calcule el valor p.-

105 PRUEBAS RELACIONADAS CON PROPORCIONES

106 Anteriormente hemos visto los intervalos de confianza para proporciones.- También puede llevarse a cabo una prueba de hipótesis para una proporción.- recuerde que una proporción es la razón entre el número de éxitos y el numero de observaciones.- Si X se refiere al numero de éxitos y n al numero de observaciones, la proporción de éxitos en un cantidad fija de pruebas es igual a X/n.- Por consiguiente, la formula para calcular una proporción muestral p es p = X/n.- Consideremos los siguientes casos de posibles pruebas de hipótesis: a) Según sus registros, General Motors informa que 70% de los vehículos rentados se devuelven con menos de millas.- Una muestra reciente de 200 vehículos devueltos al final de su período de renta mostró que 158 tenían menos de millas.- ¿Se incremento la proporción?.-

107 b) La Asociación Americana de Personas Retiradas informa que el 60% de los retirados de menos de 65 años de edad regresaría a trabajar de tiempo completo si hubiera disponible un trabajo adecuado.- Una muestra de 500 retirados de menos de 65 años, revelo que 315 volverían a trabajar.- ¿Puede concluir que más de 60% volvería a trabajar?.- c) Cierta empresa de mudanzas, anuncia a sus clientes que el traslado a largas distancias de los bienes familiares se entregaran de 3 a 5 días a partir del momento de recogerlos.-Los registros de la empresa muestran que han tenido éxito 90% de las veces.- Una auditoria reciente mostró que de 200 veces, 190 tuvieron éxito.- ¿la compañía puede concluir que aumento este registro de éxitos?.-

108 Se deben hacer algunas suposiciones antes de probar una proporción de población.- Para probar la hipótesis en cuanto a una proporción de población, se elige una muestra aleatoria de la población.- Se supone que se satisfacen los supuestos binomiales que ya hemos visto: 1) Los datos de la muestra que se recogen son resultados de conteos; 2) el resultado de un experimento se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes “éxito” y “fracasos”; 3) la probabilidad de un éxito es la misma para cada prueba; 4) las pruebas son independientes, los que significa que el resultado de una prueba no influye en el resultado de los demás.- Las pruebas son válidas cuando nP y n(1-P) son de al menos 5.- El tamaño de la muestra n y P, la proporción poblacional.- Se tiene la ventaja que una distribución binomial puede aproximarse por medio de la distribución normal.-

109 Veamos un ejemplo completo:
Suponga que a partir de las elecciones anteriores de una provincia, para que sea electo un candidato para gobernador, es necesario que gane por lo menos el 80% de los votos de la capital de esa provincia.- El candidato esta interesado en evaluar sus posibilidades de obtener ese cargo y hace planes para llevar a cabo una encuesta a 2000 votantes registrados en la capital.- Usaremos el procedimiento para probar hipótesis y evaluaremos las posibilidades de que el candidato gane la gobernación.- Este caso de elección a gobernador, veamos si satisface las condiciones binomiales:

110 Solo hay dos resultados posibles
Solo hay dos resultados posibles.- Un votante entrevistado votará o no para gobernador al candidato.- La probabilidad de éxito es la misma para cada prueba.- En este caso, la probabilidad de que el votante apoye al candidato a gobernador es de 0,80.- Las pruebas son independientes.- Esto significa que si el primer entrevistado apoye al candidato no necesariamente el siguiente tiene que votarlo.- Los datos de la muestra surgen de conteo.- Vamos a observar en la muestra de los 2000 entrevistados cuantos votaran al candidato.- Recuerde que cuando n P y n (1-P) son mayores de 5 puede aproximarse la distribución normal a la binomial.- Verifiquemos esto en nuestro problema:

111 En nuestro ejemplo, n = 2000 y P = 0,80 (es la proporción de votantes de la capital al candidato).- Por tanto, n P = 2000 * 0,80 = y 2000 * 0,20 = 400, ambos valore son mayores a 5.- Paso 1: Debemos fijar la hipótesis nula y la alternativa.- Como el candidato solo le interesa cuando la proporción es menor de 0,80.- Entonces planteamos: H0) P ≥ 0, H1) P < 0,80 Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia que en nuestro caso es 0,05.- Esta es la probabilidad de rechazar una hipótesis verdadera.-

112 Donde: P es la proporción poblacional p es la proporción muestral
Paso 3: Selección del estadístico de prueba: El estadístico apropiado es el Z, que lo definimos como sigue: Donde: P es la proporción poblacional p es la proporción muestral n es el tamaño de la muestra p - P Z = P (1 – P) n

113 Paso 4: Se formula la regla de decisión: el valor o los valores críticos de Z forman el punto o puntos de división entre las regiones en las que se rechaza H0) y en las que no se rechaza.- Como la hipótesis alternativa marca una dirección hacia la izquierda, se trata de una prueba de una cola.- , 4 3 2 1 D e n s i d a - 6 45 5 G r á f c t b u ó N o m l . M = v E Región de rechazo H0) no se rechaza Z

114 Paso 5: Se toma una decisión y se interpreta el resultado.-
Se selecciona una muestra y se toma una decisión respecto de H0).- Un sondeo de muestra de 2000 posibles electores en la capital reveló que 1550 pensaban votar al candidato para gobernador.- ¿Se encuentra la proporción de la muestra 0,775 (calculado como 1550/2000) lo bastante cerca de 0,80 para concluir que la diferencia se debe al error de muestreo?.- En este caso: p tiene un valor de 0,775 y representa la proporción en la muestra que planea votar al candidato para gobernador.-

115 n tiene un valor de 2000 y representa el número de votantes entrevistados.-
P tiene un valor de 0,80 y representa la proporción de la población hipótetica.- Z es un estadístico de prueba con una distribución normal cuando la hipótesis es verdadera y los demás supuestos son verdaderos.- Calculamos entonces Z: p - P 0, ,80 Z = = = ,80 P (1 - P) 0,80 * 0,20 n 2000

116 El valor calculado de Z = - 2,80 se encuentra en la región de rechazo, así que la hipótesis nula se rechaza en el nivel de 0,05.- La diferencia de 2,5 puntos porcentuales entre el porcentaje de la muestra (77,5%) y el porcentaje de la población hipotética de la capital de la provincia que se necesita para ganar las elecciones estatales (80%) resulta estadísticamente significativa.- Quizás no se deba a la variación muestral.- En otras palabras, la evidencia no apoya la afirmación de que el candidato a la gobernación gane las elecciones.- El valor p es la probabilidad de hallar un valor de Z inferior a – 2,80.-

117 EJERICICIO PARA HACER EN CLASE
Así, el valor p nos da 0, El candidato no puede confiarse que gana las elecciones porque el valor p es inferior al nivel de significancia.- EJERICICIO PARA HACER EN CLASE Un informe reciente de la industria de seguros indicó que 40% de las personas implicadas en accidentes de tránsito menores habían tenido por lo menos un accidente los pasados cinco años.- Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación, pues creía que la cantidad era muy grande.- Una muestra aleatoria de 200 accidentes de transito de este año mostró que 74 personas También estuvieron involucradas en otros accidentes los pasados cinco años.-

118 Utilice un nivel de significancia 0,01.-
¿Se puede emplear Z como estadístico de la prueba?.- Indique razón.- Formule la hipótesis nula y la alternativa.- Muestre gráficamente la regla de decisión.- Calcular el valor de Z y plantee su decisión respecto de la hipótesis nula.- Determine e interprete el valor p.-

119 EJERCICIOS

120 1.- Sean las siguientes hipótesis:
H0) P ≤ 0,70 H1) P > 0,70 Una muestra de 100 observaciones revelo que p = 0,75.- ¿Puede rechazar la hipótesis nula en el nivel de significancia 0,05?.- Formule la regla de decisión.- Calcule el valor del estadístico de prueba.- ¿Cuál es su decisión respecto a la H0)?.- 2.- Sean las siguientes hipótesis: H0) P = 0, H1) P ≠ 0,40 Una muestra de 120 observaciones revelo que p = 0,30.- ¿Puede rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia de 0,05?.-

121 Formule la regla de decisión.-
calcule el valor del estadístico de prueba.- ¿Cuál es la decisión respecto de la H0)?.- APLICACION 3.- Cierta empresa de peaje de una autopista sostiene que el 52% de los que viajan por la autopista son hombres.- Una muestra de 300 automóviles que pasaron el día de ayer por esa autopista revelo que 170 lo manejaban hombres.- Con un nivel de significancia de 0,01, ¿puede concluir que por la autopista en estudio manejan una proporción mayores de hombres como se ha indicado?.-

122 4.- Un articulo reciente de cierta revista económica, informo que solo hay un trabajo disponible por cada tres nuevos graduados de universidad.- Las principales razones fueron una sobrepoblación de graduados universitarios y una economía débil.- Una encuesta a 200 recién graduados revelo que 80 estudiantes tenían trabajo.- Con un nivel de significancia de 0,02, ¿puede concluir que una proporción mayor de estudiantes de su universidad tienen empleo?.- 5.- Cierta casa de comestible que tiene Delivery afirma que 90% de sus pedidos se entregan en 10 minutos desde que se hace el pedido.- Una muestra de 100 pedidos mostro que 82 se entregaron en el tiempo prometido.-

123 Con un nivel de significancia de 0,10, ¿puede concluir que menos de 90% de los pedidos se entregó en menos de 10 minutos?.- 6.- Una investigación de la Universidad de Toledo, indica que el 50% de los estudiantes cambia de área de estudios después del primer año en un programa.- Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de la Facultad de Administración reveló que 48 habían cambiado de área de estudio después del primer año de programa.- ¿Hubo una reducción significativa en la proporción de estudiantes que cambian de área el primer año en este programa?.- Realice una prueba con un nivel de significancia de 0,05.-

124 EJERCICIOS VARIADOS